2019版高中数学二轮复习教师用书：专题八函数与导数

专题八　 函数与导数 年份卷别小题考查大题考查2018全国卷ⅠT6·函数的性质、导数几何意义T21·利用导数研究函数的极值、单调区间、证明问题T12·分段函数、解不等式问题T13·由函数值求参数的值全国卷ⅡT3·函数图象的识别T21·利用导数求函数单调区间、函数零点个数的证明T12·函数的奇偶性、周期性、对称性的结合T13·导数的几何意义全国卷ⅢT7·函数性质与函数函数图象的对称性T21·导数的几何意义，不等式的恒成立的证明T9·函数图象的识别T16·函数求值2017全国卷ⅠT8·函数图象的识别T21·利用导数研究函数的单调性、最值，求参数的取值范围T9·复合函数的单调性、对称性T14·导数的几何意义全国卷ⅡT8·复合函数的单调性T21·利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立求参数的范围T14·函数的奇偶性、函数值的求解全国卷ⅢT7·函数图象的识别T21·利用导数研究函数的单调性，证明不等式T12·函数的零点问题T16·分段函数、不等式的解法2016全国卷ⅠT8·利用对数函数、指数函数的单调性比较大小T21·利用导数研究函数的单调性、最值，求参数的取值范围T9·函数图象的识别T12·利用导数研究函数的单调性全国卷ⅡT10·函数的定义域与值域T20·求切线方程，利用导数研究不等式T12·函数的图象与性质的应用全国卷ⅢT7·利用幂函数的单调性比较大小T21·利用导数研究函数的单调性，不等式的证明T16·偶函数的性质、导数的几何意义 函数与导数问题重在“分”——分离、分解 函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点．对于这类综合问题，一般是先求导，再变形、分离或分解出基本函数，再根据题意处理．【典例】 已知函数f(x)＝ln x＋x2－(a＋1)x．(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝－2，求f(x)的单调区间；(2)若x>0时，<恒成立，求实数a的取值范围．[解题示范]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．由已知得f′(x)＝＋ax－(a＋1)，则f′(1)＝0．而f(1)＝－－1，∴曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝－－1．∴－－1＝－2，解得a＝2．∴f(x)＝ln x＋x2－3x，f′(x)＝＋2x－3．由f′(x)>0，得0<x<或x>1，由f′(x)<0，得<x<1，∴f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞)，单调递减区间为．(2)由<，得＋x－(a＋1)<＋－，即－<在区间(0，＋∞)上恒成立．设h(x)＝－，则h′(x)＝＋＝，由h′(x)>0，得0<x<e，因而h(x)在(0，e)上单调递增，由h′(x)<0，得x>e，因而h(x)在(e，＋∞)上单调递减．∴h(x)的最大值为h(e)＝e－，∴>e－，故a>2e－－1.从而实数a的取值范围为．分解：问题1分解为三个问题：①求f′(x)且利用切线求参数a；②求函数f(x)＝ln x＋x2－3x的导数；③求不等式f′(x)＞0，f′(x)＜0的解集．分离、分解：通过分离参数并构造函数，将问题转化为求函数h(x)＝－在(0，＋∞)上的最大值问题．函数与导数压轴题堪称“庞然大物”，所以征服它需要一定的胆量和勇气，可以参变量分离、把复杂函数分离为基本函数，可把题目分解成几个小题，也可把解题步骤分解为几个小步，也可从逻辑上重新换叙．注重分步解答，这样，即使解答不完整，也要做到尽可能多拿步骤分．