2019版二轮复习数学（理·普通生）通用版讲义：第一部分第二层级重点增分专题七　空间几何体的三视图、表面积及体积

重点增分专题七　空间几何体的三视图、表面积及体积[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2018空间几何体的三视图、直观图及最短路径问题·T7圆锥的性质及侧面积的计算·T16三视图与数学文化·T3与外接球有关的空间几何体体积的最值问题·T102017空间几何体的三视图与直观图、面积的计算·T7空间几何体的三视图及组合体体积的计算·T4球的内接圆柱、圆柱的体积的计算·T82016有关球的三视图及表面积的计算·T6空间几何体的三视图及组合体表面积的计算·T6空间几何体的三视图及表面积的计算·T9与直三棱柱有关的球体积的最值问题·T10 (1)“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面位置关系(特别是平行与垂直)．(2)考查一个小题时，本小题一般会出现在第4～8题的位置上，难度一般；考查两个小题时，其中一个小题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第10～16题的位置上，本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查．    保分考点·练后讲评1.下列三视图所对应的直观图是(　　)解析：选C　由三视图知，几何体的直观图下部是长方体，上部是圆柱，并且高相等，所以C选项符合题意．2.如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为(　　)解析：选A　由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.3.(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)解析：选A　由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.[解题方略]1．识别三视图的步骤(1)应把几何体的结构弄清楚或根据几何体的具体形状，明确几何体的摆放位置．(2)根据三视图的有关规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图．(3)被遮住的轮廓线应为虚线．2．由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面．(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．(3)确定几何体的直观图形状．3．由几何体的部分视图判断剩余的视图的思路先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．  几何体的表面积与体积  增分考点·讲练冲关[典例]　(1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形ABCD为矩形，棱EF∥AB.若此几何体中，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积为(　　)A．8　　　　　　　 　B．8＋8C．6＋2   D．8＋6＋2(2)(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　)A．90π B．63πC．42π D．36π(3)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点．当AD＋DC1最小时，三棱锥D­ABC1的体积为________．[解析]　(1)如图所示，取BC的中点P，连接PF，则PF⊥BC，过F作FQ⊥AB，垂足为Q.因为△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，且EF∥AB，所以四边形ABFE为等腰梯形，FP＝，则BQ＝(AB－EF)＝1，FQ＝＝，所以S梯形EFBA＝S梯形EFCD＝×(2＋4)×＝3，又S△ADE＝S△BCF＝×2×＝，S矩形ABCD＝4×2＝8，所以该几何体的表面积S＝3×2＋×2＋8＝8＋8.故选B.(2)法一：(分割法)由题意知，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积V1＝π×32×4＝36π；上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积V2＝×π×32×6＝27π.所以该组合体的体积V＝V1＋V2＝36π＋27π＝63π.法二：(补形法)由题意知，该几何体是一圆柱被一平面截去一部分后所得的几何体，在该几何体上方再补上一个与其相同的几何体，让截面重合，则所得几何体为一个圆柱，该圆柱的底面半径为3，高为10＋4＝14，该圆柱的体积V1＝π×32×14＝126π.故该几何体的体积为圆柱体积的一半，即V＝V1＝63π.(3)将平面AA1B1B沿着B1B旋转到与平面CC1B1B在同一平面上(点B在线段AC上)，连接AC1与B1B相交于点D，此时AD＋DC1最小，BD＝CC1＝1.因为在直三棱柱中，BC⊥AB，BC⊥BB1，且BB1∩AB＝B，所以BC⊥平面AA1B1B，又CC1∥平面AA1B1B，所以V三棱锥D­ABC1＝V三棱锥C1­ABD＝V三棱锥C­ABD＝S△ABD·BC＝××1×1×2＝.[答案]　(1)B　(2)B　(3)[解题方略]1．求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得所给几何体的表面积．2．求空间几何体体积的常用方法公式法直接根据常见柱、锥、台等规则几何体的体积公式计算等积法根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等割补法把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体 [多练强化]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)A．12π   B．12πC．8π   D．10π解析：选B　设圆柱的轴截面的边长为x，则x2＝8，得x＝2，∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×()2＋2π××2＝12π.故选B.2．(2019届高三·湖北五校联考)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是(　　)A．13   B．14C．15   D．16解析：选C　所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体如图中ABCD­A′B′C′D′所示，长方体的长、宽、高分别为4,2,3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V＝4×2×3－2××3××2＝15.3．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥P­ABA1的体积为_______．  解析：由题意，得V三棱锥P­ABA1＝V三棱锥C­ABA1＝V三棱锥A1­ABC＝S△ABC·AA1＝××32×3＝.答案：    [析母题][典例]　在三棱锥P­ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，三棱锥P­ABC的外接球的体积为(　　)A.π　　　　　　　　　 B.πC．27π D．27π[解析]　∵在三棱锥P­ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，∴△PAB≌△PBC≌△PAC. ∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PC⊥PB.以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P­ABC的外接球．∵正方体的体对角线长为＝3，∴其外接球半径R＝.因此三棱锥P­ABC的外接球的体积V＝×3＝π.[答案]　B[练子题]1．在本例条件下，求三棱锥P­ABC的内切球的半径为________．解析：由本例解析知，S△PAB＝S△PBC＝S△PAC＝，S△ABC＝×3×3×sin 60°＝.设三棱锥P­ABC的内切球的半径为r，则VP­ABC＝AP·S△PBC＝(S△PAC＋S△PBA＋S△PBC＋S△ABC)r，∴×3×＝r，解得r＝，∴所求三棱锥内切球的半径为.答案：2．若本例变为：已知A，B，C，D是球O上不共面的四点，且AB＝BC＝AD＝1，BD＝AC＝，BC⊥AD，则球O的体积为________．解析：因为AB＝BC＝1，AC＝，所以AB2＋BC2＝AC2，所以BC⊥AB，又BC⊥AD，AD∩AB＝A，所以BC⊥平面ABD.因为AB＝AD＝1，BD＝，所以AB2＋AD2＝BD2，所以AB⊥AD，此时可将点A，B，C，D看成棱长为1的正方体上的四个顶点，球O为正方体的外接球，设球O的半径为R，故2R＝，所以R＝，则球O的体积V＝πR3＝π.答案：π [解题方略]1．空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系．(2)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(3)补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则几何体．2．与球有关的组合体的常用结论(1)长方体的外接球：①球心：体对角线的交点；②半径：r＝(a，b，c为长方体的长、宽、高)．(2)正方体的外接球、内切球①外接球：球心是正方体中心，半径r＝a(a为正方体的棱长)；②内切球：球心是正方体中心，半径r＝(a为正方体的棱长)．[多练强化]1．(2018·福州质检)已知正三棱柱ABC­A1B1C1中，底面积为，一个侧面的周长为6，则正三棱柱ABC­A1B1C1外接球的表面积为(　　)A．4π   B．8πC．16π   D．32π解析：选C　如图所示，设底面边长为a，则底面面积为a2＝，所以a＝.又一个侧面的周长为6，所以AA1＝2.设E，D分别为上、下底面的中心，连接DE，设DE的中点为O，则点O即为正三棱柱ABC­A1B1C1的外接球的球心，连接OA1，A1E，则OE＝，A1E＝××＝1.在Rt△OEA1中，OA1＝＝2，即外接球的半径R＝2，所以外接球的表面积S＝4πR2＝16π.2．(2019届高三·武昌调研)已知底面半径为1，高为的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为(　　)A.   B．4πC.   D．12π解析：选C　如图，△ABC为圆锥的轴截面，O为其外接球的球心，设外接球的半径为R，连接OB，OA，并延长AO交BC于点D，则AD⊥BC，由题意知，AO＝BO＝R，BD＝1，AD＝，则在         Rt△BOD中，有R2＝(－R)2＋12，解得R＝，所以外接球O的表面积S＝4πR2＝，故选C.3．(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D­ABC体积的最大值为(　　)A．12   B．18C．24   D．54解析：选B　由等边△ABC的面积为9，可得AB2＝9，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝AB＝2.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝＝＝2.所以三棱锥D­ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D­ABC体积的最大值为×9×6＝18.  4.(2017·江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以＝＝.答案： 直观想象——三视图中相关问题的求解[典例]　已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于(　　)A．2π＋4   B．4π＋2C.＋4   D.＋8[解析]　由三视图可知，该几何体的直观图为左侧半球、中间正方体、右侧圆锥的组合体．其中，半球的半径r1与圆锥的底面半径r2相等，皆为1，即r1＝r2＝1，正方体的棱长a＝2，圆锥的高h＝2.所以半球的体积V1＝×r＝××13＝，正方体的体积V2＝a3＝23＝8，圆锥的体积V3＝×πrh＝×π×12×2＝.所以该组合体的体积V＝V1＋V2＋V3＝＋8＋＝＋8.故选D.[答案]　D[素养通路]本题以组合体的三视图为背景，主要是根据几何体的三视图及三视图中的数据，求几何体的体积或侧(表)面积．此类问题难点：一是根据三视图的形状特征确定几何体的结构特征；二是将三视图中的数据转化为几何体的几何度量．考查了直观想象这一核心素养．                                                                                                               一、选择题1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是(　　)解析：选D　先观察俯视图，由俯视图可知选项B和D中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D正确．2．设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为(　　)A．100π　　　　　　　　　 B.πC.π   D.π解析：选D　因为切面圆的半径r＝4，球心到切面的距离d＝3，所以球的半径R＝＝＝5，故球的体积V＝πR3＝π×53＝π，即该西瓜的体积为π.3．(2019届高三·开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为(　　)A．4π   B．2πC.   D．π解析：选B　由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为α，由tan α＝＝，得α＝，故底面面积为××22＝，则该几何体的体积为×3＝2π.4．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为(　　)A．2   B．4＋2C．4＋4   D．4＋6  解析：选C　由三视图知，该几何体是直三棱柱ABC­A1B1C1，其直观图如图所示，其中AB＝AA1＝2，BC＝AC＝，∠C＝90°，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S＝(2＋2)×2＝4＋4.  5．(2018·惠州二调)如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长都等于1，则该几何体的外接球的体积为(　　)A.π　　　　　　　　 B.πC．3π　　　　　 　　 　 D.π  解析：选B　还原几何体为如图所示的三棱锥A­BCD，将其放入棱长为1的正方体中，如图所示，则三棱锥A­BCD外接球的半径R＝，该几何体的外接球的体积V＝πR3＝π，故选B.6．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是(　　)A. cm3   B. cm3C．2 cm3   D．4 cm3解析：选B　由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2 cm，高为2 cm的四棱锥，如图，故V＝×22×2＝(cm3)．7．如图，已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA＝EB＝3，AD＝2，∠AEB＝60°，则多面体E­ABCD的外接球的表面积为(　　)A.   B．8πC．16π   D．64π解析：选C　由题知△EAB为等边三角形，设球心为O，O在平面ABCD的射影为矩形ABCD的中心，O在平面ABE上的射影为△EAB的重心G，又由平面EAB⊥平面ABCD，则△OGA为直角三角形，OG＝1，AG＝，所以R2＝4，所以多面体E­ABCD的外接球的表面积为4πR2＝16π.8．(2018·昆明摸底)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为(　　)A．63π   B．72πC．79π   D．99π解析：选A　由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为5，底面圆的半径为3，半球的半径为3，所以组合体的体积为π×32×5＋×π×33＝63π.9．(2019届高三·武汉调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为(　　)A．28   B．24＋2C．20＋4   D．20＋2解析：选B　根据该几何体的三视图作出其直观图如图所示，可知该几何体是一个底面是梯形的四棱柱．根据三视图给出的数据，可得该几何体中梯形的上底长为2，下底长为3，高为2，所以该几何体的表面积S＝ ×(2＋3)×2×2＋2×2＋2×3＋2×2＋2×＝24＋2，故选B. 10.如图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，侧视图是直角边长分别为1和的直角三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的内接三棱锥的体积的最大值为(　　)A.   B.C.   D.解析：选B　由三视图可知该几何体为半个圆锥，圆锥的母线长l＝2，底面半径r＝1，高h＝.由半圆锥的直观图可得，当三棱锥的底面是斜边，为半圆直径，高为半径的等腰直角三角形，棱锥的高为半圆锥的高时，其内接三棱锥的体积达到最大值，最大体积为V＝××2×1×＝，故选B.11．(2019届高三·贵阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为1 cm的正方体无缝粘合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)A．50 cm2   B．61 cm2C．84 cm2   D．86 cm2解析：选D　根据题意可知该几何体由3个长方体(最下面长方体的长、宽、高分别为5 cm,5 cm, 1 cm；中间长方体的长、宽、高分别为3 cm,3 cm,1 cm；最上面长方体的长、宽、高分别为1 cm,1 cm,1 cm)叠合而成，长、宽、高分别为5 cm,5 cm,1 cm的长方体的表面积为2(5×5＋5×1＋5×1)＝2×35＝70(cm2)；长、宽、高分别为3 cm,3 cm,1 cm的长方体的表面积为2(3×3＋3×1＋3×1)＝2×15＝30(cm2)；长、宽、高分别为1 cm，1 cm,1 cm的长方体的表面积为2(1×1＋1×1＋1×1)＝2×3＝6(cm2)．由于几何体的叠加而减少的面积为2×(3×3)＋2×(1×1)＝2×10＝20(cm2)，所以所求表面积为70＋30＋6－20＝86(cm2)．12．在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且＝，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M­PBC的体积为(　　)A．1   B.C.   D．与M点的位置有关解析：选B　∵＝，∴点P到平面BCC1B1的距离是D1到平面BCC1B1距离的，即为＝1.M为线段B1C1上的点，∴S△MBC＝×3×3＝，∴VM­PBC＝VP­MBC＝××1＝.13．(2018·洛阳尖子生第一次联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A．2   B．1C.   D.解析：选C　由题图可知该几何体是一个四棱锥，如图所示，其中PD⊥平面ABCD，底面ABCD是一个对角线长为2的正方形，底面积S＝  ×2×2＝2，高h＝1，则该几何体的体积V＝Sh＝，故选C.  14．(2018·武汉调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
A.   B.C.   D.解析：选D　由三视图知，该几何体是在长、宽、高分别为2,1,1的长方体中，截去一个三棱柱AA1D1­BB1C1和一个三棱锥C­BC1D后剩下的几何体，即如图所示的四棱锥D­ABC1D1，四棱锥D­ABC1D1的底面积为S四边形ABC1D1＝2×＝2，高h＝，其体积V＝S四边形ABC1D1h＝×2×＝.15．(2019届高三·安徽知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A．1   B.C.   D.解析：选C　法一：该几何体的直观图为如图所示的四棱锥S­ABCD，SD⊥平面ABCD，且SD＝1，四边形ABCD是平行四边形，且AB＝DC＝1，连接BD，由题意知BD⊥DC，BD⊥AB，且BD＝1，所以S四边形ABCD＝1，所以VS­ABCD＝S四边形ABCD·SD＝.法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以V＝Sh，其中S指的是锥体的底面积，即俯视图中四边形的面积，易知S＝1，h指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知h＝1，所以V＝Sh＝.16．(2018·福州质检)已知三棱锥P­ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝8.若平面ABC截球O所得截面的面积为9π，则球O的表面积为(　　)A．10π   B．25πC．50π   D．100π解析：选D　设球O的半径为R，由平面ABC截球O所得截面的面积为9π，得△ABC的外接圆的半径为3.设该外接圆的圆心为D，因为AB⊥BC，所以点D为AC的中点，所以DC＝3.因为PA⊥平面ABC，易证PB⊥BC，所以PC为球O的直径．又PA＝8，所以OD＝PA＝4，所以R＝OC＝＝5，所以球O的表面积为S＝4πR2＝100π.二、填空题17．一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是________．解析：由四棱锥的三视图可知，该四棱锥的直观图如图中四棱锥P­ABCD所示，底面ABCD为边长为1的正方形，△PAD是边长为1的等边三角形，作PO⊥AD于点O，则O为AD的中点，所以四棱锥的体积为V＝×1×1×＝.答案：18.如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若AA1＝4，AB＝2，则四棱锥B­ACC1D的体积为________．解析：取AC的中点O，连接BO(图略)，则BO⊥AC，所以BO⊥平面ACC1D.因为AB＝2，所以BO＝.因为D为棱AA1的中点，AA1＝4，所以AD＝2，所以S梯形ACC1D＝×(2＋4)×2＝6，所以四棱锥B­ACC1D的体积为×6×＝2.答案：219.如图，半径为4的球O中有一内接圆柱，则圆柱的侧面积最大值是________．解析：设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，则r＝4cos α，圆柱的高为8sin α.所以圆柱的侧面积为32πsin 2α.当且仅当α＝时，sin 2α＝1，圆柱的侧面积最大，所以圆柱的侧面积的最大值为32π.答案：32π20．(2018·沈阳质检)已知在正四棱锥S­ABCD中，SA＝6，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为________．解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，因为在正四棱锥S­ABCD中，SA＝6，所以＋h2＝108，即a2＝216－2h2，所以正四棱锥的体积VS­ABCD＝a2h＝72h－h3，令y＝72h－h3，则y′＝72－2h2，令y′>0，得0<h<6，令y′<0，得h>6，所以当该棱锥的体积最大时，它的高为6.答案：6