2019版二轮复习数学（理·普通生）通用版讲义：第一部分第一层级基础送分专题三不等式

基础送分专题三　不等式 不等式的性质及解法 [题组练透]1．(2019届高三·南宁二中、柳州高中联考)设a>b，a，b，c∈R，则下列式子正确的是(　　)A．ac2>bc2　　　　　　　  B.>1C．a－c>b－c   D．a2>b2解析：选C　若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；若b<0，则<1，故B错；不论c取何值，都有a－c>b－c，故C正确；若a，b都小于0，则a2<b2，故D错．于是选C.2．已知关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪，则a＝(　　)A．2   B．－2C．－   D.解析：选B　根据一元二次不等式与之对应方程的关系知－1，－是一元二次方程ax2＋(a－1)x－1＝0的两个根，所以－1×＝－，所以a＝－2.3．设p：x2－x－20>0，q：<0，则p是q的(　　)A．充分不必要条件   B．必要不充分条件C．充要条件   D．既不充分也不必要条件解析：选A　p：由x2－x－20>0，解得x>5或x<－4.q：由<0⇒(1－x2)(|x|－2)<0，当x≥0时，可化为(x＋1)(x－1)(x－2)>0，解得0≤x<1或x>2.当x<0时，可化为(x－1)(x＋1)(x＋2)<0，解得－1<x<0或x<－2，故<0的解为x<－2或－1<x<1或x>2，所以由p⇒q，但qp，故选A.4．若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围为(　　)A.   B.C.   D.∪{2}解析：选B　当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2，当a＝2时，不等式可化为4x－1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集．当a2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，则有解得－2<a<.综上，实数a的取值范围为，故选B.5．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是________．解析：由Δ＝a2＋8>0，知方程x2＋ax－2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0，解得a＞－，故a的取值范围为.答案：[题后悟通]快审题1.看到有关不等式的命题或结论的判定，想到不等式的性质．2.看到解不等式，想到求解不等式的方法步骤．准　解　题1.明确解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．2.掌握不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a对一切x∈I恒成立⇔f(x)min>a；f(x)<a对一切x∈I恒成立⇔f(x)max<a.(2)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔f(x)的图象在g(x)的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．避误区解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论.   简单的线性规划问题 [题组练透]1．(2019届高三·重庆调研)若实数x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值为(　　)A．3　　　　　　　　　 　B．4C．5   D．7解析：选B　作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0并平移该直线，易知当直线经过点A(1,2)时，目标函数z＝2x＋y取得最小值，且zmin＝2×1＋2＝4，故选B.2．(2018·广州测试)若x，y满足约束条件则z＝x2＋2x＋y2的最小值为(　　)A.   B.C．－   D．－解析：选D　画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1的几何意义是平面区域内的点到定点(－1,0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1,0)的距离的最小值为，故zmin＝－1＝－.3．(2019届高三·湖北八校联考)已知x，y满足约束条件若z＝x＋2y的最大值为4，则实数m的值为(　　)A．－4   B．－2C．－1   D．1解析：选B　作出约束条件所对应的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知直线z＝x＋2y过A点时z取得最大值4，由得A(0,2)，所以m＝2×0－2＝－2. 4．(2018·合肥质检)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时，生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时．A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为(　　)A．320千元   B．360千元C．400千元   D．440千元解析：选B　设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润为z千元，则每月利润z＝2x＋y，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线经过直线2x＋3y＝480与直线6x＋y＝960的交点(150,60)时，z取得最大值，为360.5．(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由z＝3x＋2y，得y＝－x＋.作直线l0：y＝－x.平移直线l0，当直线y＝－x＋过点(2,0)时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.答案：6[题后悟通]快　审　题1.看到最优解求参数，想到由最值列方程(组)求解．2.看到形如z＝(x－a)2＋(y－b)2和形如z＝，想到其几何意义．3.看到最优解型的实际应用题，想到线性规划问题，想到确定实际意义．准　解　题记牢三种常见的目标函数及其求法(1)截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2.(3)斜率型：形如z＝，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.避　误　区1.忽视目标函数中y的系数的正负，而由直线截距的最值确定目标函数的最值．2.求解含参数的线性规划问题，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值. 基本不等式及其应用 [题组练透]1．已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　)A．3   B．4C．5   D．6解析：选C　由正数a，b的等比中项是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，所以m＋n＝a＋b＋＋≥2＋＝5，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故m＋n的最小值为5.2．已知P(a，b)为圆x2＋y2＝4上任意一点，则当＋取最小值时，a2的值为(　　)A.   B．2C.   D．3解析：选C　∵P(a，b)为圆x2＋y2＝4上任意一点，∴a2＋b2＝4.又a≠0，b≠0，∴＋＝·(a2＋b2)＝≥＝，当且仅当b2＝2a2＝时取等号，故a2＝，选C.3．设x>0，则函数y＝x＋－的最小值为________．解析：y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0.当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．答案：04．(2018·石家庄质检)已知直线l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2,3)，则a＋b的最小值为________．解析：因为直线l经过点(2,3)，所以2a＋3b－ab＝0，即＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2，当且仅当＝，即a＝3＋，b＝2＋时等号成立．答案：5＋25．(2018·洛阳统考)我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则＋的最小值为________．解析：由甲班学生成绩的中位数是81，可知81为甲班7名学生的成绩按从小到大的顺序排列的第4个数，故x＝1.由乙班学生成绩的平均数为86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y－6)＋5＋7＋10＝0，解得y＝4.由x，G，y成等比数列，可得G2＝xy＝4，由正实数a，b满足a，G，b成等差数列，可得G＝2，a＋b＝2G＝4，所以＋＝·(a＋b)＝      ≥×(5＋4)＝(当且仅当b＝2a时取等号)．故＋的最小值为.答案：[题后悟通]快审题看到最值问题，想到“积定和最小”，“和定积最大”．准　解　题掌握基本不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．避误区运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到.                                                               一、选择题1．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，则a＋b＝(　　)A．1　　　 　B．0　　　　C．－1　　　　  D．－3解析：选D　由题意得，不等式x2－2x－3＜0的解集A＝(－1，3)，不等式x2＋x－6＜0的解集B＝(－3,2)，所以A∩B＝(－1,2)，即不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(－1,2)，所以a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.2．若x>y>0，m>n，则下列不等式正确的是(　　)A．xm>ym　　　　　 　B．x－m≥y－nC.>   D．x>解析：选D　A不正确，因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变，m可能为0或负数；B不正确，因为同向不等式相减，不等号方向不确定；C不正确，因为m，n的正负不确定．故选D.3．已知a∈R，不等式≥1的解集为p，且－2∉p，则a的取值范围为(　　)A．(－3，＋∞)   B．(－3,2)C．(－∞，2)∪(3，＋∞)   D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：选D　∵－2∉p，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3.4．(2018·成都一诊)若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(　　)A．(0，＋∞)   B．[－1，＋∞)C．[－1,1]   D．[0，＋∞)解析：选B　法一：当x＝0时，不等式为1≥0恒成立；当x＞0时，x2＋2ax＋1≥0⇒2ax≥－(x2＋1)⇒2a≥－，又－≤－2，当且仅当x＝1时取等号，所以2a≥－2⇒a≥－1，所以实数a的取值范围为[－1，＋∞)．法二：设f(x)＝x2＋2ax＋1，函数图象的对称轴为直线x＝－a.当－a≤0，即a≥0时，f(0)＝1＞0，所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立；当－a＞0，即a＜0时，要使f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f(－a)＝a2－2a2＋1＝     －a2＋1≥0，得－1≤a＜0.综上，实数a的取值范围为[－1，＋∞)．5．已知函数f(x)＝若不等式f(x)＋1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，0)   B．[－2,2]C．(－∞，2]   D．[0,2]解析：选C　由f(x)≥－1在R上恒成立，可得当x≤0时，2x－1≥－1，即2x≥0，显然成立；又x＞0时，x2－ax≥－1，即为a≤＝x＋，由x＋≥2 ＝2，当且仅当x＝1时，取得最小值2，可得a≤2，综上可得实数a的取值范围为(－∞，2]．6．若<<0，给出下列不等式：①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2.其中正确的不等式的序号是(　　)A．①④   B．②③C．①③   D．②④解析：选C　法一：因为<<0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A、B、D，故选C.法二：由<<0，可知b<a<0.①中，因为a＋b<0，ab>0，所以<，故①正确；②中，因为b<a<0，所以－b>－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②错误；③中，因为b<a<0，又<<0，则－>－>0，所以a－>b－，故③正确；④中，因为b<a<0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2>a2>0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2>ln a2，故④错误．由以上分析，知①③正确．7．(2018·长春质检)已知x＞0，y＞0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为(　　)A．8   B．9C．12   D．16解析：选B　由4x＋y＝xy，得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时取“＝”，故选B.8．如果实数x，y满足不等式组目标函数z＝kx－y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为(　　)A．1   B．2C．3   D．4解析：选B　作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．则A(1,2)，B(1，－1)，C(3,0)，因为目标函数z＝kx－y的最小值为0，所以目标函数z＝kx－y的最小值可能在A或B处取得，所以若在A处取得，则k－2＝0，得k＝2，此时，z＝2x－y在C点有最大值，z＝2×3－0＝6，成立；若在B处取得，则k＋1＝0，得k＝－1，此时，z＝－x－y，在B点取得最大值，故不成立，故选B.9．(2019届高三·湖北五校联考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为(　　) 甲乙原料限额A/吨3212B/吨128 A．15万元   B．16万元C．17万元   D．18万元解析：选D　设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利润z万元，由题意可知z＝3x＋4y，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，直线z＝3x＋4y过点M时取得最大值，由得∴M(2,3)，故z＝3x＋4y的最大值为18，故选D.10．已知实数x，y满足约束条件若y≥kx－3恒成立，则实数k的取值范围是(　　)A.   B.C．(－∞，0]∪   D.∪[0，＋∞)解析：选A　由约束条件作出可行域如图中阴影分部所示，则A，B(3，－3)，C(3,8)，由题意得解得－≤k≤0.所以实数k的取值范围是.11．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋－n2－＜0有解，则实数n的取值范围是(　　)A.   B.∪(1，＋∞)C．(1，＋∞)   D.解析：选B　因为不等式x＋－n2－＜0有解，所以min＜n2＋，因为x＞0，y＞0，且＋＝1，所以x＋＝＝＋＋≥＋2 ＝，当且仅当＝，即x＝，y＝5时取等号，所以min＝，故n2＋－＞0，解得n＜－或n＞1，所以实数n的取值范围是∪(1，＋∞)．12．(2019届高三·福州四校联考)设x，y满足约束条件其中a＞0，若的最大值为2，则a的值为(　　)A.   B.C.   D.解析：选C　设z＝，则y＝x，当z＝2时，y＝－x，作出x，y满足的约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－x，易知此直线与区域的边界线2x－2y－1＝0的交点为，当直线x＝a过点时，a＝，又此时直线y＝x的斜率的最小值为－，即－1＋的最小值为－，即z的最大值为2，符合题意，所以a的值为，故选C.二、填空题13．(2018·岳阳模拟)不等式≥1的解集为________．解析：不等式≥1可转化成－1≥0，即≥0，等价于解得≤x＜2，故不等式的解集为.答案：14．(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x＋y＝z过点A时z取得最大值．由得点A(5,4)，∴zmax＝5＋4＝9.答案：915．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为xx＜－1或x＞，则关于x的不等式c(lg x)2＋lg xb＋a＜0的解集为________．解析：由题意知－1，是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以且a＜0，所以所以不等式c(lg x)2＋lg xb＋a＜0化为－a(lg x)2＋blg x＋a＜0，即－a(lg x)2＋alg x＋a＜0.所以(lg x)2－lg x－2＜0，所以－1＜lg x＜2，所以＜x＜100.答案：16．设x＞0，y＞0，且2＝，则当x＋取最小值时，x2＋＝________.解析：∵x＞0，y＞0，∴当x＋取最小值时，2取得最小值，∵2＝x2＋＋，2＝，∴x2＋＝＋，2＝＋≥2 ＝16，∴x＋≥4，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，∴当x＋取最小值时，x＝2y，x2＋＋＝16，即x2＋＋＝16，∴x2＋＝16－4＝12.答案：12