2019版二轮复习数学（理·普通生）通用版讲义：第一部分第二层级重点增分专题五　三角恒等变换与解三角形

重点增分专题五　三角恒等变换与解三角形[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2018正、余弦定理的应用·T17二倍角公式及余弦定理·T6二倍角公式·T4同角三角函数关系及两角和的正弦公式·T15三角形的面积公式及余弦定理·T92017正、余弦定理、三角形的面积公式及两角和的余弦公式·T17余弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公式·T17余弦定理、三角形的面积公式·T172016正、余弦定理、三角形面积公式、两角和的正弦公式·T17诱导公式、三角恒等变换、给值求值问题·T9同角三角函数的基本关系、二倍角公式·T5正弦定理的应用、诱导公式·T13利用正、余弦定理解三角形·T8   (1)高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．(2)若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9或第13～15题位置上．(3)若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等．    保分考点·练后讲评[大稳定]1.＝(　　)A．－　　　　　　　　 　B．－1C.   D．1解析：选D　原式＝2×＝2×＝ 2sin 30°＝1.故选D.2.(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝(　　)A.   B.C．－   D．－解析：选B　∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选B.3.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　　)A.   B.C.   D.解析：选C　∵0<α<，0<β<，∴－<α－β<.∵sin(α－β)＝－，sin α＝，∴cos(α－β)＝，cos α＝，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，∴β＝. [解题方略]　三角函数求值的类型及方法给角求值解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形给值求值给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的给值求角实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围 [小创新]1.已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log 2等于(　　)A．2   B．3C．4   D．5解析：选C　因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝， sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝5，所以log2＝log52＝4.故选C.2.已知tan 2α＝，α∈，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin的值为(　　)A．－   B．－C．－   D．－ 解析：选A　由tan 2α＝，即＝，得tan α＝或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－，cos α＝，所以sin＝sin αcos－cos αsin＝－，故选A. 3.设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan＝________.解析：∵a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，a⊥b，∴2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，∴tan＝＝＝.答案：    [分点研究]题型一　利用正、余弦定理进行边、角计算[例1]　(2018·石家庄质检)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝tan A＋tan B.(1)求角A的大小；(2)设D为AC边上一点，且BD＝5，DC＝3，a＝7，求c.[解]　(1)∵在△ABC中，＝tan A＋tan B，∴＝＋，即＝，∴＝，则tan A＝，又0<A<π，∴A＝.(2)由BD＝5，DC＝3，a＝7，得cos∠BDC＝＝－，又0<∠BDC<π，∴∠BDC＝.又A＝，∴△ABD为等边三角形，∴c＝5. [变式1]　若本例(2)变为：a＝，求b＋c的取值范围．解：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得b2＋c2－3＝bc，即(b＋c)2－3＝3bc≤(b＋c)2，当且仅当b＝c时取等号，∴b＋c≤2，又由两边之和大于第三边可得b＋c>，∴b＋c∈(，2]．[变式2]　若本例(2)变为：AD⊥BC，且a＝，求AD的取值范围．解：∵S△ABC＝AD·BC＝bcsin A，∴AD＝bc.由余弦定理得cos A＝＝≥，∴0<bc≤3(当且仅当b＝c时等号成立)，∴0<AD≤，即AD的取值范围为.[解题方略]　正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．[注意]　应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．题型二　利用正、余弦定理进行面积计算[例2]　(2018·郑州第二次质量预测)已知△ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sin C，c＝3.(1)求A；(2)若AD是BC边上的中线，AD＝，求△ABC的面积．[解]　(1)对于2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sin C，由正弦定理得，bsin B－asin A＝bsin C－csin C，即b2－a2＝bc－c2，所以cos A＝＝.因为0°<A<180°，所以A＝60°.  (2)以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，连接DE，易知A，D，E三点共线．在△ABE中，∠ABE＝120°，AE＝2AD＝，由余弦定理得AE2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos 120°，即19＝9＋AC2－2×3×AC×，解得AC＝2.故S△ABC＝bcsin∠BAC＝.[解题方略]　三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式．(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．题型三　正、余弦定理的实际应用[例3]　如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130 m，则塔的高度CD＝________m.[解析]　设CD＝h，则AD＝，BD＝h.在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°，则由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos 120°，可得1302＝3h2＋－2·h··，解得h＝10，故塔的高度为10 m.[答案]　10[解题方略]　解三角形实际应用问题的步骤 [多练强化]1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)A．4　　　　　　　　　  B.C.   D．2 解析：选A　∵cos＝，∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，∴AB＝4.2．甲船从位于海岛B正南10海里的A处，以4海里/时的速度向海岛B行驶，同时乙船从海岛B以6海里/时的速度向北偏东60°方向行驶，当两船相距最近时，两船行驶的时间为________小时．解析：如图，设经过x小时后，甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，则AD＝4x，BC＝6x，则BD＝10－4x，由余弦定理得，CD2＝(10－4x)2＋(6x)2－2×(10－4x)×6xcos 120°＝28x2－20x＋100＝282＋.若甲船行驶2.5小时，则甲船到达海岛B，因而若x<2.5，则当x＝时距离最小，且最小距离为 ＝，若x≥2.5，则BC≥6×2.5＝15>，因而当两船相距最近时，两船行驶的时间为小时．答案：3．(2018·南宁摸底)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c(1＋cos B)＝b(2－cos C)．(1)求证：2b＝a＋c；(2)若B＝，△ABC的面积为4，求b.解：(1)证明：∵c(1＋cos B)＝b(2－cos C)，∴由正弦定理可得sin C＋sin Ccos B＝2sin B－sin Bcos C，可得sin Ccos B＋sin B cos C＋sin C＝2sin B，sin(B＋C)＋sin C＝2sin B，∴sin A＋sin C＝2sin B，∴a＋c＝2b.(2)∵B＝，∴△ABC的面积S＝acsin B＝ac＝4，∴ac＝16.由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac.∵a＋c＝2b，∴b2＝4b2－3×16，解得b＝4.  解三角形与三角函数的交汇问题  [典例]　如图，在△ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，且AC＝10，BC＝15.(1)求△ABC的面积；(2)已知平面直角坐标系xOy中点D(10,0)，若函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)M>0，ω>0，|φ|<的图象经过A，C，D三点，且A，D为f(x)的图象与x轴相邻的两个交点，求f(x)的解析式．[解]　(1)在△ABC中，由角B，A，C成等差数列，得B＋C＝2A，又A＋B＋C＝π，所以A＝.设角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos ，所以c2－10c－125＝0，解得c＝AB＝5＋5.因为CO＝10×sin ＝5，所以S△ABC＝×(5＋5)×5＝(3＋)．(2)因为AO＝10×cos ＝5，所以函数f(x)的最小正周期T＝2×(10＋5)＝30，故ω＝.因为f(－5)＝Msin＝0，所以sin＝0，所以－＋φ＝kπ，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝.因为f(0)＝Msin ＝5，所以M＝10，所以f(x)＝10sin.      [解题方略]　解三角形与三角函数交汇问题一般步骤[多练强化](2019届高三·辽宁五校协作体联考)已知函数f(x)＝cos2x＋sin(π－x)cos(π＋x)－.(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsin C＝asin A，求△ABC的面积．解：(1)f(x)＝cos2x－sin xcos x－＝－sin 2x－＝－sin，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈[0，π]，∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为0，和.(2)由(1)知f(x)＝－sin，∴f(A)＝－sin＝－1，∵△ABC为锐角三角形，∴0<A<，∴－<2A－<，∴2A－＝，即A＝.又bsin C＝asin A，∴bc＝a2＝4，∴S△ABC＝bcsin A＝.  数学建模——解三角形的实际应用[典例]　为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s，在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.(1)求A，C两地间的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.(已知声音的传播速度为340 m/s)[解]　(1)设BC＝x m，由条件可知AC＝x＋×340＝(x＋40)m.在△ABC中，由余弦定理，可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，即x2＝1002＋(x＋40)2－2×100×(x＋40)×，解得x＝380.所以AC＝380＋40＝420(m)，故A，C两地间的距离为420 m.(2)在Rt△ACH中，AC＝420，∠HAC＝30°，所以HC＝ACtan 30°＝420×＝140，故这种仪器的垂直弹射高度为140 m.[素养通路]数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题．本题中把求A，C两地间的距离问题建立数学模型，在△ABC中，通过解三角形求AC的长，把求高度HC建立数学模型，在Rt△ACH中，通过解三角形求HC的长．考查了数学建模这一核心素养．