2019版二轮复习数学（理·重点生）通用版讲义：第二部分第二板块贯通4大数学思想——解得稳

第二板块 贯通4大数学思想——解得稳
思想(一)　函数方程　稳妥实用

函数与方程思想的概念
函数与方程思想的应用
　　函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解．方程是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃，有时，还可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决问题的目的.
　　函数与方程思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的.



借助“显化函数关系”，利用函数思想解决问题

在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解．
　已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，bn＝＋＋…＋，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．
[解]　(1)因为a1＝2，a＝a2(a4＋1)，
又因为{an}是正项等差数列，所以公差d≥0，
所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，
解得d＝2或d＝－1(舍去)，
所以数列{an}的通项公式an＝2n.
(2)由(1)知Sn＝n(n＋1)，
则bn＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝－＋－＋…＋－
＝－＝＝.
令f (x)＝2x＋(x≥1)，则f ′(x)＝2－，
当x≥1时，f ′(x)>0恒成立，
所以f (x)在[1，＋∞)上是增函数，
故当x＝1时，f (x)min＝f (1)＝3，
即当n＝1时，(bn)max＝，
要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，
则需使k≥(bn)max＝，
所以实数k的最小值为.
[技法领悟]
数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式、前n项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成关于n的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地凸现其函数关系，用函数思想或函数方法研究、解决问题 ，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平．
　　　
[应用体验]
1．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正棱柱的体积取最大值时，其高的值为(　　)
A．3　　　　　　　　　 B.
C．2 D．2
解析：选D　设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则可得a2＋＝9，即a2＝9－，那么正六棱柱的体积V＝×h＝h＝.
令y＝－＋9h，则y′＝－＋9，
令y′＝0，解得h＝2.易知当h＝2时，y取最大值，即正六棱柱的体积最大．
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S130.
S13＝13a1＋78d＝156＋52d＜0，所以－＜d＜－3.
Sn＝na1＋d＝dn2＋n，
由d＜0，Sn是关于n的二次函数，知对称轴方程为n＝－.
又由－＜d＜－3，得6＜－＜，
所以当n＝6时，Sn最大．
答案：S6
3．满足条件AB＝2，AC＝BC的三角形ABC的面积的最大值是________．
解析：可设BC＝x，则AC＝x，根据面积公式得
S△ABC＝AB·BC·sin B＝x.
由余弦定理得cos B＝＝.
则S△ABC＝x ＝ .
由解得2－2＜x＜2＋2.
故当x＝2时，S△ABC取得最大值，最大值为2.
答案：2

转换“函数关系”，利用函数思想解决问题

在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解．
　已知函数f (x)＝lg，其中a为常数，若当x∈(－∞，1]时，f (x)有意义，则实数a的取值范围为________．
[解析]　参数a深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式(组)非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来，重新认识a与变元x的依存关系，利用新的函数关系，使原问题“柳暗花明”．
由＞0，且a2－a＋1＝2＋＞0，
得1＋2x＋4x·a＞0，故a＞－.
当x∈(－∞，1]时，y＝与y＝都是减函数，
因此，函数y＝－在(－∞，1]上是增函数，
所以－max＝－，所以a＞－.
故实数a的取值范围是.
[答案]　
发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现．本题主客换位后，利用新建函数y＝－＋的单调性巧妙地求出实数a的取值范围．此法也叫主元法．
　　　　[技法领悟]

[应用体验]
4．设不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围为________．
解析：问题可以变成关于m的不等式
(x2－1)m－(2x－1)f D.f f ，故选B.
7．若0