2019版二轮复习数学（理·重点生）通用版讲义：第一部分专题十三圆锥曲线的综合问题

专题十三 圆锥曲线的综合问题




卷Ⅰ
卷Ⅱ
卷Ⅲ
2018
椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、证明问题·T19
直线与抛物线的位置关系、弦长问题、抛物线与圆的综合问题·T19
直线与椭圆的位置关系、不等式的证明与平面向量综合问题·T20
2017
椭圆的标准方程、直线过定点问题·T20
轨迹问题、直线过定点问题·T20
直线与抛物线的位置关系、直线方程、圆的方程·T20
2016
轨迹问题、定值问题、面积的取值范围问题·T20
直线与椭圆的位置关系、求三角形的面积、参数的取值范围问题·T20
直线与抛物线的位置关系、轨迹问题、证明问题·T20
纵向把握趋势
卷Ⅰ3年3考，难度较大，涉及椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、定点问题、定值问题、轨迹问题、取值范围问题及证明问题．特别注意2018年高考将此综合题前移到第19题，难度降低．这一变化，预计2019年仍会以椭圆为载体考查椭圆方程、直线与椭圆的位置关系以及定点或定值问题
卷Ⅱ3年3考，难度偏大，涉及轨迹问题、直线与抛物线的位置关系、直线与椭圆的位置关系、轨迹问题、三角形面积、范围问题以及直线过定点问题．特别注意2018年高考将此综合题前移到第19题，难度降低．这一变化，预计2019年会以椭圆为载体考查弦长问题及弦长取值范围问题
卷Ⅲ3年3考，涉及直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系、轨迹问题及证明问题．预计2019年会将抛物线与圆综合考查，考查直线与圆或抛物线的位置关系及其应用问题
横向把握重点
解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现．
解答题的热点题型有：
(1)直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；(3)轨迹方程及探索性问题的求解.


[考法一　定点、定值问题]

题型·策略(一)

　　　(2018·南昌模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点．
[破题思路]
第(1)问
求什么想什么
求抛物线C的方程，想到求p的值
给什么用什么
给出焦点F的坐标，利用焦点坐标与p的关系求p
第(2)问
求什么想什么
求证：直线AB过x轴上一定点，想到直线AB的方程
给什么用什么
题目条件中给出“A，B是抛物线C上异于点O的两点”以及“直线OA，OB的斜率之积为－”，可设A，B两点的坐标，也可设直线AB的方程
差什么
找什么
要求直线AB的方程，还需要知道直线AB的斜率是否存在，可分类讨论解决

[规范解答]
(1)因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为F(1,0)，所以＝1，所以p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，
设A，B.
因为直线OA，OB的斜率之积为－，
所以·＝－，化简得t2＝32.
所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.
②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立消去x，化简得ky2－4y＋4b＝0.
所以yAyB＝，
因为直线OA，OB的斜率之积为－，
所以·＝－，
整理得xAxB＋2yAyB＝0.
即·＋2yAyB＝0，
解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32.
所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，
所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)．
综上所述，直线AB过定点(8,0)．

[题后悟通]

思路
受阻
分析
不能正确应用条件“直线OA，OB的斜率之积为－”是造成不能解决本题的关键
技法
关键
点拨
定点问题实质及求解步骤
解析几何中的定点问题实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步：


[对点训练]
1．(2018·成都一诊)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)由题意得，c＝，＝2，a2＝b2＋c2，
∴a＝2，b＝1，
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立消去y，
可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
∴Δ＝16(4k2＋1－m2)>0，
x1＋x2＝，x1x2＝.
∵点B在以线段MN为直径的圆上，
∴·＝0.
则·＝(x1，kx1＋m－1)·(x2，kx2＋m－1)＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0，
∴(k2＋1)＋k(m－1)＋(m－1)2＝0，
整理，得5m2－2m－3＝0，
解得m＝－或m＝1(舍去)．
∴直线l的方程为y＝kx－.
易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意．
故直线l过定点，且该定点的坐标为.

题型·策略(二)

　　　(2018·沈阳质监)设O为坐标原点，动点M在椭圆＋＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝ .
(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)过F(1,0)的直线l1与点P的轨迹交于A，B两点，过F(1,0)作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C，D两点，求证：＋为定值．
[破题思路]
第(1)问
求什么
想什么
求点P的轨迹E的方程，想到建立点P的横坐标x与纵坐标y的关系式
给什么
用什么
题目条件中给出＝ ，利用此条件建立点P的横坐标与纵坐标的关系式
差什么
找什么
要求点P的轨迹方程，还缺少点P，M，N的坐标，可设点P(x，y)，M(x0，y0)，N(x,0)，然后用x，y表示x0，y0

第(2)问
求什么
想什么
要证明＋为定值，想到利用合适的参数表示|AB|和|CD|
给什么
用什么
题目条件给出过F(1,0)互相垂直的两条直线分别与轨迹E分别交于A，B和C，D两点，用弦长公式可求|AB|和|CD|
差什么
找什么
要求|AB|和|CD|，还缺少直线l1和l2的方程，可设出直线斜率，利用点斜式表示直线方程．但要注意直线斜率不存在的情况

[规范解答]
(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x,0)．
∵＝ ，∴(0，y)＝(x0－x，y0)，
∴x0＝x，y0＝.
又点M在椭圆上，∴＋＝1，
即＋＝1.
∴点P的轨迹E的方程为＋＝1.
(2)证明：由(1)知F为椭圆＋＝1的右焦点，
当直线l1与x轴重合时，
|AB|＝6，|CD|＝＝，
∴＋＝.
当直线l1与x轴垂直时，|AB|＝，|CD|＝6，
∴＋＝.
当直线l1与x轴不垂直也不重合时，可设直线l1的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
则直线l2的方程为y＝－(x－1)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y，得(8＋9k2)x2－18k2x＋9k2－72＝0，
则Δ＝(－18k2)2－4(8＋9k2)(9k2－72)＝2 304(k2＋1)>0，
x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝ ·＝.
同理可得|CD|＝.
∴＋＝＋＝.
综上可得＋为定值．
[题后悟通]

思路
受阻
分析
在解决本题第(1)问时，不能正确应用＝ 求得点P的轨迹E的方程，导致第(2)问也无法求解，是解决本题易发生的错误之一；在解决第(2)问时，忽视直线斜率的不存在性或不能正确求解|AB|，|CD|都是常见解题失误的原因.
技法
关键
点拨
定值问题实质及求解步骤
定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题．其求解步骤一般为：


[对点训练]
2．已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；

(2)如图所示，点D为x轴上一点，过点D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过点D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为定值，并求出该定值．
解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意得解得
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：法一：设D(x0,0)，M(x0，y0)，N(x0，－y0)，－20)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．
[破题思路]
第(1)问
求什么
想什么
求△AMN的面积，想到三角形的面积公式S＝×底×高或S＝absin C
给什么
用什么
题目条件中给出“MA⊥NA，|AM|＝|AN|”，得△AMN为等腰直角三角形，故可利用面积S＝|AM||AN|求解
差什么
找什么
到此就缺少|AM|，|AN|的值，由于A点已知，故想法求M，N的坐标

第(2)问
求什么
想什么
求k的取值范围，想到建立关于k的不等式
给什么
用什么
题目条件中给出2|AM|＝|AN|，可利用此条件建立t与k的关系式
差什么
找什么
缺少关于k的不等式，想到t>3即可建立k的不等式

[规范解答]
(1)由|AM|＝|AN|，可得M，N关于x轴对称，由MA⊥NA，可得直线AM的斜率k为1.
因为t＝4，所以A(－2,0)，
所以直线AM的方程为y＝x＋2，
代入椭圆方程＋＝1，可得7x2＋16x＋4＝0，
解得x＝－2或x＝－，
所以M，N，
则△AMN的面积为××＝.
(2)由题意知t>3，k>0，A(－，0)，
将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0，
设M(x1，y1)，
则x1·(－)＝，即x1＝，
故|AM|＝|x1＋|＝.
由题设知，直线AN的方程为y＝－(x＋)，
故同理可得|AN|＝.
由2|AM|＝|AN|，得＝，
即(k3－2)t＝3k(2k－1)．
当k＝时上式不成立，因此t＝.
由t>3，得>3，
所以＝b>0)，
由条件可得a＝2，c＝，则b＝1.
故椭圆C的方程为＋x2＝1.
(2)法一：设弦MN的中点为P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点M，N为椭圆C上的点，可知4x＋y＝4,4x＋y＝4，两式相减，
得4(xM－xN)(xM＋xN)＋(yM－yN)(yM＋yN)＝0，
将xM＋xN＝2×＝－1，yM＋yN＝2y0，＝－，代入上式得k＝－.
又点P在弦MN的垂直平分线上，
所以y0＝－k＋m，所以m＝y0＋k＝y0.

由点P在线段BB′上B′(xB′，yB′)，B(xB，yB)为直线x＝－与椭圆的交点，如图所示，
所以yB′0，
即k2－m2＋4>0，
且x1＋x2＝，x1x2＝.
由＝3，得x1＝－3x2.
∴3(x1＋x2)2＋4x1x2＝12x－12x＝0.
∴＋＝0，
即m2k2＋m2－k2－4＝0.
当m2＝1时，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立，
∴k2＝.
∵k2－m2＋4>0，
∴－m2＋4>0，即>0.
解得10)，焦距为2c，则b＝c，
∴a2＝b2＋c2＝2b2，
∴椭圆E的标准方程为＋＝1.
又椭圆E过点，∴＋＝1，解得b2＝1.
∴椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)由于点(－2,0)在椭圆E外，∴直线l的斜率存在．
设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k(x＋2)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由消去y得，(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0.
由Δ>0，得0≤k2b>0)经过点P，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，不经过F1的直线l与椭圆C交于两个不同的点A， B.如果直线AF1，l，BF1的斜率依次成等差数列，求焦点F2到直线l的距离d的取值范围．
解：(1)由题意，知解得
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)易知直线l的斜率存在且不为零．设直线l的方程为y＝kx＋m，代入椭圆方程＋y2＝1，
整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0.
由Δ＝(4km)2－8(1＋2k2)(m2－1)>0，
得2k2>m2－1.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为F1(－1,0)，所以kAF1＝，kBF1＝.
由题可得2k＝＋，且y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，
所以(m－k)(x1＋x2＋2)＝0.
因为直线l：y＝kx＋m不过焦点F1(－1,0)，所以m－k≠0，
所以x1＋x2＋2＝0，从而－＋2＝0，
即m＝k＋.②
由①②得2k2>2－1，化简得|k|>.③
焦点F2(1,0)到直线l：y＝kx＋m的距离
d＝＝＝，
令t＝，由|k|>知t∈(1，)．
于是d＝＝，
因为函数f (t)＝在[1，]上单调递减，
所以f ()0恒成立，
由TS与TR所在直线关于x轴对称，得kTS＋kTR＝0(显然TS，TR的斜率存在)，
即＋＝0.②
因为R，S两点在直线y＝k(x－1)上，
所以y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，代入②得

＝＝0，
即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0.③
将①代入③得
＝＝0，
则t＝4，
综上所述，存在T(4,0)，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称．
[高考大题通法点拨]

圆锥曲线问题重在“设”——设点、设线
[思维流程]　

　　[策略指导]
圆锥曲线解答题的常见类型是：第1小题通常是根据已知条件，求曲线方程或离心率，一般比较简单．第2小题往往是通过方程研究曲线的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等，这一小题综合性较强，可通过巧设“点”“线”，设而不求．在具体求解时，可将整个解题过程分成程序化的三步：
第一步，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出；
第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中涉及的位置关系和数量关系；
第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何问题中．
在求解时，要根据题目特征，恰当的设点、设线，以简化运算．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，且点P在椭圆C上，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围；
(3)过椭圆C1：＋＝1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x2＋y2＝的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m，n，证明：＋为定值．
[破题思路]
第(1)问

求什么想什么
求椭圆C的标准方程，想到求a和b的值
给什么用什么
题目条件中给出椭圆的右焦点为F(1,0)以及椭圆上的一点P，将点P代入椭圆方程中，再结合c2＝a2＋b2即可求解
第(2)问
求什么想什么
求直线l的斜率k的取值范围，想到建立关于k的不等式
给什么用什么
题目条件中给出直线l过定点(0,2)与椭圆交于不同的两点A，B且∠AOB为锐角，可用k表示出直线l的方程，与椭圆联立，得出关于x的一元二次方程．由于直线与椭圆相交，故判别式Δ>0，由于∠AOB为锐角，故·>0，从而得出关于k的不等式

第(3)问
求什么想什么
证明：＋为定值，想到寻找合适的参数表示m和n或求出m和n的值
给什么用什么
题目条件中给出M，N是过椭圆C1上异于其顶点的任一点P作圆O的切线所得切点以及m，n为直线MN在x轴、y轴上的截距．用P，M，N的坐标表示出切线PM，PN的方程以及直线MN的方程，再用点P的坐标表示出m和n
差什么找什么
需求出m，n，可利用P点坐标表示m，n.然后借助点P在椭圆C1上求得定值证明问题

[规范解答]
(1)由题意得c＝1，所以a2＝b2＋1.①
又点P在椭圆C上，所以＋＝1.②
由①②可解得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为
y＝kx＋2，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，
由得
(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0，
因为Δ＝16(12k2－3)>0，
所以k2>，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为∠AOB为锐角，
所以·>0，即x1x2＋y1y2>0，
所以x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)>0，
所以(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4>0，
即(1＋k2)·＋2k·＋4>0，
解得k2，所以0)的左顶点为A，中心为O，若椭圆M过点P，且AP⊥OP.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；
(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2＝1，求证：直线DE过定点．
解：(1)由AP⊥OP，可知kAP·kOP＝－1.
又点A的坐标为(－a,0)，
所以·＝－1，解得a＝1.
又因为椭圆M过点P，所以＋＝1，解得b2＝，
所以椭圆M的方程为x2＋＝1.
(2)由题意易求直线AP的方程为＝，
即x－y＋1＝0.
因为点Q在椭圆M上，故可设Q，
又|AP|＝，
所以S△APQ＝××
＝× cos＋1 .
当θ＋＝2kπ(k∈Z)，即θ＝2kπ－(k∈Z)时，
S△APQ取得最大值＋.
(3)证明：法一：由题意易得，直线AD的方程为y＝k1(x＋1)，代入x2＋3y2＝1，消去y，得(3k＋1)x2＋6kx＋3k－1＝0.
设D(xD，yD)，则(－1)·xD＝，
即xD＝，yD＝k1＝.
设E(xE，yE)，同理可得xE＝，yE＝.
又k1k2＝1且k1≠k2，可得k2＝且k1≠±1，
所以xE＝，yE＝，
所以kDE＝＝＝，
故直线DE的方程为y－＝.
令y＝0，可得x＝－＝－2.
故直线DE过定点(－2,0)．
法二：设D(xD，yD)，E(xE，yE)．
若直线DE垂直于y轴，则xE＝－xD，yE＝yD，此时k1k2＝·＝＝＝与题设矛盾，
若DE不垂直于y轴，可设直线DE的方程为x＝ty＋s，将其代入x2＋3y2＝1，消去x，得(t2＋3)y2＋2tsy＋s2－1＝0，
则yD＋yE＝，yDyE＝.
又k1k2＝·
＝
＝1，
可得(t2－1)yDyE＋t(s＋1)(yD＋yE)＋(s＋1)2＝0，
所以(t2－1)·＋t(s＋1)·＋(s＋1)2＝0，
可得s＝－2或s＝－1.
又DE不过点A，即s≠－1，所以s＝－2.
所以DE的方程为x＝ty－2.
故直线DE过定点(－2,0)．
7．(2018·南昌模拟)如图，已知直线l：y＝kx＋1(k>0)关于直线y＝x＋1对称的直线为l1，直线l，l1与椭圆E：＋y2＝1分别交于点A，M和A，N，记直线l1的斜率为k1.
(1)求k·k1的值；
(2)当k变化时，试问直线MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．
解：(1)设直线l上任意一点P(x，y)关于直线y＝x＋1对称的点为P0(x0，y0)，
直线l与直线l1的交点为(0,1)，
∴l：y＝kx＋1，l1：y＝k1x＋1，
k＝，k1＝，
由＝＋1，
得y＋y0＝x＋x0＋2， ①
由＝－1，得y－y0＝x0－x， ②
由①②得
∴k·k1＝
＝＝1.
(2)由得(4k2＋1)x2＋8kx＝0，
设M(xM，yM)，N(xN，yN)，
∴xM＝，yM＝.
同理可得xN＝＝，yN＝＝.
kMN＝＝＝＝－，
直线MN：y－yM＝kMN(x－xM)，
即y－＝－，
即y＝－x－＋＝－x－.
∴当k变化时，直线MN过定点.
8．(2019届高三·湘东五校联考)已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2＝8y的焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，已知P(2,3)，Q(2，－3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．

①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．
解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
∵抛物线的焦点为(0,2)．
∴b＝2.
由＝，a2＝c2＋b2，得a＝4，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
①设直线AB的方程为y＝x＋t，
代入＋＝1，
得x2＋tx＋t2－12＝0，
由Δ>0，解得－4