2019版二轮复习数学（理·普通生）通用版讲义：第一部分第三层级难点自选专题一　“选填”压轴小题命题的4大区域


难点自选专题一　“选填”压轴小题命题的4大区域
[全国卷3年考情分析]
题号
考卷
第11题
第12题
第15题
第16题
命题分析
2018
卷Ⅰ
直线与双曲线的位置关系及双曲线的几何性质
空间直线与平面的位置关系及其所成角的问题
计数原理与组合问题
三角函数的最值与导数
高考在选择、填空压轴题中，主要考查圆锥曲线的几何性质及圆锥曲线定义、函数的图象与性质、函数与不等式的求解、指数、对数式大小比较、导数的应用、几何体的表面积与体积的计算及空间角问题，而三角函数、数列、平面向量也常有考查.
卷Ⅱ
函数的奇偶性与周期性
椭圆的定义与椭圆的几何性质
两角和与差的公式应用
圆锥侧面积的运算及空间角的问题
卷Ⅲ
双曲线的几何性质
不等式性质及对数运算
三角函数的零点问题
抛物线的几何性质及应用
2017
卷Ⅰ
指数式与对数式的互化与对数运算及大小比较
等差数列、等比数列前n项和公式的运用
双曲线的几何性质
三棱锥的体积、导数的应用
卷Ⅱ
利用导数求函数的极值
平面向量的数量积与最值
等差数列的通项公式与前n项和公式、特殊数列求和
抛物线的定义及标准方程
卷Ⅲ
函数的零点问题
平面向量基本定理、直线与圆的位置关系
分段函数、解不等式
空间中直线与直线的位置关系、空间向量
2016
卷Ⅰ
平面与平面平行的性质、异面直线所成的角及等角定理
函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
等比数列通项公式、二次函数的最值及指数函数的性质
线性规划的实际应用
卷Ⅱ
双曲线的定义及标准方程、离心率的计算
函数图象的对称性
推理与论证
导数的计算与几何意义、直线方程、斜率计算公式
卷Ⅲ
椭圆的离心率、直线斜率的应用
计数原理与组合问题
函数的奇偶性、导数的几何意义
点到直线的距离公式，直线的斜率、倾斜角，直线与圆的位置关系

命题区域(一)　函数与导数
本类压轴题常以分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等．要注意函数y＝f(x)与方程f(x)＝0以及不等式f(x)>0的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题目的关键．解决该类问题的途径往往是构造函数，进而研究函数的性质，利用函数性质去求解问题是常用方法．其间要注意导数的应用：利用导数研究可导函数的单调性，求可导函数的极值和最值，以及利用导数解决实际应用题是导数在中学数学中的主要应用．


分段函数问题


[例1]　已知函数f(x)＝若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________．






[技法演示]
法一：分段处理，分类讨论　
记g(x)＝x3－3x，h(x)＝－2x，同时作出函数g(x)与h(x)的图象，如图所示，则h(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，下面分析g(x)的单调性．因为g′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x变化时，g′(x)和g(x)变化如下：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)

极大值

极小值


下面分析f(x)的单调性，注意到f(x)＝
结合前面g(x)与h(x)的单调性，我们可以按下述三种情况讨论：
a4，解得a0时，如图(1)所示，不合题意；
当a0，解得a>－1或a0，且x＝1不是方程的根．
故有a＝
＝x－1＋＋5.
设h(x)＝，
则问题等价于曲线y＝h(x)与直线y＝a有4个不同交点．作出图象如图所示．
显然y＝9，y＝1是y＝h(x)的两条切线，此时都只有3个交点．
于是，结合图形知，当00时，xf′(x)－f(x)0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(0,1)　　 　B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)
[技法演示]
法一：构造抽象函数法　
观察xf′(x)－f(x)0时，F′(x)0，即找到x与F(x)的符号相同的区间，易知当x∈(－∞，－1)∪(0,1)时，f(x)>0，故选A.
法二：构造具体函数法　
题目中没有给出具体的函数，但可以根据已知条件构造一个具体函数，越简单越好，因此考虑简单的多项式函数．设f(x)是多项式函数，因为f(x)是奇函数，所以它只含x的奇次项．又f(1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)能被x2－1整除．因此可取f(x)＝x－x3，检验知f(x)满足题设条件．解不等式f(x)>0，得x∈(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.
[答案]　A
[系统归纳]
1．利用和差函数求导法则构造函数
(1)对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或0(或k(或0(或0(或0(或0(或0(或0(或0(或f′(x)，且f(x)＋2 019为奇函数，则不等式f(x)＋2 019ex0)有两条对称轴x＝a，x＝b，则有|a－b|＝＋(k∈Z)；
②若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有两个对称中心M(a,0)，N(b,0)，则有|a－b|＝＋(k∈Z)；
③若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有一条对称轴x＝a，一个对称中心M(b,0)，则有|a－b|＝＋(k∈Z)．
(2)研究函数在某一特定区间的单调性，若函数仅含有一个参数的时候，利用导数的正负比较容易控制，但对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)含多个参数，并且具有周期性，很难解决，所以必须有合理的等价转化方式才能解决．解法一尝试正面求解ω的可能值，但因单调区间的条件不好使用，仍然采取代入验证的方法解决．
[应用体验]
1．若函数f(x)＝cos 2x＋asin x在区间上是减函数，则a的取值范围是________．
解析：法一：导数法
对f(x)＝cos 2x＋asin x求导，得f′(x)＝－2sin 2x＋acos x．因为f(x)在区间上是减函数，所以f′(x)≤0在上恒成立，即acos x≤2sin 2x＝4sin xcos x，而cos x>0，所以a≤4sin x．在区间上，0，b>0)的右顶点为A，抛物线C：y2＝8ax的焦点为F，若在E的渐近线上存在点P，使得PA⊥FP，则E的离心率的取值范围是(　　)
A．(1,2) B.
C．(2，＋∞) D.
解析：选B　双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A(a,0)，抛物线C：y2＝8ax的焦点为F(2a,0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设P，则有＝，＝，由PA⊥FP，得·＝0，即(m－a)(m－2a)＋m2＝0，整理得m2－3ma＋2a2＝0，由题意可得Δ＝9a2－41＋·2a2≥0，即a2≥8b2＝8(c2－a2)，即8c2≤9a2，则e＝≤.又e>1，所以1b>0)．
过点M作MN⊥AB，垂足为N，设M(x，y)．
根据椭圆的对称性，不妨令y>0，
设∠AMN＝α，∠BMN＝β，
则tan α＝，tan β＝.
又点M在椭圆上，所以x2＝a2－.
则tan(α＋β)＝＝
＝＝
＝＝.
又y∈[－b，b]，所以当y＝b时，α＋β取最大值，即M为椭圆短轴顶点P时，∠APB最大．由此，我们可以得到本题的如下解法．
先考虑椭圆的焦点在x轴上的情况，则00)上任意一点，A，B分别为椭圆的左、右两个端点，则kMA·kMB＝·＝.因为点M在椭圆上，所以y2＝(a2－x2)，从而kMA·kMB＝＝－.由此可以得到本题的如下解法．
当0