2019版二轮复习数学（理·普通生）通用版讲义：第一部分第一层级基础送分专题二平面向量

基础送分专题二　平面向量 平面向量的基本运算 [题组练透]1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)A.－ 　　　　 B.－C.＋  D.＋解析：选A　法一：作出示意图如图所示．＝＋＝  ＋＝×(＋)＋(－)＝－.故选A. 法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝，AB＝AC＝1.建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D，E.故＝(1,0)，＝(0,1)，＝(1,0)－＝，即＝－.2．已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足＝＋，则||∶||＝(　　)A．1∶3   B．3∶1C．1∶2   D．2∶1解析：选D　由＝＋，得－＝2(－)，即＝2，所以||∶||＝2∶1，故选D.3．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则        λ＝________.解析：2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，解得λ＝.答案：4．(2018·太原模拟)在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则实数λ＋μ＝________.解析：如图，∵＝＋＝＋＝＋，①＝＋＝＋， ②由①②得＝－，＝－，∴＝＋＝＋＝－＋－＝＋，∵＝λ＋μ，∴λ＝，μ＝，λ＋μ＝.答案： [题后悟通]快审题1.看到向量的线性运算，想到三角形和平行四边形法则．2.看到向量平行，想到向量平行的条件．准　解　题记牢向量共线问题的4个结论(1)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(2)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔＝(1－t) ＋t (O为平面内任一点，t∈R).(3) ＝λ＋μ (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2＝x2y1，当且仅当x2y2≠0时，a∥b⇔＝. 平面向量的数量积 [题组练透]1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)A．4   B．3C．2   D．0解析：选B　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.2．已知向量m＝(t＋1,1)，n＝(t＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则t＝(　　)A．0   B．－3C．3   D．－1解析：选B　法一：由(m＋n)⊥(m－n)可得(m＋n)·(m－n)＝0，即m2＝n2，故(t＋1)2＋1＝(t＋2)2＋4，解得t＝－3.法二：m＋n＝(2t＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，∵(m＋n)⊥(m－n)，∴－(2t＋3)－3＝0，解得t＝－3.3．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，点D在边AC上，且2＝，则·的值是(　　)A．48   B．24C．12   D．6解析：选B　法一：由题意得，·＝0，·＝·(－)＝||2＝36，∴·＝·(＋)＝·＝0＋×36＝24.法二：(特例法)若△ABC为等腰直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(6,0)，C(0,6)．由2＝，得D(4,2)．∴·＝(6,0)·(4,2)＝24.4.(2018·贵阳摸底考试)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，找出D点的位置，则·的值为(　　)A．10   B．11C．12   D．13解析：选B　以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2,3)，所以·＝(4,1)·(2,3)＝8＋3＝11.故选B.5．(2019届高三·益阳、湘潭调研)已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a＋b|＝t|a|，若a＋b与a－b的夹角为，则t的值为________．解析：因为a·b＝0，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即|a＋b|＝|a－b|.又|a＋b|＝t|a|，所以|a－b|＝|a＋b|＝t|a|.因为a＋b与a－b的夹角为，所以＝cos，整理得＝，即(2－t2)|a|2＝2|b|2.又|a＋b|＝t|a|，平方得|a|2＋|b|2＝t2|a|2，所以|a|2＋＝t2|a|2，解得t2＝.因为t>0，所以t＝.答案：6．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上的动点Q(包含点B)满足||＝||，则·的最小值为________．解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x,1)，Q(2，y)，由题意知0≤x≤2，－2≤y≤0.∵||＝||，∴|x|＝|y|，∴x＝－y.∵＝(－x，－1)，＝(2－x，y－1)，∴·＝－x(2－x)－(y－1)＝x2－2x－y＋1＝x2－x＋1＝2＋，∴当x＝时，·取得最小值，为.答案：[题后悟通]快审题1.看到向量垂直，想到其数量积为零．2.看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式．3.看到向量中的最值问题时，想到向量不等式、几何意义，甚至建立坐标系构造函数关系求最值．用妙法特例法妙解图形中平面向量数量积问题解答有关图形中的平面向量数量积问题，常采用特例法，如取直角三角形、矩形，再建立平面直角坐标系，求得相关点坐标计算求解(如第3题可取△ABC为等腰直角三角形建系)．避误区两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线.                                                             一、选择题1．设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　　)A．－　　　　　　　　 　B．－C.   D.解析：选A　因为c＝a＋kb＝(1＋k,2＋k)，又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－.2．已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角的余弦值为(　　)A.   B．－C.   D．－解析：选C　因为向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，所以b＝(2,0)，则向量a，b的夹角的余弦值为＝.3．已知在平面直角坐标系中，点A(0,1)，向量＝(－4，－3)，＝(－7，－4)，则点C的坐标为(　　)A．(11,8)   B．(3,2)C．(－11，－6)   D．(－3,0)解析：选C　设C(x，y)，∵在平面直角坐标系中，点A(0,1)，向量＝(－4，－3)，＝(－7，－4)，∴＝＋＝(－11，－7)，∴解得x＝－11，y＝－6，故C(－11，－6)．4．在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)A.＋    B.＋C.＋    D.＋解析：选B　因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋.5．(2019届高三·武汉调研)设非零向量a，b满足|2a＋b|＝|2a－b|，则(　　)A．a⊥b   B．|2a|＝|b|C．a∥b   D．|a|<|b|解析：选A　法一：∵|2a＋b|＝|2a－b|，∴(2a＋b)2＝(2a－b)2，化简得a·b＝0，       ∴a⊥b，故选A.法二：记c＝2a，则由|2a＋b|＝|2a－b|得|c＋b|＝|c－b|，由平行四边形法则知，以向量c，b为邻边的平行四边形的对角线相等，∴该四边形为矩形，故c⊥b，即a⊥b，故选A.6．已知＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为(　　)A．－   B．－3C.   D．3解析：选C　因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影为||cos〈，〉＝＝＝.7．已知a和b是非零向量，m＝a＋tb(t∈R)，若|a|＝1，|b|＝2，当且仅当t＝时，|m|取得最小值，则向量a，b的夹角θ为(　　)A.   B.C.   D.解析：选C　由m＝a＋tb，及|a|＝1，|b|＝2，得|m|2＝(a＋tb)2＝4t2＋4tcos θ＋1＝(2t＋cos θ)2＋sin2θ，由题意得，当t＝时，cos θ＝－，则向量a，b的夹角θ为，故选C.8．在△ABC中，|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则·＝(　　)A.   B.C.   D.解析：选B　由|＋|＝|－|知⊥，以A为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(0,1)，不妨设E，F，则·＝·＝＋＝.9．已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a＝(1，－1)共线，若＝λ＋(1－λ) ，则λ＝(　　)A．－3   B．3C．1   D．－1解析：选D　设＝(x，y)，则由∥a，知x＋y＝0，于是＝(x，－x)．若＝λ＋(1－λ)，则有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.10．(2018·兰州诊断考试)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于(　　)A．－   B．－C.   D.解析：选A　如图，∵＝2，∴＝＋，∴·(＋)＝－2，∵AM＝1且＝2，∴||＝，∴·(＋)＝－.11．(2019届高三·南宁摸底联考)已知O是△ABC内一点，＋＋＝0，·＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　)A.   B.C.   D.  解析：选A　∵＋＋＝0，∴O是△ABC的重心，于是S△OBC＝S△ABC.∵·＝2，∴||·||·cos∠BAC＝2，∵∠BAC＝60°，∴||·||＝4.∴S△ABC＝||·||sin∠BAC＝，∴△OBC的面积为.12．(2018·南昌调研)已知A，B，C是圆O：x2＋y2＝1上的动点，且AC⊥BC，若点M的坐标是(1,1)，则|＋＋|的最大值为(　　)A．3   B．4C．3－1   D．3＋1解析：选D　法一：∵A，B，C是圆O：x2＋y2＝1上的动点，且AC⊥BC，∴设A(cos θ，sin θ)，B(－cos θ，－sin θ)，C(cos α，sin α)，其中0≤θ<2π，0≤α<2π，∵M(1,1)，∴＋＋＝(cos θ－1，sin θ－1)＋(－cos θ－1，－sin θ－1)＋(cos α－1，sin α－1)＝(cos α－3，sin α－3)，∴|＋＋|＝＝＝ ，当且仅当sin＝－1时，|＋＋|取得最大值，最大值为＝3＋1.法二：连接AB，∵AC⊥BC，∴AB为圆O的直径，∴＋＝2，∴|＋＋|＝|2＋|≤|2|＋||＝2＋||，易知点M与圆上动点C的距离的最大值为＋1，∴||≤＋1，∴|＋＋|≤3＋1，故选D.二、填空题13．(2018·潍坊统一考试)已知单位向量e1，e2，且〈e1，e2〉＝，若向量a＝e1－2e2，则|a|＝________.解析：因为|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝，所以|a|2＝|e1－2e2|2＝1－4|e1|·|e2|cos＋4＝1－4×1×1×＋4＝3，即|a|＝.答案：14．已知a，b是非零向量，f(x)＝(ax＋b)·(bx－a)的图象是一条直线，|a＋b|＝2，|a|＝1，则f(x)＝________.解析：由f(x)＝a·bx2－(a2－b2)x－a·b的图象是一条直线，可得a·b＝0.因为|a＋b|＝2，所以a2＋b2＝4.因为|a|＝1，所以a2＝1，b2＝3，所以f(x)＝2x.答案：2x15．在△ABC中，N是AC边上一点且＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值是________．解析：如图，因为＝，所以＝，所以＝m＋＝m＋.因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，则m＝.答案：16．(2019届高三·唐山五校联考)在△ABC中，(－3)⊥，则角A的最大值为________．解析：因为(－3)⊥，所以(－3)·＝0，即(－3)·(－)＝0，则2－4·＋32＝0，即cos A＝＝＋≥2＝，当且仅当||＝||时等号成立．因为0<A<π，所以0<A≤，即角A的最大值为.答案：