2019版二轮复习数学（文）通用版讲义：第二部分备考技法专题二4大数学思想系统归纳——统一统思想

备考技法专题二 4 大数学思想系统归纳——统一统思想
第1讲　函数与方程思想
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组或不等式组)来使问题获解．方程是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃，有时，还可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决问题的目的．
函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的．

应用(一)　借助“显化函数关系”，利用函数思想解决问题
在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解．
[例1]　已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，bn＝＋＋…＋，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．
[解]　(1)因为a1＝2，a＝a2(a4＋1)，
又因为{an}是正项等差数列，所以公差d≥0，
所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，
解得d＝2或d＝－1(舍去)，
所以数列{an}的通项公式an＝2n.
(2)由(1)知Sn＝n(n＋1)，
则bn＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝－＋－＋…＋－
＝－
＝
＝，
令f(x)＝2x＋(x≥1)，
则f′(x)＝2－，
当x≥1时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，
即当n＝1时，(bn)max＝，
要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，
则需使k≥(bn)max＝，
所以实数k的最小值为.
[技法领悟]
数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式，前n项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成关于n的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地凸现其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究、解决问题 ，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平．
[应用体验]
1．已知等差数列{an}满足3a4＝7a7，a1>0，Sn是数列{an}的前n项和，则Sn取得最大值时n＝________.


解析：设等差数列{an}的公差为d，∵3a4＝7a7，∴3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，
∴4a1＝－33d.∵a1>0，∴d，
∴04x＋p－3成立的x的取值范围是________．
解析：设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，
则当x＝1时，f(p)＝0.
所以x≠1.
函数f(p)在[0,4]上恒为正，等价于
即解得x>3或x0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1>y2，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
所以|y2－y1|＝，
所以S△AOB＝|OE||y2－y1|＝＝.
设t＝，则g(t)＝t＋，t≥，
所以g′(t)＝1－＞0，
所以g(t)在区间[，＋∞)上为增函数，
所以g(t)≥，所以S△AOB≤，当且仅当m＝0时等号成立．
所以△AOB的面积存在最大值，为.
应用(三)　构造“函数关系”，利用函数思想解决问题
在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现．特别要注意的是，构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移．
[例3]　已知函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，a∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
[解]　(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，知f′(x)＝ex－2.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
当x0，故函数f(x)在区间(ln 2，＋∞)上单调递增．
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a.
(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x≥0)，
则g′(x)＝ex－2x＋2a，
由(1)知g′(x)min＝g′(ln 2)＝2－2ln 2＋2a.
又a>ln 2－1，则g′(x)min>0.
于是对∀x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增．
于是对∀x>0，都有g(x)>g(0)＝0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
[技法领悟]
一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可．
[应用体验]
5.(2018·天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D．3
解析：选A　如图，以D为坐标原点建立平面直角坐标系，连接AC.
由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，
则D(0,0)，A(1,0)，B，
C(0，)．设E(0，y)(0≤y≤)，
则＝(－1，y)，＝，
∴·＝＋y2－y＝2＋，
∴当y＝时，·有最小值.
6．设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，对于任意的实数x，都有f(x)＋f(－x)＝2x2，当x