2019版高中数学二轮复习教师用书：专题八第2讲 小题考法——基本初等函数、函数与方程
展开第2讲 小题考法——基本初等函数、函数与方程
一、主干知识要记牢
1．指数函数与对数函数的对比表
解析式 | y＝ax(a＞0与a≠1) | y＝logax(a＞0与a≠1) |
图象 | ||
定义域 | R | (0，＋∞) |
值域 | (0，＋∞) | R |
单调性 | 0＜a＜1时，在R上是减函数；a＞1时，在R上是增函数 | 0＜a＜1时，在(0，＋∞)上是减函数；a＞1时，在(0，＋∞)上是增函数 |
两图象 的对称性 | 关于直线y＝x对称 | |
2．方程的根与函数的零点
(1)方程的根与函数零点的关系
由函数零点的定义，可知函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(2)函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数根．
二、易错易混要明了
1．不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如讨论函数y＝ax(a>0，a≠1)的单调性时忽视字母a的取值范围，忽视ax>0；研究对数函数y＝logax(a>0，a≠1)时忽视真数与底数的限制条件．
2．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．
3．函数f(x)＝ax2＋bx＋c有且只有一个零点，要注意讨论a是否为零．
考点一 基本初等函数的图象与性质
3招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题
(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较．
(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较．
(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小．
1．(2018·南充三模)在同一坐标系中，函数y＝2－x与y＝－log2x的图象都正确的是( A )
A B
C D
解析 因为y＝2－x＝x，所以函数单调递减，排除B，D． y＝x与y＝－log2x＝x的图象关于y＝x轴对称．排除C． 故选A．
2．已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)( A )
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
解析 因为f(x)＝3x－x，且定义域为R，所以f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－3x＋x＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．又y＝3x在R上是增函数，y＝x在R上是减函数，所以f(x)＝3x－x在R上是增函数．
3．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( D )
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
解析 令t＝2x＝3y＝5z，∵x，y，z为正数，∴t>1．
则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝．
∴2x－3y＝－＝＝>0，∴2x>3y．
又∵2x－5z＝－＝
＝<0，
∴2x<5z，∴3y<2x<5z.故选D．
考点二 函数的零点
1．判断函数零点个数的方法
直接法 | 直接求零点，令f(x)＝0，则方程解的个数即为函数零点的个数 |
定理法 | 利用零点存在性定理，利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在，必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点 |
数形 结合法 | 对于给定的函数不能直接求解或画出图象的，常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题 |
2．利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．
(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
1．(2018·安阳模拟)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝2|x|f(x)－2的零点个数为( B )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 画出函数f(x)＝的图象如图，
由g(x)＝2|x|f(x)－2＝0可得f(x)＝，则问题化为函数f(x)＝与函数y＝＝21－|x|的图象的交点的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个，应选答案B．
2．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( C )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析
方法一 ∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)f(1)＜0，故函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(0,1)，选C．
方法二 函数f(x)＝ex＋x－2的零点，即函数y＝ex的图象与y＝－x＋2的图象的交点的横坐标，作出函数y＝ex与直线y＝－x＋2的图象如图所示，
由图可知选C．
3．(2018·湖北联考)奇函数f(x)是R上单调函数，g(x)＝f(ax3)＋f(1－3x)有唯一零点，则a的取值集合为{a|a≤0或a＞4}．
解析 函数g(x)＝f(ax3)＋f(1－3x)有且只有一个零点，即方程f(ax3)＋f(1－3x)＝0有且只有一个根或两相等实数根，∵函数f(x)是奇函数，即f(ax3)＝f(－1＋3x)有且只有一个根或两相等实数根，又f(x)是R上的单调函数，∴方程ax3＝－1＋3x，即a＝－＋有且只有一个根或两相等实数根，作出y＝－＋的图象：
由图易得a的取值集合{a|a≤0或a＞4}．
