2020江苏高考理科数学二轮讲义：专题二第1讲　三角函数的图象与性质

第1讲　三角函数的图象与性质

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1．必记的概念与定理

(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α．

(2)诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．

(3)三角函数的图象及常用性质

2．记住几个常用的公式与结论

对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)要记住下面几个常用结论：

(1)定义域：R．

(2)值域：[－A，A]．

当x＝(k∈Z)时，y取最大值A；

当x＝(k∈Z)时，y取最小值－A．

(3)周期性：周期函数，最小正周期为．

(4)单调性：

单调递增区间是(k∈Z)；

单调递减区间是(k∈Z)．

(5)对称性：函数图象与x轴的交点是对称中心，即对称中心是(k∈Z)，对称轴与函数图象的交点纵坐标是函数的最值，即对称轴是直线x＝，其中k∈Z．

(6)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A影响函数图象的最高点和最低点，即函数的最值；ω影响函数图象每隔多少长度重复出现，即函数的周期；φ影响函数的初相．

(7)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一．

3．需要关注的易错易混点

三角函数图象平移问题

(1)看平移要求： 看到这类问题，首先要看题目要求由哪个函数平移到哪个函数，这是判断移动方向的关键点．

(2)看移动方向： 在学习中，移动的方向一般我们会记为“正向左，负向右”，其实，这样不理解的记忆是很危险的．上述规则不是简单地看y＝Asin(ωx＋φ)中φ的正负，而是和它的平移要求有关．正确地理解应该是：平移变换中，将x变换为x＋φ，这时才是“正向左，负向右”．

(3)看移动单位： 在函数y＝Asin(ωx＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相位，再经过ω的压缩，最后移动的单位是||．

三角函数的图象与解析式

[典型例题]

(1)(2018·高考江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是________．

(2)(2019·江苏省高考名校联考(八))已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f的值为________．

【解析】　(1)由函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，得sin＝±1，因为－<φ<，所以<＋φ<，则＋φ＝，φ＝－．

(2)由函数f(x)的部分图象可知，A＝2，T＝－＝，得T＝π，所以ω＝2．当x＝时，f(x)＝2，即sin(2×＋φ)＝1，又|φ|<，所以φ＝，故f(x)＝2sin(2x＋)，所以f(－)＝2sin(－＋)＝2sin(－)＝－．

【答案】　(1)－　(2)－

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法

(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；　

(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝；

(3)求φ：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是在下降区间)．

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：

“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)是ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)是ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)是ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)是ωx＋φ＝；“第五点”是ωx＋φ＝2π．

[对点训练]

1．定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________．

[解析] 由sin 2x＝cos x可得cos x＝0或sin x＝，又x∈[0，3π]，则x＝，，或x＝，，，，故所求交点个数是7．

[答案] 7

2．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(四))已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中M，N是图象与x轴的交点，K是图象的最高点，若点M的坐标为(3，0)且△KMN是面积为的正三角形，则f＝________．

[解析] 由正三角形KMN的面积为知，△KMN的边长为2，高为，即A＝，最小正周期T＝2×2＝4，ω＝＝＝，又M(3，0)，MN＝2，所以×4＋φ＝2kπ＋，k∈Z，φ＝2kπ－，k∈Z，又0<φ<π，所以φ＝，即f(x)＝sin＝cosx，f＝cos＝．

[答案]

三角函数的图象与性质

[典型例题]

(2019·南京、盐城高三模拟)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．

【解】　(1)由图象及A>0知，A＝2．

又＝－＝，ω>0，所以T＝2π＝，得ω＝1．

所以f(x)＝2sin(x＋φ)．

将点代入，得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，

即φ＝＋2kπ(k∈Z)，

又－<φ<，所以φ＝．

所以f(x)＝2sin．

(2)当x∈时，x＋∈，

所以sin∈，即f(x)∈[－，2]．

在江苏高考中，三角函数试题主要以两种形式出现：一是注重考查三角函数定义、性质、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识；二是以基本三角函数图象和正弦型函数、余弦型函数图象为载体，全面考查三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、图象变换等基础知识，即考查三角函数图象性质和数形结合思想等．

[对点训练]

3．(2019·合肥模拟)设函数f(x)＝sin－2cos2．

(1)求y＝f(x)的最小正周期及单调递增区间；

(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，当x∈[0，1]时，求函数y＝g(x)的最大值．

[解] (1)由题意知f(x)＝sin －cos－1

＝sin－1，

所以y＝f(x)的最小正周期T＝＝6．

由2kπ－≤－≤2kπ＋，k∈Z，

得6k－≤x≤6k＋，k∈Z，

所以y＝f(x)的单调递增区间为，k∈Z．

(2)因为函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，

所以当x∈[0，1]时，y＝g(x)的最大值即为x∈[3，4]时，

y＝f(x)的最大值，

当x∈[3，4]时，x－∈，sin∈，f(x)∈，

即当x∈[0，1]时，

函数y＝g(x)的最大值为．

1．函数y＝tan的定义域是________．

[解析]  因为x－≠kπ＋，所以x≠kπ＋，k∈Z．

[答案]

2．(2019·徐州模拟)函数y＝cos的单调减区间为________．

[解析] 由y＝cos＝cos得

2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，

解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．

所以函数的单调减区间为(k∈Z)．

[答案] (k∈Z)

3．(2019·镇江市高三调研考试)定义在的函数f(x)＝8sin x－tan x的最大值为________．

[解析] f′(x)＝8cos x－＝，令f′(x)＝0，得cos x＝，又x∈，所以x＝，且当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f是f(x)的极大值，也是最大值，故f(x)max＝f＝3．

[答案] 3

4．(2019·苏北三市高三模拟)已知函数f(x)＝sin x(x∈[0，π])和函数g(x)＝tan x的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积为________．

[解析] 由题意知，x≠，令sin x＝tan x，可得sin x＝，x∈∪，可得sin x＝0或cos x＝，则x＝0或π或，不妨设A(0，0)，B(π，0)，C，则△ABC的面积为π×＝π．

[答案] π

5．(2019·江苏名校高三入学摸底)已知在矩形ABCD中，AB⊥x轴，且矩形ABCD恰好能完全覆盖函数y＝acos(aπx)＋b(a，b∈R，a≠0)的一个完整周期的图象，则当a变化时，矩形ABCD的面积为________．

[解析] 由题意得，矩形ABCD的边长分别为函数y＝acos(aπx)＋b(a，b∈R，a≠0)的最小正周期和|2a|，故此矩形的面积为×|2a|＝4．

[答案] 4

6．(2019·山西四校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时x的集合为________．

[解析] 根据所给图象，周期T＝4×＝π，故π＝，所以ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过，代入有2×＋φ＝kπ(k∈Z)，再由|φ|＜，得φ＝－，所以f＝sin，当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f取得最小值．

[答案]

7．(2019·南京模拟)已知函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，A(a，0)，B(b，0)是其图象上两点，若|a－b|的最小值是1，则f＝________．

[解析] 因为函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝，所以f(x)＝－4sin ωx，又A(a，0)，B(b，0)是其图象上两点，且|a－b|的最小值是1，所以函数f(x)的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f(x)＝－4sin πx，所以f＝－4sin ＝－2．

[答案] －2

8．(2019·苏北三市高三第一次质量检测)将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则以函数f(x)与g(x)的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为______．

[解析] 函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)＝sin的图象，如图所示，点A的坐标为，B，C之间的距离为一个周期π，所以三角形ABC的面积为π×2×＝．

[答案]

9．(2019·开封模拟)如果存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)＝sin2(ωx＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1，0))，那么ω的值为________．

[解析] 由f(x)＝sin2(ωx＋φ)＝及其图象知，<×<1，即<ω<π，所以正整数ω＝2或3．由函数f(x)的图象经过点(1，0)，得f(1)＝＝0，得2ω＋2φ＝2kπ(k∈Z)，即2φ＝2kπ－2ω(k∈Z)．由图象知f(0)>，即＝>，得cos 2ω<0，所以ω＝2．

[答案] 2

10．(2019·无锡市普通高中高三调研考试)已知直线y＝a(x＋2)(a>0)与函数y＝|cos x|的图象恰有四个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，其中x1<x2<x3<x4，则x4＋＝______．

[解析] 易知直线y＝a(x＋2)过定点(－2，0)，作出直线y＝a(x＋2)与函数y＝|cos x|的图象，如图所示．由图可知，直线y＝a(x＋2)(a>0)与y＝|cos x|的图象在x＝x4处相切，且x4∈，则a(x4＋2)＝－cos x4，所以a＝，又在上，y＝－cos x，y′＝sin x，所以(－cos x4)′＝sin x4，所以a＝sin x4．因此a＝＝sin x4，即＝－x4－2，x4＋＝x4＋＝－2．

[答案] －2

11．已知函数f(x)＝sin＋1．

(1)求它的振幅、最小正周期、初相；

(2)画出函数y＝f(x)在上的图象．

[解] (1)振幅为，最小正周期T＝π，初相为－．

(2)图象如图所示．

12．(2019·扬州市第一学期期末检测)已知函数f(x)＝cos2x＋2sin xcos x－sin2x，x∈R．

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)求方程f(x)＝0在(0，π]内的所有解．

[解] f(x)＝cos2x＋2sin xcos x－sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)．

(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z．

(2)由f(x)＝0，得2sin(2x＋)＝0，得2x＋＝kπ，k∈Z，即x＝－＋，k∈Z，

因为x∈(0，π]，所以x＝或x＝．

13．(2019·南通市高三调研)已知函数f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若角α满足f(α)＋f＝1，α∈(0，π)，求角α的值．

[解] (1)由条件得，最小正周期T＝2π，

即＝2π，所以ω＝1，即f(x)＝Asin．

因为f(x)的图象经过点，

所以Asin＝，所以A＝1，

所以f(x)＝sin．

(2)由f(α)＋f＝1，

得sin＋sin＝1，

即sin－cos＝1，

所以2sin＝1，即sin α＝．

因为α∈(0，π)，所以α＝或．

14．已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx－(ω>0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为．

(1)求f(x)的表达式；

(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．

[解] (1)f(x)＝sin 2ωx＋×－

＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin，

由题意知，最小正周期T＝2×＝，T＝＝＝，

所以ω＝2，所以f(x)＝sin．

(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，

得到y＝sin的图象，

再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象．

所以g(x)＝sin．

令2x－＝t，

因为0≤x≤，

所以－≤t≤．

g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，

即函数g(t)＝sin t与y＝－k在区间上有且只有一个交点．

如图，

由正弦函数的图象可知－≤－k<或－k＝1．

所以－<k≤或k＝－1．