2020江苏高考理科数学二轮讲义：专题二第3讲　平面向量

第3讲　平面向量

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1．必记的概念与定理

(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0．

(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为．

(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．

(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．

2．平面向量的两个重要定理

(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa．

(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．

3．平面向量的数量积

已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°．

4．记住几个常用的公式与结论

(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．

(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2)．

(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－＝(x2－x1，y2－y1)．

(4)设a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)．

(5)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．

(6)两向量a，b的夹角公式：cos θ＝(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．

(7)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a≠0，

则a∥b⇔b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0．

a⊥b(b≠0)⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．

5．需要关注的易错易混点

(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．

(2)只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．

(3)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．

(4)“a·b>0”是“θ为锐角”的必要不充分条件， “a·b<0”是“θ为钝角”的必要不充分条件．

平面向量的概念及线性运算

[典型例题]

(1)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．

(2)如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°．若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝________．

【解析】　(1)因为ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，

所以所以所以m－n＝2－5＝－3．

(2)法一：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，由tan α＝7，α∈，得sin α＝，cos α＝，设C(xC，yC)，B(xB，yB)，则xC＝||cos α＝×＝，yC＝||sin α＝×＝，即C．又cos(α＋45°)＝×－×＝－，sin (α＋45°)＝×＋×＝，则xB＝||cos(α＋45°)＝－，yB＝||sin (α＋45°)＝，即B，由＝m ＋n ，可得解得所以m＋n＝＋＝3．

法二：由tan α＝7，α∈，得sin α＝，cos α＝，则cos(α＋45°)＝×－×＝－，·＝1××＝1，·＝1××＝，·＝1×1×＝－，由＝m ＋n ，得·＝m 2＋n ·，即＝m－n　①，同理可得·＝m ·＋n 2，即1＝－m＋n　②，联立①②，解得所以m＋n＝＋＝3．

【答案】　(1)－3　(2)3

(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．

(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．

(3)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

[对点训练]

1．(2018·徐州模拟)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DCA＝2∠BAC．若＝x＋y(x，y∈R)，则x－y的值为________．

[解析] 如图，延长DC，AB交于点E，

因为∠DCA＝2∠BAC，所以∠BAC＝∠CEA．又∠ABC＝90°，所以＝－．因为＝x＋y，所以＝－x＋y．因为C，D，E三点共线，所以－x＋y＝1，即x－y＝－1．

[答案] －1

2．(2018·江门模拟)已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．

[解析] 如图所示，由＝λ且＋＋＝0，则P为以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，

因此＝－2，则λ＝－2．

[答案] －2

平面向量的数量积

[典型例题]

(2019·高考江苏卷)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若·＝6·，则的值是________．

【解】　法一：以点D为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，不妨设B(－a，0)，C(a，0)，A(b，c)，a>0，c>0，由BE＝2EA得E，则直线OA：y＝x，直线CE：(b－2a)y＝c(x－a)，联立可得O，则·＝(－a－b，－c)·(a－b，－c)＝b2＋c2－a2，·＝·＝，由·＝6·得b2＋c2－a2＝2(b2＋c2－2ab)，化简得4ab＝b2＋c2＋a2，则＝＝＝．

法二： 由A，O，D三点共线，可设＝λ，则＝(＋)，由E，O，C三点共线可设＝μ，则－＝μ(－)，则＝(1－μ)＋μ＝(1－μ)·＋μ，由平面向量基本定理可得解得μ＝，λ＝，则＝(＋)，＝－＝－，则6·＝6×(＋)·＝(·＋2－2)＝·，化简得32＝2，则＝．

向量数量积是高考命题的热点，可以说是必考内容．向量数量积主要应用于三类问题：一是角度问题，二是求模问题，三是与三角形结合解决有关问题．

涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：

(1)直接利用数量积的定义， 在利用定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模、夹角和已知的向量进行计算．求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．

(2)建立坐标系，通过坐标运算求解．

[对点训练]

3．(2019·苏北四市高三模拟)已知||＝||＝，且·＝1，若点C满足|＋|＝1，则||的取值范围是________．

[解析] 由题意可得·＝||·||cos∠AOB＝2cos∠AOB＝1，则cos∠AOB＝，∠AOB＝．以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过点O且与OA垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(，0)，B，设C(x，y)，则＋＝，又|＋|＝1，所以＋＝1，即点C的轨迹是以点为圆心，以1为半径的圆．||的几何意义是点C到坐标原点的距离，又圆心到坐标原点的距离为，所以－1≤||≤＋1．

[答案] [－1，＋1]

4．(2019·益阳、湘潭调研)已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a＋b|＝t|a|，若a＋b与a－b的夹角为，则t的值为________．

[解析] 因为a·b＝0，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即|a＋b|＝|a－b|．又|a＋b|＝t|a|，所以|a－b|＝|a＋b|＝t|a|．因为a＋b与a－b的夹角为，所以＝cos ，整理得＝，即(2－t2)|a|2＝2|b|2．又|a＋b|＝t|a|，平方得|a|2＋|b|2＝t2|a|2，所以|a|2＋＝t2|a|2，解得t2＝．因为t＞0，所以t＝．

[答案]

平面向量与三角函数的综合运用

[典型例题]

(2019·苏锡常镇四市模拟)已知向量a＝，b＝(1，4cos α)，α∈(0，π)．

(1)若a⊥b，求tan α的值；

(2)若a∥b，求α的值．

【解】　(1)因为a⊥b，所以sin＋12cos α＝0，

即sin α＋cos α＋12cos α＝0，

即sin α＋cos α＝0，

又cos α≠0，所以tan α＝－．

(2)若a∥b，则4cos αsin＝3，

即4cos α＝3，

所以sin 2α＋cos 2α＝2,

所以sin＝1，

因为α∈(0，π)，所以2α＋∈，

所以2α＋＝，即α＝．

在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．

[对点训练]

5．(2019·江苏省四星级学校联考)已知向量a＝(2，cos 2x)，b＝，函数f(x)＝a·b．

(1)若f(α)＝，α∈，求f的值；

(2)若函数g(x)＝af(x)＋b的定义域为，值域为[1－，3]，求实数a，b的值．

[解] 由题意知f(x)＝2cos2－cos 2x＝cos＋1－cos 2x＝2sin＋1．

(1)因为f(α)＝2sin＋1＝，

所以sin＝－．又α∈，

所以2α－∈，则cos＝．

因为f＝2sin＋1＝2sin 2α＋1，

sin 2α＝sin＝－×＋×＝，

所以f＝2×＋1＝＋1＝．

(2)因为g(x)＝af(x)＋b＝2asin＋a＋b，由x∈可得，2x－∈，

所以sin∈．显然a≠0，

①当a＞0时，由题意可得，

解得；

②当a＜0时，由题意可得，

解得．

综上，或．

1．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________．

[解析] 由题意知a＋λb＝k[－(b－3a)]，

所以解得

[答案] －

2．(2019·江苏名校高三入学摸底)已知平面向量a，b是互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝－1，则|a－2b＋3c|＝________．

[解析] 设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，则c·a＝x＝－1，c·b＝y＝－1，所以c＝(－1，－1)，所以a－2b＋3c＝(－2，－5)，所以|a－2b＋3c|＝＝．

[答案]

3．(2019·南京、盐城高三模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，则·的值为________．

[解析] 由＝2，得＝(＋2)，又＝－，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，所以·＝(＋2)·(－)＝(－9＋3)＝－2．

[答案] －2

4．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角θ＝________．

[解析] 因为a·(b－a)＝a·b－a2＝2，

所以a·b＝2＋a2＝3．

所以cos θ＝＝＝．

所以向量a与b的夹角为．

[答案]

5．(2019·无锡市高三模拟)已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围为________．

[解析] 法一：由|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，作向量＝α，＝β－α，则＝β，在△OAB中，∠OAB＝180°－120°＝60°，OB＝1，则由正弦定理＝，得OA＝sin∠ABO∈，即0<|α|≤．

法二：设|α|＝u，|β－α|＝v，由|β|2＝|α＋(β－α)|2＝α2＋2α·(β－α)＋(β－α)2，得v2－uv＋u2－1＝0，再由关于v的一元二次方程有解，得u2－4(u2－1)≥0，又u>0，故0<u≤，即0<|α|≤．

[答案]

6．(2019·高三第一次调研测试)在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，则·＝3，·＝2，则|＋2|的最小值为______．

[解析] 以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A，B．设D(0，b)，C(m，n)，则·＝(1，0)·＝m＋＝3，解得m＝，·＝(3，n)·＝＋nb＝2，得nb＝．易得＋2＝(4，n＋2b)，则|＋2|＝≥＝2，当且仅当n＝2b时取等号，故|＋2|的最小值为2．

[答案] 2

7．(2019·南通市高三模拟)如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B，C分别在m，n上，|＋|＝5，则·的最大值是________．

[解析] 以直线n为x轴，过点A且垂直于n的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则A(0，3)，设C(c，0)，B(b，2)，则＝(b，－1)，＝(c，－3)，

从而(b＋c)2＋(－4)2＝52，即(b＋c)2＝9，

又·＝bc＋3≤＋3＝，当且仅当b＝c时取等号．

[答案]

8．(2019·南京高三模拟)在凸四边形ABCD中，BD＝2，且·＝0，(＋)·(＋)＝5，则四边形ABCD的面积为________．

[解析] (＋)·(＋)＝(－＋)·(－＋)＝(＋)·(－)＝－＝5，即AC2－BD2＝5．因为BD＝2，所以AC＝3，

所以四边形ABCD的面积为AC×BD＝×2×3＝3．

[答案] 3

9．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(一))如图，点A，B，C在半径为5的圆O上，E是OA的中点，AB＝8，AC＝6，＝x＋y(x，y是实数)，则的值是______．

[解析] 连结BC，根据题意，可知AB2＋AC2＝102，又圆O的半径为5，则直径是10，所以BC恰好是圆O的直径，所以AB⊥AC．＝(＋)＝＋＝＋(＋)＝－，此时x＝，y＝－，x－y＝－(－)＝1．又＝(＋)，·＝(－)·(＋)＝(2－2)＝－，故＝－．

[答案] －

10．(2019·苏锡常镇四市高三调研)在平面直角坐标系xOy中，设点A(1，0)，B(0，1)，C(a，b)，D(c，d)，若不等式2≥(m－2)·＋m(·)·(·)对任意实数a，b，c，d都成立，则实数m的最大值是________．

[解析] 原不等式可化为(a－c)2＋(b－d)2≥(m－2)·(ac＋bd)＋mbc，即a2＋b2＋c2＋d2－m(ac＋bd＋bc)≥0，整理成关于实数a的不等式为a2－mca＋b2＋c2＋d2－mbd－mbc≥0，此式恒成立，从而Δ1＝m2c2－4(b2＋c2＋d2－mbd－mbc)≤0，再整理成关于实数d的不等式为d2－mbd＋b2＋c2－mbc－m2c2≥0，从而Δ2＝m2b2－4≤0，再整理成关于实数b的不等式为(4－m2)b2－4mcb＋4c2－m2c2≥0，

从而，

解得1－≤m≤－1＋，所以m的最大值是－1．

[答案] －1

11．(2019·江苏省高考名校联考(一))已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若向量m＝(cos A，cos B)，n＝(b＋2c，a)，且m⊥n．

(1)求角A的大小；

(2)若a＝4，b＋c＝8，求AC边上的高h的值．

[解] (1)因为m⊥n，所以m·n＝0，

所以(b＋2c)cos A＋acos B＝0，

由正弦定理得cos Asin B＋2cos Asin C＋cos Bsin A＝0，

即sin(A＋B)＋2cos Asin C＝0，

因为A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sin C，所以sin C＋2cos Asin C＝0．

又C∈(0，π)，所以sin C＞0，所以cos A＝－．

因为A∈(0，π)，所以A＝．

(2)由

解得b＝c＝4．

又S△ABC＝bcsin A＝h·AC，所以h＝2．

12．(2019·苏州期末检测)已知向量a＝(sin θ，2)，b＝(cos θ，1)，且a，b共线，其中θ∈．

(1)求tan的值；

(2)若5cos (θ－φ)＝3cos φ，0＜φ＜，求φ的值．

[解] (1)因为a∥b，所以sin θ－2cos θ＝0，即tan θ＝2．

所以tan ＝＝＝－3．

(2)由(1)知tan θ＝2，又θ∈，所以sin θ＝，cos θ＝，

因为5cos(θ－φ)＝3cos φ，

所以5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝3cos φ，

即cos φ＋2sin φ＝3cos φ，

所以cos φ＝sin φ，即tan φ＝1，

又0＜φ＜，所以φ＝．

13．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α<x<π．

(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；

(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan 2α的值．

[解] (1)因为b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝，

所以f(x)＝b·c

＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin xcos α

＝2sin xcos x＋(sin x＋cos x)．

令t＝sin x＋cos x，

则2sin xcos x＝t2－1，且－1<t<．

则y＝t2＋t－1＝－，－1<t<，

所以当t＝－时，ymin＝－，

此时sin x＋cos x＝－，

即sin＝－，

因为<x<π，所以<x＋<π，

所以x＋＝π，所以x＝．

所以函数f(x)的最小值为－，相应x的值为．

(2)因为a与b的夹角为，

所以cos ＝＝cos αcos x＋sin αsin x

＝cos(x－α)．

因为0<α<x<π，所以0<x－α<π，所以x－α＝．

因为a⊥c，

所以cos α(sin x＋2sin α)＋sin α(cos x＋2cos α)＝0，

所以sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，即sin＋2sin 2α＝0．

所以sin 2α＋cos 2α＝0，所以tan 2α＝－．

14．(2019·镇江期末)已知△ABC的面积为S，且·＝S．

(1)求sin A；

(2)若||＝3，|－|＝2，求sin B．

[解] (1) 因为△ABC的面积为S，且·＝S，

所以bccos A＝×bcsin A，

所以sin A＝cos A，

所以A为锐角，且sin2A＋cos2A＝sin2A＋sin2A＝sin2A＝1，

所以sin A＝．

(2)设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，

因为||＝c＝3，

|－|＝||＝a＝2，

由正弦定理得＝，

即＝，

所以sin C＝，又因为c＜a，则C为锐角，

所以C＝，

所以sin B＝sin＝sin Acos ＋cos Asin

＝×＋×＝．