2019届高三理科数学二轮复习配套教案：第一篇专题七第1讲　概率、随机变量及其分布列

第1讲　概率、随机变量及其分布列

(对应学生用书第53页)

1.(2018·全国Ⅰ卷,理3)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:

则下面结论中不正确的是(　A　)

(A)新农村建设后,种植收入减少

(B)新农村建设后,其他收入增加了一倍以上

(C)新农村建设后,养殖收入增加了一倍

(D)新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

解析:因为0.6<0.37×2,

所以新农村建设后,种植收入增加,而不是减少,所以A是错误的,故选A.

2.(2018·全国Ⅱ卷,理8)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是(　C　)

(A) (B) (C) (D)

解析:不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,随机选取两个不同的数,共有=45种情况,而和为30的有7+23,11+19,13+17这3种情况,

所以所求概率为=.故选C.

3.(2018·全国Ⅲ卷,理8)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p等于(　B　)

(A)0.7 (B)0.6 (C)0.4 (D)0.3

解析:由题意可知,10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布,即X~B(10,p),所以DX=10p(1-p)=2.4,

所以p=0.4或0.6.

又因为P(X=4)<P(X=6),

所以p4(1-p)6<p6(1-p)4,

所以p>0.5,所以p=0.6.故选B.

4.(2018·全国Ⅰ卷,理10)

如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则(　A　)

(A)p1=p2 (B)p1=p3

(C)p2=p3 (D)p1=p2+p3

解析:因为S△ABC=AB·AC,

以AB为直径的半圆的面积为

π·2=AB2,

以AC为直径的半圆的面积为

π·2=AC2,

以BC为直径的半圆的面积为

π·2=BC2,

所以SⅠ=AB·AC,SⅢ=BC2-AB·AC,

SⅡ=AB2+AC2-BC2-AB·AC

=AB·AC.

所以SⅠ=SⅡ.

由几何概型概率公式得p1=,p2=,

所以p1=p2.故选A.

1.考查角度

(1)统计图表,抽样方法;

(2)几何概型,古典概型(常与排列、组合结合考查),互

斥、对立事件的概率及独立重复试验恰有k次发生的概率;

(3)以实际问题为背景,多与统计结合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差等.

2.题型及难易度

选择题、解答题,难度中低档.

(对应学生用书第53~55页)

抽样方法

【例1】 (1)(2018·长沙市名校实验班阶段性测试)一个总体由编号分别为01,02,…,29,30的30个个体组成,利用下面的随机数表选取6个个体,选取方法是从随机数表的第1行第4列开始,由左到右依次读取,则选出来的第6个个体的编号为　　　　. 

7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198

3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481

(2)(2018·广州市测试)

已知某区中小学学生人数如图所示.为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法来进行调查.若高中需抽取20名学生,则小学与初中共需抽取的学生人数为　　　　. 

解析:(1)从第1行第4列开始,满足要求的编号依次为20,26,24,19,23,03,所以选出来的第6个个体的编号为03.

(2)设小学与初中共需抽取的学生人数为x,依题意可得=,解得x=85.

答案:(1)03　(2)85

(3)分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成,特点是按比例,即抽样比==.

热点训练1:(1)(2018·全国Ⅲ卷)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是　　　　. 

(2)(2018·南昌市摸底调研)某校高三(2)班现有64名学生,随机编号为0,1,2,…,63,依编号顺序平均分成8组,组号依次为1,2,3,…,8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本,若在第1组中随机抽取的号码为5,则在第6组中抽取的号码为　　　　. 

解析:(1)因为客户数量大,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,所以最合适的抽样方法是分层抽样.

(2)依题意,分组间隔为=8,因为采用系统抽样方法,且在第1组中随机抽取的号码为5,所以在第6组中抽取的号码为5+5×8=45.

答案:(1)分层抽样　(2)45

古典概型、几何概型

考向1　古典概型

【例2】 (2018·长沙市、南昌市联合模拟)春节期间,记者在天安门广场随机采访了6名外国游客,其中有2名游客会说汉语,从这6人中任意选取2人进行深度采访,则这2人中至少有1人会说汉语的概率为(　　)

(A) (B) (C) (D)

解析:法一　设事件A“这2人中至少有1人会说汉语”,

则P()===,

所以P(A)=1-P()=.故选C.

法二　设事件A“这2人中至少有1人会说汉语”,

则P(A)===.故选C.

考向2　几何概型

【例3】 (2018·河北武邑一模)在区间[0,1]上随机取两个数x和y,则y≥x-的概率为(　　)

(A) (B) (C) (D)

解析:

在区间[0,1]上随机选取两个数x和y,对应的区间为边长为1的正方形,面积为1,

在此条件下满足y≥x-的区域面积为1-2×××=.所以所求概率为.故选C.

(2)求几何概型概率要寻找构成试验的全部结果所构成的区域和事件发生所构成的区域,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.

热点训练2:(1)(2018·济南市模拟)

七巧板是一种古老的中国传统智力游戏,被誉为“东方魔板”.如图,这是一个用七巧板拼成的正方形,其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形,3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形,7号板为一个等腰直角三角形,4号板为一个正方形,6号板为一个平行四边形.现从这个大正方形内任取一点,则此点取自阴影部分的概率是(　　)

(A) (B) (C) (D)

(2)(2018·江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为　　　　. 

解析:(1)设大正方形的面积为4S,则5号板与7号板的面积分别为S,S,所以从这个大正方形内任取一点,则此点取自阴影部分的概率是=.故选C.

(2)设2名男生为a,b,3名女生为A,B,C,从中选出2人的情况有(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10种,而都是女生的情况有(A,B),(A,C),(B,C),共3种,故所求概率为.

答案:(1)C　(2)

离散型随机变量的分布列、均值

【例4】 (2018·天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.

(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?

(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;

②设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.

解:(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.

(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

P(X=k)=(k=0,1,2,3).

所以随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.

②设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥,

由①知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),

故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.

所以事件A发生的概率为.

(3)对于两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差可直接代入相关公式求解;对于一般类型的随机事件的期望与方差需列出概率分布列,用期望、方差公式求解.

热点训练3:(2018·益阳市、湘潭市调研)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛,本次选拔赛只有出线和未出线两种情况.规定一名运动员出线记1分,未出线记0分.假设甲、乙、丙出线的概率分别为,,,他们出线与未出线是相互独立的.

(1)求在这次选拔赛中,这三名运动员至少有一名出线的概率;

(2)记在这次选拔赛中,甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.

解:(1)记“甲出线”为事件A,“乙出线”为事件B,“丙出线”为事件C,“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D,

则P(D)=1-P( )=1-××=.

(2)由题意可得,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,

则P(ξ=0)=P( )=××=;

P(ξ=1)=P(A )+P( B )+P( C)=××+××+××=;

P(ξ=2)=P(A B )+P(A C)+P( B C)=××+××+××=;

P(ξ=3)=P(ABC)=××=.

所以ξ的分布列为

E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.

【例1】 (2018·辽宁大连八中模拟)若从区间(0,e)(e为自然对数的底数,e=2.718 28…)内随机选取两个数,则这两个数之积小于e的概率为(　　)

(A) (B) (C)1- (D)1-

解析:由题意,设这两个数分别为x,y.

则画出可行域如图所示.

故概率为==.

选A.

【例2】 (2018·浙江卷)设0<p<1,随机变量ξ的分布列是

则当p在(0,1)内增大时,(　　)

(A)D(ξ)减小 

(B)D(ξ)增大

(C)D(ξ)先减小后增大 

(D)D(ξ)先增大后减小

解析:由题意知

E(ξ)=0×+1×+2×=p+,

D(ξ)=0-p+2×+1-p+2×+2-p+2×

=-p2+p+

=-p-2+,

所以D(ξ)在0,上递增,在,1上递减,

即当p在(0,1)内增大时,D(ξ)先增大后减小.故选D.

【例3】 (2018·陕西西工大附中七模)在某次联考数学测试中,学生成绩ξ服从正态分布(100,σ2)(σ>0),若ξ在(80,120)内的概率为0.8,则任意选取一名学生,该生成绩不高于80的概率为(　　)

(A)0.05 (B)0.1 (C)0.15 (D)0.2

解析:设该生成绩为X,则P(X≤80)=P(X≥120)==0.1,选B.

【例4】 (2018·石家庄市重点高中模拟)某厂有4台大型机器,在一个月中,1台机器至多出现1次故障,且每台机器是否出现故障是相互独立的,出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为.

(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%?

(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力,每月需支付给每位工人1万元的工资.每台机器不出现故障或出现故障能及时维修,就能使该厂产生5万元的利润,否则将不产生利润.若该厂现有2名工人,求该厂每月利润的均值.

解:(1)1台机器是否出现故障可看作1次试验,在1次试验中,机器出现故障设为事件A,则事件A的概率为.该厂有4台机器,就相当于4次独立重复试验,可设出现故障的机器台数为X,则X~B4,,

所以P(X=0)=·4=,

P(X=1)=··3=,

P(X=2)=·2·2=,

P(X=3)=·3·=,

P(X=4)=·4=.

所以X的分布列为

设该厂有n名工人,则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X≤n,即X=0,X=1,X=2,…,X=n,这n+1个互斥事件的和事件,则

因为<90%≤,

所以该厂至少需要3名工人,才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%.

(2)设该厂每月可获利Y万元,则Y的所有可能取值为18,13,8,

P(Y=18)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=,

P(Y=13)=P(X=3)=,

P(Y=8)=P(X=4)=,

所以Y的分布列为

则E(Y)=18×+13×+8×=(万元).

故该厂每月获利的均值为万元.

(对应学生用书第55页)

【典例】 (2018·全国Ⅰ卷,理20)(12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0;

(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用;

①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;

②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?

评分细则:

解:(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为

f(p)=p2(1-p)18.2分

因此f'(p)=[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]

=2p(1-p)17(1-10p).3分

令f'(p)=0,得p=0.1.4分

当p∈(0,0.1)时,f'(p)>0;当p∈(0.1,1)时,f'(p)<0.5分

所以f(p)的最大值点为p0=0.1.6分

(2)由(1)知,p=0.1.7分

①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),8分

X=20×2+25Y,即X=40+25Y.

所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.10分

②若对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.12分

注:第(1)问得分说明

①由独立重复试验恰有k次发生的概率公式求出f(p),得2分;

②对f(p)正确求导,得1分;

③求出f(p)的导函数的零点,得1分;

④正确讨论f(p)的单调性,得1分;

⑤求出f(p)的最大值点p0,得1分.

第(2)问得分说明:

①由(1)写出p的值,得1分;

②设出余下的180件产品中不合格品的件数Y,判断出Y服从二项分布,得1分;

③求出X,Y的关系式,利用二项分布期望公式求出EX,得2分;

④求出检验余下所有产品的总费用,并与EX比较,得出结论,得2分.

【答题启示】

(1)解概率、随机变量及其分布列问题,关键是认真读题,确定求概率所使用公式.本题可能由于读不懂题意或公式使用错误而失分;

(2)导数作为研究函数的常用工具,它与概率综合成为高考命题新趋势,本题在对f(p)求导时,常因式子复杂而计算错误而失分.

(3)期望与方差的性质

若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则

①E(aX+b)=aE(X)+b.

②D(aX+b)=a2D(X).

(4)若离散型随机变量X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).