2019版二轮复习数学（理·普通生）通用版讲义：第一部分第二层级重点增分专题三导数的简单应用

重点增分专题三　导数的简单应用
[全国卷3年考情分析]
年份
全国卷Ⅰ
全国卷Ⅱ
全国卷Ⅲ
2018
奇函数的定义及利用导数的几何意义求切线方程·T5
利用导数的几何意义求切线方程·T13
利用导数的几何意义求参数值·T14
利用导数讨论函数的单调性·T21(1)
2017
利用导数讨论函数的单调性·T21(1)
导数的运算、利用导数求函数极值·T11

2016


函数的奇偶性、利用导数的几何意义求切线方程·T15
利用导数公式直接求导·T21(1)

(1)高考对导数的几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题第一问．
(2)高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度中等；有时也出现在解答题第一问．
(3)近几年全国课标卷对定积分及其应用的考查极少，题目一般比较简单，但也不能忽略．

保分考点·练后讲评
[大稳定]
1.(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln x在点(1,0)处的切线方程为______________．
解析：因为y′＝，y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.
答案：y＝2x－2
2.曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为________．
解析：f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或 (－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故点P的坐标为(1,3)和(－1,3)．
答案：(1,3)和(－1,3)
3.(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.
解析：∵y′＝(ax＋a＋1)ex，∴当x＝0时，y′＝a＋1，
∴a＋1＝－2，解得a＝－3.
答案：－3
4.曲线f(x)＝x3－2x2＋2过点P(2,0)的切线方程为________．
解析：因为f(2)＝23－2×22＋2＝2≠0，
所以点P(2,0)不在曲线f(x)＝x3－2x2＋2上．
设切点坐标为(x0，y0)，则≤x0≤，
因为f′(x)＝3x2－4x，
所以
消去y0，整理得(x0－1)(x－3x0＋1)＝0，
解得x0＝1或x0＝(舍去)
或x0＝(舍去)，
所以y0＝1，f′(x0)＝－1，
所以所求的切线方程为y－1＝－(x－1)，
即y＝－x＋2.
答案：y＝－x＋2
5.若曲线y＝ln(x＋a)的一条切线为y＝ex＋b，其中a，b为正实数，则a＋的取值范围是________．
解析：因为y＝ln(x＋a)，所以y′＝.
设切点为(x0，y0)，则有
所以b＝ae－2.
因为b>0，所以a>，
所以a＋＝a＋＝a＋≥2(当且仅当a＝1时取等号)，
所以a＋的取值范围是[2，＋∞)．
答案：[2，＋∞)

[解题方略]
1．求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法
类型
方法
已知切点P(x0，y0)，求切线方程
求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程
已知切线的斜率k，求切线方程
设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程
已知切线上一点(非切点)，求切线方程
设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程

2．由曲线的切线求参数值或范围的2种类型及解题关键
类型
解题关键
已知曲线在某点处的切线求参数
关键是用“方程思想”来破解，先求出函数的导数，从而求出在某点处的导数值；再根据导数的几何意义与已知条件，建立关于参数的方程，通过解方程求出参数的值
已知曲线的切线方程，求含有双参数的代数式的取值范围
关键是过好“双关”：一是转化关，即把所求的含双参数的代数式转化为含单参数的代数式，此时需利用已知切线方程，寻找双参数的关系式；二是求最值关，常利用函数的单调性、基本不等式等方法求最值，从而得所求代数式的取值范围

[小创新]
1.已知函数f(x)＝x2－ax的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线x＋3y－1＝0垂直，记数列的前n项和为Sn，则S2 018的值为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D　由题意知f(x)＝x2－ax的图象在点A(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝
2－a＝3⇒a＝－1，故f(x)＝x2＋x.则＝＝－，S2 018＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.


2.曲线f(x)＝－x3＋3x2在点(1，f(1))处的切线截圆x2＋(y＋1)2＝4所得的弦长为(　　)
A．4 B．2
C．2 D.
解析：选A　因为f′(x)＝－3x2＋6x，则f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率k＝－3＋6＝3，又f(1)＝2，故切线方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0.
因为圆心C(0，－1)到直线3x－y－1＝0的距离d＝0，
所以直线3x－y－1＝0截圆x2＋(y＋1)2＝4所得的弦长就是该圆的直径4，故选A.
3.已知函数f(x)＝x－sin x－cos x的图象在点A(x0，y0)处的切线的斜率为1，则tan x0＝________.
解析：∵f(x)＝x－sin x－cos x，∴f′(x)＝－cos x＋sin x＝＋sin.
∵函数f(x)的图象在点A(x0，y0)处的切线斜率为1，
∴＋sin＝1，
∴x0－＝＋2kπ，k∈Z，
∴x0＝＋2kπ，k∈Z，
∴tan x0＝tan＝－.
答案：－

[析母题]
[典例]　已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，讨论f(x)的单调性．
[解]　函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．
①若a＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递增．
②若a＞0，则由f′(x)＝0，得x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0.
故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增．
③若a＜0，则由f′(x)＝0，得x＝ln.
当x∈时，f′(x)＜0；
当x∈时，f′(x)＞0.
故f(x)在上单调递减，
在上单调递增．
[练子题]
1．若本例中f(x)变为f(x)＝ln x＋－，a∈R且a≠0，讨论函数f(x)的单调性．
解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
则f′(x)＝－＝.
当a0恒成立，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a>0时，由f′(x)>0，得x>；
由f′(x)