2019版二轮复习数学（理·普通生）通用版讲义：第一部分第二层级重点增分专题十　直线与圆

重点增分专题十　直线与圆[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2018  直线方程、圆的方程、点到直线的距离·T62017圆的性质、点到直线的距离、双曲线的几何性质·T15圆的弦长问题、双曲线的几何性质·T9直线与圆的位置关系、点到直线的距离、椭圆的几何性质·T10直线与圆的方程、直线与抛物线的位置关系·T202016 圆的方程、点到直线的距离·T4点到直线的距离、弦长问题·T16  (1)圆的方程近几年成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．(2)直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．     保分考点·练后讲评1.已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　　)A．1或3　　　　　　　 　B．1或5C．3或5   D．1或2解析：选C　当k＝4时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在，所以两直线不平行；当k≠4时，两直线平行的一个必要条件是＝k－3，解得k＝3或k＝5，但必须满足≠(截距不等)才是充要条件，经检验知满足这个条件．2．[两直线垂直]已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为P(1，p)，则m－n＋p的值是(　　)A．24   B．20C．0   D．－4解析：选B　∵直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，∴×＝－1，∴m＝10.直线mx＋4y－2＝0，即5x＋2y－1＝0，将垂足(1，p)代入，得5＋2p－1＝0，∴p＝－2.把P(1，－2)代入2x－5y＋n＝0，得n＝－12，∴m－n＋p＝20，故选B.3.坐标原点(0,0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(　　)A.   B.C.   D.   解析：选A　直线x－2y＋2＝0的斜率k＝，设坐标原点(0,0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(x0，y0)，依题意可得解得即所求点的坐标是.4.已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0,4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为_________________．解析：由得所以直线l1与l2的交点为(1,2)．显然直线x＝1不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，因为P(0,4)到直线l的距离为2，所以＝2，所以k＝0或k＝.所以直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.答案：y＝2或4x－3y＋2＝0[解题方略]1．两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．2．轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)直线关于直线的对称有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一般转化为点关于直线的对称来解决     保分考点·练后讲评[大稳定]1.若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－2)　　　　　　  B.C．(－2,0)   D.解析：选D　若方程表示圆，则a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，化简得3a2＋4a－4<0，解得－2<a<.2.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的标准方程为________．解析：设C(a,0)(a>0)，由题意知＝，解得a＝2，所以r＝ ＝3，故圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.答案：(x－2)2＋y2＝9[解题方略]　求圆的方程的2种方法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程 [小创新]1.已知圆M：x2＋y2－2x＋a＝0，若AB为圆M的任意一条直径，且·＝－6(其中O为坐标原点)，则圆M的半径为(　　)A.   B.C.   D．2解析：选C　圆M的标准方程为(x－1)2＋y2＝1－a(a<1)，圆心M(1,0)，则|OM|＝1，圆的半径r＝，因为AB为圆M的任意一条直径，所以＝－，且||＝||＝r，则·＝(＋)·(＋)＝(－)·(＋)＝2－2＝1－r2＝－6，所以r2＝7，得r＝，所以圆的半径为，故选C.2.向圆(x－2)2＋(y－)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率为________．解析：如图，连接CA，CB，依题意，圆心C到x轴的距离为，所以弦AB的长为2.又圆的半径为2，所以弓形ADB的面积为×π×2－×2×＝π－，所以向圆(x－2)2＋(y－)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率P＝＝－.答案：－    增分考点·广度拓展[分点研究]题型一　圆的切线问题[例1]　(1)(2019届高三·苏州高三调研)在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(1,1)的直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a＝________.(2)设点M(x0，y0)为直线3x＋4y＝25上一动点，过点M作圆x2＋y2＝2的两条切线，切点为B，C，则四边形OBMC面积的最小值为________．[解析]　(1)由题意得，直线l的斜率存在，设过点M(1,1)的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y＋1－k＝0.因为直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，所以圆心(－1,2)到直线l的距离d＝＝，整理得k2－4k＋4＝0，解得k＝2.又直线l与直线ax＋y－1＝0垂直，所以－2a＝－1，解得a＝.(2)圆心O到直线3x＋4y＝25的距离d＝＝5，则|OM|≥d＝5，所以切线长|MB|＝≥ ＝，所以S四边形OBMC＝2S△OBM≥2×××＝.[答案]　(1)　(2)[变式1]　本例(2)变为：过点A(1,3)，作圆x2＋y2＝2的两条切线，切点为B，C，则四边形OBAC的面积为________．解析：由相切可得S四边形OBAC＝2S△OBA，因为△OAB为直角三角形，且|OA|＝，|OB|＝，所以|AB|＝2，即S△OBA＝×2×＝2，所以S四边形OBAC＝2S△OBA＝4.答案：4  [变式2]　本例(2)变为：设点M(x0，y0)为直线3x＋4y＝25上一动点，过点M作圆x2＋y2＝2的两条切线l1，l2，则l1与l2的最大夹角的正切值是________．解析：设一个切点为B，圆心O到直线3x＋4y＝25的距离为d＝＝5，则tan∠OMB＝≤，所以tan 2∠OAB＝＝≤.故所求最大夹角的正切值为.答案：[解题方略]　直线与圆相切问题的解题策略直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．题型二　圆的弦长问题[例2]　已知圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆C相交于P，Q两点．(1)求圆C的方程；(2)过点(0,1)作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M，N两点，求四边形PMQN面积的最大值．[解]　(1)设圆心C(a，a)，半径为r，因为圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，所以|AC|＝|BC|＝r，即＝ ＝r，解得a＝0，r＝2，故所求圆C的方程为x2＋y2＝4.(2)设圆心C到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S.因为直线l，l1都经过点(0,1)，且l1⊥l，根据勾股定理，有d＋d2＝1.又|PQ|＝2×，|MN|＝2×，所以S＝|PQ|·|MN|，即S＝×2××2×＝2＝2≤2＝2＝7，当且仅当d1＝d时，等号成立，所以四边形PMQN面积的最大值为7.[解题方略]　求解圆的弦长的3种方法关系法根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)公式法根据公式l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)距离法联立直线与圆的方程，解方程组求出两交点坐标，用两点间距离公式求解  [多练强化]1．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，∴|AB|＝2＝2＝2.答案：22．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点，若|MN|＝，则直线l的方程为________．解析：直线l的方程为y＝kx＋1，圆心C(2,3)到直线l的距离d＝＝，由R2＝d2＋2，得1＝＋，解得k＝2或，故所求直线l的方程为y＝2x＋1或y＝x＋1.答案：y＝2x＋1或y＝x＋13．已知从圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，则当|PM|取最小值时点P的坐标为________． 解析：如图所示，连接CM，CP.由题意知圆心C(－1,2)，半径r＝.因为|PM|＝|PO|，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x＋y＋2＝(x1＋1)2＋(y1－2)2，即2x1－4y1＋3＝0.要使|PM|的值最小，只需|PO|的值最小即可．当PO垂直于直线2x－4y＋3＝0时，即PO所在直线的方程为2x＋y＝0时，|PM|的值最小，此时点P为两直线的交点，则解得故当|PM|取最小值时点P的坐标为.答案： 数学建模——直线与圆最值问题的求解[典例]　已知圆O：x2＋y2＝9，过点C(2,1)的直线l与圆O交于P，Q两点，则当△OPQ的面积最大时，直线l的方程为(　　)A．x－y－3＝0或7x－y－15＝0B．x＋y＋3＝0或7x＋y－15＝0C．x＋y－3＝0或7x－y＋15＝0D．x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0[解析]　当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，则P(2，)，Q(2，－)，所以S△OPQ＝×2×2＝2，当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，则圆心到直线l的距离d＝，所以|PQ|＝2，S△OPQ＝×|PQ|×d＝×2×d＝ ≤＝，当且仅当9－d2＝d2，即d2＝时，S△OPQ取得最大值，因为2＜，所以S△OPQ的最大值为，此时＝，解得k＝－1或k＝－7，此时直线l的方程为x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0，故选D.[答案]　D[素养通路]本题考查了直线与圆的最值问题，结合题目的条件，设元、列式、建立恰当的函数，利用基本不等式模型解决相关的最值问题．考查了数学建模这一核心素养．                                                                  A组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1．“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的(　　)A．充要条件　　　　 　　  　B．充分不必要条件C．必要不充分条件   D．既不充分也不必要条件解析：选C　因为两直线平行，所以斜率相等，即－＝－，可得ab＝4，又当a＝1，b＝4时，满足ab＝4，但是两直线重合，故选C.2．已知直线l1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为(　　)A．(3，)   B．(2，)C．(1，)   D.解析：选C　直线l1的斜率k1＝tan 30°＝，因为直线l2与直线l1垂直，所以直线l2的斜率k2＝－＝－，所以直线l1的方程为y＝(x＋2)，直线l2的方程为y＝－(x－2)，联立解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，)．3．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)A．内切   B．相交C．外切   D．相离解析：选B　圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)可化为x2＋(y－a)2＝a2，由题意，M(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以a2＝＋2，解得a＝2.所以圆M：x2＋(y－2)2＝4，所以两圆的圆心距为，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．4．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)A．[2,6]   B．[4,8]C．[，3]   D．[2，3]解析：选A　设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为＝2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.由已知条件可得|AB|＝2，所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．5．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则实数a的取值范围为(　　)A．(－3，3)B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C．(－2，2)D．[－3，3 ]解析：选A　由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆O上到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d<r＋1＝2＋1，即d＝＝<3，解得a∈(－3，3)．6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线x－ky＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，＝＋，若点M在圆C上，则实数k的值为(　　)A．－2   B．－1C．0   D．1解析：选C　法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋1)y2－2ky－3＝0，则Δ＝4k2＋12(k2＋1)>0，y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝－，因为＝＋，故M，又点M在圆C上，故＋＝4，解得k＝0.法二：由直线与圆相交于A，B两点，＝＋，且点M在圆C上，得圆心C(0,0)到直线x－ky＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d＝＝1，解得k＝0.二、填空题7．已知直线l：x＋my－3＝0与圆C：x2＋y2＝4相切，则m＝________.解析：因为圆C：x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，直线l：x＋my－3＝0与圆C：x2＋y2＝4相切，所以2＝，解得m＝± .答案：±8．过点C(3,4)作圆x2＋y2＝5的两条切线，切点分别为A，B，则点C到直线AB的距离为________．解析：以OC为直径的圆的方程为2＋(y－2)2＝2，AB为圆C与圆O：x2＋y2＝5的公共弦，所以AB的方程为x2＋y2－＝5－，化简得3x＋4y－5＝0，所以C到直线AB的距离d＝＝4.答案：49．(2018·贵阳适应性考试)已知直线l：ax－3y＋12＝0与圆M：x2＋y2－4y＝0相交于A，B两点，且∠AMB＝，则实数a＝________.解析：直线l的方程可变形为y＝ax＋4，所以直线l过定点(0,4)，且该点在圆M上．圆的方程可变形为x2＋(y－2)2＝4，所以圆心为M(0，2)，半径为2.如图，因为∠AMB＝，所以△AMB是等边三角形，且边长为2，高为，即圆心M到直线l的距离为，所以＝，解得a＝±.答案：±三、解答题10．已知圆(x－1)2＋y2＝25，直线ax－y＋5＝0与圆相交于不同的两点A，B.(1)求实数a的取值范围；(2)若弦AB的垂直平分线l过点P(－2,4)，求实数a的值．解：(1)把直线ax－y＋5＝0代入圆的方程，消去y整理，得(a2＋1)x2＋2(5a－1)x＋1＝0，由于直线ax－y＋5＝0交圆于A，B两点，故Δ＝4(5a－1)2－4(a2＋1)>0，即12a2－5a>0，解得a>或a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)∪.(2)由于直线l为弦AB的垂直平分线，且直线AB的斜率为a，则直线l的斜率为－，所以直线l的方程为y＝－(x＋2)＋4，即x＋ay＋2－4a＝0，由于l垂直平分弦AB，故圆心M(1,0)必在l上，所以1＋0＋2－4a＝0，解得a＝，由于∈，所以a＝.11．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点．(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．解：(1)设圆A的半径为R.因为圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，所以R＝＝2.所以圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.由于|MN|＝2，于是2＋()2＝20，解得k＝，此时，直线l的方程为3x－4y＋6＝0.所以所求直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.12．在平面直角坐标系xOy中，直线x－y＋1＝0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为.(1)求圆O的方程；(2)若直线l与圆O相切于第一象限，且直线l与坐标轴交于点D，E，当线段DE的长度最小时，求直线l的方程．解：(1)因为点O到直线x－y＋1＝0的距离为，所以圆O的半径为 ＝，故圆O的方程为x2＋y2＝2.(2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，即bx＋ay－ab＝0，由直线l与圆O相切，得＝，即＋＝，则|DE|2＝a2＋b2＝2(a2＋b2)＝4＋＋≥8，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.B组——大题专攻补短练1．已知点M(－1,0)，N(1,0)，曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍．(1)求曲线E的方程；(2)已知m≠0，设直线l1：x－my－1＝0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx＋y－m＝0交曲线E于B，D两点．当CD的斜率为－1时，求直线CD的方程．解：(1)设曲线E上任意一点的坐标为(x，y)，由题意得 ＝·，整理得x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3为所求．(2)由题意知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N(1，0)．设曲线E的圆心为E，则E(2,0)，设线段CD的中点为P，连接EP，ED，NP，则直线EP：y＝x－2.设直线CD：y＝－x＋t，由解得点P，由圆的几何性质，知|NP|＝|CD|＝ ，而|NP|2＝2＋2，|ED|2＝3，|EP|2＝2，所以2＋2＝3－，整理得t2－3t＝0，解得t＝0或t＝3，所以直线CD的方程为y＝－x或y＝－x＋3. 2．在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．解：(1)因为圆心在直线l：y＝2x－4上，也在直线y＝x－1上，所以解方程组得圆心C(3,2)，又因为圆的半径为1，所以圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1，又因为点A(0,3)，显然过点A，圆C的切线的斜率存在，设所求的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，所以＝1，解得k＝0或k＝－，所以所求切线方程为y＝3或y＝－x＋3，即y－3＝0或3x＋4y－12＝0.(2)因为圆C的圆心在直线l：y＝2x－4上，所以设圆心C为(a,2a－4)，又因为圆C的半径为1，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1.设M(x，y)，又因为|MA|＝2|MO|，则有＝2，整理得x2＋(y＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D，所以点M既在圆C上，又在圆D上，即圆C与圆D有交点，所以2－1≤ ≤2＋1，解得0≤a≤，所以圆心C的横坐标a的取值范围为.3．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.又C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，所以不能出现AC⊥BC的情况．(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x2.由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－.联立可得所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．4．(2018·广州高中综合测试)已知定点M(1,0)和N(2,0)，动点P满足|PN|＝|PM|.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若A，B为(1)中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点．设直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k.当k1k2＝3时，求k的取值范围．解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，因为M(1,0)，N(2,0)，|PN|＝|PM|，所以 ＝·.整理得，x2＋y2＝2.所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋b.由消去y，整理得(1＋k2)x2＋2bkx＋b2－2＝0.(*)由Δ＝(2bk)2－4(1＋k2)(b2－2)>0，得b2<2＋2k2.①由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝.②由k1·k2＝·＝·＝3，得(kx1＋b)(kx2＋b)＝3x1x2，即(k2－3)x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2＝0.③将②代入③，整理得b2＝3－k2.④由④得b2＝3－k2≥0，解得－≤k≤.⑤由①和④，解得k<－或k>.⑥要使k1，k2，k有意义，则x1≠0，x2≠0，所以0不是方程(*)的根，所以b2－2≠0，即k≠1且k≠－1.⑦由⑤⑥⑦，得k的取值范围为[－，－1)∪∪∪(1， ]．