2020江苏高考理科数学二轮讲义：专题六第1讲　概　率

第1讲　概　率

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1．古典概型

古典概型有两个特点：

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

②每个基本事件出现的可能性相等．判断满足以上两个特征，便可用古典概型概率公式P＝求解．其中，n是基本事件总数，m是所求事件所含的基本事件数．

2．几何概型

几何概型是另一种重要的概率模型，它的两个基本特点是：①试验中所有可能出现的结果基本事件有无限多个；②每个基本事件的可能性相等．古典概型与几何概型中基本事件发生都是等可能的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限个．几何概型中事件A的概率计算公式是：

P(A)＝．

3．几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果．

古典概型

[典型例题]

(1)(2019·高考江苏卷)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．

(2)(2018·高考江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．

【解析】　(1)记3名男同学为A，B，C，2名女同学为a，b，则从中任选2名同学的情况有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10种，其中至少有1名女同学的情况有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共7种，故所求概率为．

(2)记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种情况，其中恰好选中2名女生有ab，ac，bc，共3种情况，故所求概率为．

【答案】　(1)　(2)

(1)古典概型计算三步曲

第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．

(2)确定基本事件的方法

①当基本事件总数较少时，可列举计算；

②列表法、树状图法．

(3)较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算．

[对点训练]

1．(2019·苏北三市高三模拟)现有三张识字卡片，分别写有“中”“国”“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是________．

[解析] 三张卡片随机排序的基本事件为(中，国，梦)，(中，梦，国)，(国，中，梦)，(国，梦，中)，(梦，中，国)，(梦，国，中)，共6个，而组成“中国梦”的事件有1个，所以由古典概型的概率计算公式可得所求概率为．

[答案]

2．从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________ ．

[解析] 取两个数的所有情况有：(1，2)，(1，3)，(1，6)，(2，3)，(2，6)，(3，6)，共6种．乘积为6的情况有：(1，6)，(2，3)，共2种．故所求事件的概率为＝．

[答案]

几何概型

[典型例题]

(1)记函数f(x)＝的定义域为D．在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．

(2)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．

【解析】　(1)由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2，3]，则所求概率为＝．

(2)法一：设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连结OC，DC．

不妨令OA＝OB＝2，则OD＝DA＝DC＝1．

在以OA为直径的半圆中，空白部分的面积S1＝＋×1×1－＝1，

所以整体图形中空白部分的面积S2＝2．

又因为S扇形OAB＝×π×22＝π，

所以阴影部分的面积为S3＝π－2．

所以P＝＝1－．

法二：连结AB，设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，令OA＝2．

由题意知C∈AB且S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC，

所以S空白＝S△OAB＝×2×2＝2．

又因为S扇形OAB＝×π×22＝π，

所以S阴影＝π－2．

所以P＝＝＝1－．

【答案】　(1)　(2)1－

数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的方法．

用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A)＝．

[对点训练]

3．(2019·南京模拟)在圆x2＋y2＝4上任取一点，则该点到直线x＋y－2＝0的距离d∈[0，1]的概率为________．

[解析] 圆x2＋y2＝4的圆心为O(0，0)，半径r＝2，

所以圆心O到直线x＋y－2＝0的距离为d1＝＝2＝r，所以直线x＋y－2＝0与圆O相切．

不妨设圆x2＋y2＝4上到直线x＋y－2＝0的距离d∈[0，1]的所有点都在上，其中直线AB与直线x＋y－2＝0平行，直线AB与直线x＋y－2＝0的距离为1，所以圆心到直线AB的距离为r－1＝1，所以cos＝，所以∠AOB＝，得∠AOB＝，所以所求的概率P＝＝．

[答案]

1．(2019·苏北四市高三模拟)若随机安排甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天值班的概率为________．

[解析] 3人值班的情况有(甲，乙，丙)、(甲，丙，乙)、(乙，甲，丙)、(乙，丙，甲)、(丙，甲，乙)、(丙，乙，甲)，共6种，其中甲与丙都不在第一天值班的情况有(乙，甲，丙)、(乙，丙，甲)，共2种，故所求的概率为＝．

[答案]

2．(2019·无锡市高三模拟)从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为________．

[解析] 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数有以下6种可能：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，取出的数中一个是奇数一个是偶数有4种可能：(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，故由古典概型的概率计算公式可得取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为．

[答案]

3．(2019·无锡期末)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．　

[解析] 记两本数学书为1，2，1本语文书为3，则将它们排成一行的所有基本事件为(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，共6个基本事件，其中2本数学书相邻的基本事件有(1，2，3)，(2，1，3)，(3，1，2)，(3，2，1)，共4个基本事件，故所求的概率为P＝＝．

[答案]

4．(2019·苏州市高三调研测试)一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0．2，目标未受损的概率为0．4，则目标受损但未完全击毁的概率为________．

[解析] 目标受损但未完全击毁的概率为1－(0．2＋0．4)＝0．4

[答案] 0．4

5．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(二))某饮品店提供A，B两种口味的饮料，且每种饮料均有大杯、中杯、小杯三种．甲、乙两人随机各点一杯饮料，且甲只点大杯，乙点中杯或小杯，则甲和乙恰好点了同一种口味饮料的大杯和小杯的概率为________．

[解析] “甲、乙两人随机各点一杯饮料，且甲只点大杯，乙点中杯或小杯”共有8种等可能基本事件，分别为(A大，A中)，(A大，A小)，(A大，B中)，(A大，B小)，(B大，A中)，(B大，A小)，(B大，B中)，(B大，B小)，其中“甲和乙恰好点了同一种口味饮料的大杯和小杯”包括2种情况为(A大，A小)，(B大，B小)，所以所求概率P＝＝．

[答案]

6．(2019·南通模拟)同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)，观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为________．　

[解析] 基本事件有36种，其中两个点数之积小于4的有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(3，1)，共计5种，故两个点数之积小于4的概率为，故不小于4的概率为1－＝．

[答案]

7．(2019·南京模拟)如图，六边形ABCDEF是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是________．

[解析] 设正六边形的中心为点O，BD与AC交于点G，BC＝1，则BG＝CG，∠BGC＝120°，在△BCG中，由余弦定理得1＝BG2＋BG2－2BG2cos 120°，得BG＝，所以S△BCG＝×BG×BG×sin 120°＝×××＝，因为S六边形ABCDEF＝S△BOC×6＝×1×1×sin 60°×6＝，所以该点恰好在图中阴影部分的概率是1－＝．

[答案]

8．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(六))在区间(0，3)上随机取一个数a，使得函数y＝ax(a>0)是增函数的概率为________．

[解析] 要使函数y＝ax(a>0)是增函数，则需a>1，又a∈(0，3)，所以所求概率为＝．

[答案]

9．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．

[解析]  由题意得an＝(－3)n－1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P＝＝．

[答案] 

10．(2019·江苏名校高三入学摸底)已知集合A＝{x|x＝sin ，n∈N*，1≤n≤8}，若从集合A中任取一个元素x，则满足x2≤的概率为________．

[解析] 由已知得，集合A＝{x|x＝sin ，n∈N*，1≤n≤8}＝{0，1，，－1，－}，由x2≤解得－≤x≤，集合A中满足x2≤的元素有0，，－，则由古典概型的概率计算公式可知P＝．

[答案]

11．袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“2”“3”“4”“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是________．

[解析] 从四个不同的数中选三个的情况有(2，3，4)，(2，3，6)，(2，4，6)，(3，4，6)，共四种，满足成等差数列的情况有(2，3，4)和(2，4，6)，共两种．故所求概率为＝．

[答案]

12．(2019·江苏高考信息卷)设连续抛掷两次骰子得到的点数分别为x，y，若平面向量a＝(x，y)，b＝(－2，1)，则|a|>|b|的概率为________．

[解析] 法一：由题意知，x∈{1，2，3，4，5，6}，y∈{1，2，3，4，5，6}，故(x，y)所有可能的取法共36种，列表如下：

其中，满足|a|>|b|的(x，y)的取法共有33种(表中斜线部分)，则所求概率P＝＝．

法二：由题意知，x∈{1，2，3，4，5，6}，y∈{1，2，3，4，5，6}，故(x，y)所有可能的取法共36种．若|a|≤|b|，即x2＋y2≤5，所以满足|a|≤|b|的(x，y)的取法共有3种：(1，1)、(1，2)、(2，1)，故|a|>|b|的概率P＝1－＝．

[答案]

13．(2019·武汉武昌区调研)已知函数f(x)＝x3－(a－1)x2＋b2x，其中a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3}，则函数f(x)在R上是增函数的概率为________．

[解析] f′(x)＝x2－2(a－1)x＋b2，若函数f(x)在R上是增函数，则对于任意x∈R，f′(x)≥0恒成立，所以Δ＝4(a－1)2－4b2≤0，即(a－1)2≤b2．a，b所有的取值情况有4×3＝12(种)，若满足(a－1)2≤b2，则当a＝1时，b＝1，2，3，当a＝2时，b＝1，2，3，当a＝3时，b＝2，3，当a＝4时，b＝3，共有3＋3＋2＋1＝9(种)情况，所以所求概率为＝．

[答案]

14．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(七))若一次函数f(x)＝2ax－5满足a∈[－3，2]且a≠0，则f(x)≤0在x∈[0，2]上恒成立的概率为________．

[解析] 由题意可得函数f(x)＝2ax－5≤0在x∈[0，2]上恒成立，当x＝0时，－5≤0，显然恒成立；当x∈(0，2]时，可化为a≤，而y＝在x∈(0，2]上的最小值为，所以a≤，结合a∈[－3，2]且a≠0，得a∈[－3，0)∪(0，]，由几何概型的概率计算公式可得f(x)≤0在x∈[0，2]上恒成立的概率P＝＝．

[答案]