2019版高中数学二轮复习教师用书：专题八第3讲　小题考法——导数的简单应用

第3讲　小题考法——导数的简单应用

一、主干知识要记牢

1．导数公式及运算法则

(1)基本导数公式：

①c′＝0(c为常数)；

②(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；

③(sin x)′＝cos x；

④(cos x)′＝－sin x；

⑤(ax)′＝axln a(a>0且a≠1)；

⑥(ex)′＝ex；

⑦(logax)′ ＝(a>0且a≠1)；

⑧(ln x)′＝．

(2)导数的四则运算：

①(u±v)′＝u′±v′；②(uv)′＝u′v＋uv′；

③′＝(v≠0)．

2．导数与极值、最值

(1)函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值．

(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点处函数值中的“最大者”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极值与其端点处函数值中的“最小者”．

二、二级结论要用好

1．常用乘式与除式的求导

(1)[xnf(x)]′＝nxn－1f(x)＋xnf′(x)；

(2)′＝；

(3)[exf(x)]′＝ex[f(x)＋f′(x)]；

(4)′＝．

2．不等式恒成立(或有解)问题的常用结论

(1)恒成立问题

a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max；a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min．

(2)有解问题

a>f(x)有解⇔a＞f(x)min；a≥f(x)有解⇔a≥f(x)min；

a<f(x)有解⇔a＜f(x)max；a≤f(x)有解⇔a≤f(x)max．

三、易错易混要明了

1．不能准确理解导函数的几何意义，易忽视切点(x0，f(x0))既在切线上，又在函数图象上，导致某些求导数的问题不能正确解出．

2．易混淆函数的极值与最值的概念，错以为f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处有极值的充分条件．

3．如果已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦然．

4．求曲线的切线方程时，要注意题目条件中的已知点是否为切点．

考点一　导数的几何意义

1．求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法

(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)在点P的切线方程：

求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程．

(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：

设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．

(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：

设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．

2．利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数

已知过某点的切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．

1．(2018·延安一模)已知函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f′(1)的值为(　D　)

A．  B．1

C．  D．2

解析　因为切线方程为y＝x＋，则直线的斜率k＝，根据导数的几何意义得f′(1)＝，所以f(1)＋2f′(1)＝1＋2×＝2，故选D．

2．(2018·绵阳三诊)若曲线y＝ln x＋1的一条切线是y＝ax＋b，则4a＋eb的最小值是(　C　)

A．2  B．2

C．4  D．4

解析　设切点为(m，ln m＋1)，f′(x)＝，f′(m)＝，故切线方程为y－(ln m＋1)＝(x－m)，即y＝x＋ln m，所以a＝，b＝ln m,4a＋eb＝＋m≥2＝4. 故选C．

3．(2018·烟台二模)已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝ln x＋a相切，则实数a的值是__2＋ln_2__．

解析　y＝ln x＋a求导得：y′＝，设切点是(x0，ln x0＋a)，则y′＝＝2，故x0＝，ln x0＝－ln 2，切点是 代入直线得：2×＋ln 2－a＋1＝0，解得a＝2＋ln 2．

考点二　利用导数研究函数的单调性

利用导数研究函数单调性的步骤

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求f′(x)；

(3)求方程f′(x)＝0在定义域内的所有实数根；

(4)将函数f(x)的间断点(即f(x)无定义的点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间；

(5)确定f′(x)在各小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性．

1．(2018·山西统考)已知函数f(x)＝e－x－2x－a，若曲线y＝x3＋x＋1(x∈[－1,1])上存在点(x0，y0)使得f(y0)＝y0，则实数a的取值范围是(　B　)

A．(－∞，e－3－9]∪[e＋3，＋∞)

B．[e－3－9，e＋3]

C．(e－3－9，e2＋6)

D．(－∞，e－3－9]∪(e＋3，＋∞)

解析　因为曲线y＝x3＋x＋1在(x∈[－1,1])上递增，所以曲线y＝x3＋x＋1(x∈[－1,1])上存在点(x0，y0), 可知y0∈[－1,3]，由f(y0)＝y0，可得y0＝e－y0－2y0－a，∴a＝e－y0－3y0，而a＝e－y0－3y0在[－1,3]上单调递减，∴a∈[e－3－9，e＋3]，故选B．

2．(2018·齐鲁名校联考)定义在{x|x≠0}上的函数f(x)满足f(x)－f(－x)＝0，f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(1)＝0，当x＞0时，xf′(x)＜2f(x)，则使得不等式f(x)＞0的解集为(　D　)

A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－1,0)∪(1，＋∞)  D．(－1,0)∪(0,1)

解析　令g(x)＝，则x＞0时，g′(x)＝＜0，g(x)在(0，＋∞)上递减，由f(1)＝0，知f(x)＞0可得0＜x＜1，又f(x)为偶函数，所以解集为(－1,0)∪(0,1). 故选D．

3．(2018·烟台模拟)已知函数y＝f(x)对任意的x∈(0，π)满足f′(x)sin x＞f(x)cos x(其中f′(x)为函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　B　)

A．f＜f  B．f＞f

C．f＞f  D．f＜f

解析　令F(x)＝，x∈(0，π)，

则F′(x)＝，

因为f′(x)sin x＞f(x)cos x，

则f′(x)sin x－f(x)cos x＞0，所以F′(x)＞0，

所以F＞F，即＞，

即f＞f，故选B．

考点三　利用导数研究函数的极值、最值

利用导数研究函数极值、最值的方法

(1)若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．

(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．

(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．

1．(2018·河南联考)若函数f(x)＝|－|在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝(　A　)

A．  B．2

C．  D．

解析　f(x)＝|－|为偶函数，

当1≤x≤4时，f(x)＝－，

∴f′(x)＝＋＞0.∴f(x)∈．

因此M＝，m＝0，∴M－m＝，选A．

2．(2018·曲靖一模)若函数f(x)＝e－x＋tln x有两个极值点，则实数t的取值范围是(　A　)

A．  B．

C．  D．

解析　f′(x)＝－e－x＋＝0有两个正根，即t＝xe－x有两个正根，令g(x)＝xe－x，g′(x)＝e－x－xe－x，当g′(x)＞0时，x＜1，故y＝g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，g(x)max＝g(1)＝，当x→＋∞时，g(x)＞0，所以t∈，故选A．

3．设函数f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围是__(－1，＋∞)__．

解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ax－b，

由f′(1)＝0，得b＝1－a．

∴f′(x)＝－ax＋a－1＝＝－．

①若a≥0，由f′(x)＝0，得x＝1.当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．所以x＝1是f(x)的极大值点．

②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－．

因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－>1，解得－1<a<0.综合①②得a的取值范围是(－1，＋∞)．