2019版二轮复习数学（理·重点生）通用版讲义：第一部分专题六三角恒等变换与解三角形

专题六 三角恒等变换与解三角形


卷Ⅰ
卷Ⅱ
卷Ⅲ
2018
正、余弦定理的应用·T17
二倍角公式及余弦定理的应用·T6
二倍角公式·T4
同角三角函数关系及两角和的正弦公式·T15
三角形的面积公式及余弦定理·T9
2017
正、余弦定理、三角形的面积公式及两角和的余弦公式·T17
余弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公式·T17
余弦定理、三角形的面积公式·T17
2016
正、余弦定理、三角形面积公式、两角和的正弦公式·T17
诱导公式、三角恒等变换、给值求值问题·T9
同角三角函数的基本关系、二倍角公式·T5
正弦定理的应用、诱导公式·T13
利用正、余弦定理解三角形·T8
纵向把握趋势
卷Ⅰ3年3考且均出现在解答题中的第17题，涉及正、余弦定理、三角形的面积公式、两角和与差的正、余弦公式，难度适中．预计2019年会以选择题或填空题的形式考查正、余弦定理的应用及三角恒等变换，难度适中
卷Ⅱ3年5考，既有选择题、填空题，也有解答题，涉及诱导公式、同角三角函数基本关系式、三角恒等变换、正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式，难度适中．预计2019年会以解答题的形式考查正、余弦定理和三角形面积公式的应用
卷Ⅲ3年5考，既有选择题，也有解答题，难度适中．涉及同角三角函数基本关系式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理、三角形面积公式等．预计2019年会以解答题的形式考查正、余弦定理在解三角形中的应用
横向把握重点
1.高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．

2.若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9或第13～15题位置上．

3.若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等.




三角恒等变换

[题组全练]
1．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．－ D．－
解析：选B　∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选 B.
2．(2016·全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin 2α＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选D　因为cos＝，
所以sin 2α＝cos＝2cos2－1＝－.
3．已知sin－cos α＝，则cos＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D　由sin－cos α＝，得sin α＋cos α－cos α＝sin α－cos α＝sin＝，所以cos＝1－2sin2＝1－＝.
4．已知sin β＝，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝(　　)
A．－2 B．2
C．－ D.
解析：选A　∵sin β＝，且1，所以t＝x－1＋＋2≥2＋当且仅当x＝1＋时取等号，故AC最短为(2＋)m，应选D.
[答案]　(1)C　(2)D
[类题通法]
1．解三角形实际应用问题的解题步骤

2．解三角形实际应用问题的注意事项
(1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名词，并能准确作出这些角；
(2)要注意将平面几何的性质、定理与正、余弦定理结合起来使用，这样可以优化解题过程；
(3)要注意题目中的隐含条件及解的实际意义．

[应用通关]
1．某位居民站在离地面20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为(　　)
A．20m B．20(1＋)m
C．10(＋)m D．20(＋)m
解析：选B　如图，设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线．由题意知AB＝20 m，∠DAE＝45°，∠CAE＝60°，故DE＝AE＝20 m，CE＝20 m，所以CD＝20(1＋)m.
2.(2018·河北保定模拟)如图，某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为8海里，游轮由A处向正北方向航行到D处时再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，则C与D的距离为(　　)
A．20海里 B．8海里
C．23海里 D．24海里
解析：选B　在△ABD中，因为灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12海里，货轮由A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，所以B＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理＝，
可得AD＝＝＝24海里．
在△ACD中，AD＝24海里，AC＝8海里，∠CAD＝30°，
由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝192.
所以CD＝8海里．
3．如图，游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于________．
解析：依题意，设乙的速度为x m/s，
则甲的速度为x m/s，
因为AB＝1 040 m，BC＝500 m，
所以＝，
解得AC＝1 260 m.
在△ABC中，由余弦定理得，
cos∠BAC＝
＝＝，
所以sin∠BAC＝
＝ ＝.
答案：

重难增分
与平面几何有关的解三角形综合问题
[考法全析]
一、曾经这样考
1．(2015·全国卷Ⅰ)[与平面四边形有关的边长范围问题]在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．
[学解题]
法一：分割法(学生用书不提供解题过程)
易知∠ADC＝135°.如图，连接BD，设∠BDC＝α，∠ADB＝β，则α＋β＝135°.
在△ABD和△BCD中，由正弦定理得＝＝，
则AB＝＝
＝＝，
由得30°