2020江苏高考理科数学二轮讲义：专题六第2讲　统　计

第2讲　统　计

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1．随机抽样

(1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体数较少．

(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多．

(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成．

2．常用的统计图表

(1)频率分布直方图

①小矩形的面积＝组距×＝频率；

②各小矩形的面积之和等于1；

③小矩形的高＝，所有小矩形的高的和为．

(2)茎叶图

在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好．

3．用样本的数字特征估计总体的数字特征

(1)众数、中位数、平均数

(2)方差：

s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．

标准差：

s＝．

抽样方法

[典型例题]

(1)(2019·南通市高三调研)为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生3 000人，则该校学生总人数是________．

(2)(2019·江苏名校高三入学摸底)某班有学生45人，现将所有学生按1，2，3，…，45随机编号，并采用系统抽样的方法从中抽取5名学生参加学习情况问卷调查，已知抽取的学生的编号分别为3，a，21，b，39，则a＋b＝________．　

【解析】　(1)设该校学生总人数为n，则＝，解得n＝7 500．

(2)由系统抽样的知识得，抽取的5个编号依次为3，12，21，30，39，所以a＋b＝12＋30＝42．

【答案】　(1)7 500　(2)42

分层抽样

(1)要点：总体分层，按照比例，独立抽取；

(2)适合范围：总体可以分层，层与层之间有明显差异，而层内个体差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层在总体中所占比例抽取．

系统抽样

(1)要点：个体编号，确定间隔，随机选一，等距抽取．

(2)当(N为总体中个体数目，n为样本容量)不是整数时，先从总体中随机剔除一些个体；在每一个间隔中，采用简单随机抽样抽取第一个个体．

[对点训练]

1．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是________．　

[解析] 依题意，女运动员有98－56＝42(人)．设应抽取女运动员x人，根据分层抽样特点，得＝，解得x＝12．

[答案] 12

2．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体；如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则n＝________．

[解析] 总体容量为6＋12＋18＝36．

当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取的工程师人数为×6＝，技术员人数为×12＝，技工人数为×18＝，所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6，12，18．

当样本容量为(n＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为，因为必须是整数，所以n只能取6．即样本容量n＝6．

[答案] 6

统计与数据处理

[典型例题]

(1)(2019·高考江苏卷)已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________．

(2)(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(一))某电商联盟在“双11”狂欢节促销活动中，对11月11日9时到14时的销售额进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知13时到14时的销售额为4．5万元，则10时到13时的销售额为________万元．

【解析】　(1)数据6，7，8，8，9，10的平均数是＝8，则方差是＝．

(2)设10时到13时的销售额为x万元，由题图可知13时到14时的销售额与10时到13时的销售额的比值为＝，又13时到14时的销售额为4．5万元，所以＝，解得x＝36，所以10时到13时的销售额为36万元．

【答案】　(1)0．1　(2)36

注意区分直方图与条形图，条形图中的纵坐标刻度为频数或频率，直方图中的纵坐标刻度为频率/组距．

描述数据的数字特征有平均数、众数、中位数、方差等，其中平均数、众数、中位数描述其集中趋势，方差反映各个数据与其平均数的离散程度．解题时重在理解概念、公式并正确进行计算．

[对点训练]

3．(2018·高考江苏卷)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．

[解析] 由茎叶图可得分数的平均数为

＝90．

[答案] 90

4．(2019·江苏省高考名校联考(二))江苏省某市阜宁县遭遇强冰雹和龙卷风双重灾害，多个乡镇受灾严重．小明随机调查了受灾地某小区的50户居民的经济损失，将收集的数据分成五组，作出如图所示的频率分布直方图，估计该小区的经济损失的平均数为________元(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．

[解析] 由频率分布直方图可得该小区的50户居民的经济损失的平均数为1 000×(0．000 15×2 000)＋3 000×(0．000 20×2 000)＋5 000×(0．000 09×2 000)＋7 000×(0．000 03×2 000)＋9 000×(0．000 03×2 000)＝3 360(元)，由样本估计总体知该小区的经济损失的平均数为3 360元．

[答案] 3 360

1．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知一组数据1，2，3，4，5m的方差为2，那么相对应的另一组数据2，4，6，8，10m的方差为________．

[解析] 1，2，3，4，5m的平均数＝2＋m，方差s2＝＝2，而2，4，6，8，10m的平均数1＝4＋2m，方差s＝4×＝4×2＝8．

[答案] 8

2．(2019·扬州期末)已知样本6，7，8，9，m的平均数是8，则标准差是________．

[解析] 因为＝＝8，所以m＝10，故s＝＝．

[答案]

3．(2019·高三第二次调研测试)某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为______．

[解析] 根据题意知，从该单位行政人员中抽取了7人，设该单位行政人员的人数为n，则n＝7，解得n＝35．

[答案] 35

4．(2019·苏北四市模拟)如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为________．

[解析] 由题意得：甲＝＝92，乙＝＝92，故s＝(16＋0＋16)＝，s＝(4＋1＋9)＝，故方差较小的那组同学成绩的方差为．

[答案]

5．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)某中学举办了以“美丽中国，我是行动者”为主题的环保知识竞赛，赛后从参赛者中随机抽取了100人，将他们的竞赛成绩(单位：分)分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．并得到如图所示的频率分布直方图，其中“竞赛成绩不低于70分”的人数为______．

[解析]  由题意知a＝(1－0．05－0．1－0．2－0．25－0．1)÷10＝0．030，所以“竞赛成绩不低于70分”的频率为0．3＋0．25＋0．1＝0．65，所以“竞赛成绩不低于70分”的人数为100×0．65＝65．

[答案] 65

6．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)《幸福账单》在南通地区的选拔规则如下：每位参赛选手的才艺展示由7位评委打分(总分100分)，去掉一个最低分和一个最高分，取其余5位评委打分的平均数作为该选手的成绩．已知某选手的得分情况如茎叶图所示，则该选手的成绩为________．

[解析] 由题意可知该选手的成绩是80、83、85、87、90这5个数的平均数，即＝85．

[答案] 85

7．根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60 km/h～120 km/h，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为______________________________________．

[解析] 从频率分布直方图可知，非正常行驶的机动车辆频率为(0．002 5＋0．005 0)×20＝0．150，故所求车辆数为0．150×100＝15．

[答案] 15

8．某校有甲、乙、丙3个高三文科班，其中甲班有47人，乙班有51人，丙班有49人．现分析3个班的某一次数学考试成绩，计算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是90分，丙班的平均成绩是87分，则该校这3个高三文科班的数学平均成绩是________分．

[解析] 由题意知，3个高三文科班的数学平均成绩＝＝89．

[答案] 89

9．如图所示的茎叶图记录了一组数据，关于这组数据，其中说法正确的序号是________．

①众数是9；②平均数是10；③中位数是9或10；④标准差是3．4．

[解析] 由茎叶图知，该组数据为7，8，9，9，9，10，11，12，12，13，所以众数为9，①正确；中位数是＝9．5，③错；平均数是＝(7＋8＋9＋9＋9＋10＋11＋12＋12＋13)＝10，②正确；方差是s2＝[(7－10)2＋(8－10)2＋(9－10)2＋(9－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝3．4，标准差s＝，④错．

[答案] ①②

10．网络上有一种“QQ农场游戏”，这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程．为了了解本班学生对此游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号01，02，03，…，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03，09，则抽取的学生中最大的编号为________．

[解析] 由最小的两个编号为03，09可知，抽样间距为6，因此抽取人数的比例为，即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋(10－1)×6＝57．

[答案] 57

11．(2019·南京、盐城模拟)已知一组数据：a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7构成公差为d的等差数列，且这组数据的方差等于1，则公差d等于________．

[解析] 这组数据的平均数为

＝＝a4，又因为这组数据的方差等于1，所以[(a1－a4)2＋(a2－a4)2＋(a3－a4)2＋(a4－a4)2＋(a5－a4)2＋(a6－a4)2＋(a7－a4)2]

＝＝1，

即4d2＝1，解得d＝±．

[答案] ±

12．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为________．

[解析] 由题图1得到小波一星期的总开支，由题图2得到小波一星期的食品开支，从而借助题图2计算出鸡蛋开支占总开支的百分比．由题图2知，小波一星期的食品开支为30＋40＋100＋80＋50＝300元，由题图1知，小波一星期的总开支为＝1 000元，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为×100%＝3%．

[答案] 3%

13．“中国人均读书4．3本(包括网络文学和教科书)，比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家．”这个论断被各种媒体反复引用．出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的．某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，准备举办读书活动，并进一定量的书籍丰富小区图书站．由于不同年龄段的人看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了40名读书者进行调查，将他们的年龄(单位：岁)分成6段：[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求在这40名读书者中年龄分布在[40，70)的人数；

(2)求这40名读书者的年龄的平均数和中位数．

[解] (1)由频率分布直方图知年龄在[40，70)的频率为(0．020＋0．030＋0．025)×10＝0．75，

故这40名读书者中年龄分布在[40，70)的人数为40×0．75＝30．

(2)这40名读书者年龄的平均数为

25×0．05＋35×0．10＋45×0．20＋55×0．30＋65×0．25＋75×0．10＝54．

设中位数为x，则0．005×10＋0．010×10＋0．020×10＋0．030×(x－50)＝0．5，

解得x＝55，故这40名读书者年龄的中位数为55．

14．(2018·高考全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位： m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；

(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．35 m3的概率；

(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．)

[解] (1)

(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0．35 m3的频率为0．2×0．1＋1×0．1＋2．6×0．1＋2×0．05＝0．48．

因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0．35 m3的概率的估计值为0．48．

(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

1＝(0．05×1＋0．15×3＋0．25×2＋0．35×4＋0．45×9＋0．55×26＋0．65×5)＝0．48．

该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为

2＝(0．05×1＋0．15×5＋0．25×13＋0．35×10＋0．45×16＋0．55×5)＝0．35．

估计使用节水龙头后，一年可节省水(0．48－0．35)×365＝47．45(m3)．