2019版高中数学二轮复习教师用书:专题八第4讲 大题考法——导数的综合应用
展开第4讲 大题考法——导数的综合应用考向一 导数的简单应用问题【典例】 (2018·洛阳模拟)已知函数f (x)=+n,g(x)=x2(m,n,a∈R),且曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.(1)求实数m,n的值及函数f (x)的最大值;(2)当a∈时,记函数g(x)的最小值为b,求b的取值范围.解 (1)函数f (x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=,因f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1,所以解得:m=1,n=0,所以f (x)=,故f′(x)=,令f′(x)=0,得x=e,当0<x<e时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x>e时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以当x=e时,f(x)取得最大值f(e)=.(2)∵g(x)=xln x--x,∴g′(x)=ln x-ax=x,∵-e<a<,∴f=-e<a,f(e)=>a,所以存在t∈,g′(t)=0,即ln t=at,当x∈(0,t)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(t,e]时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以g (x)的最小值为b=tln t-t2-t=-t,令b=-t= h(t),因为h′(t)=<0,所以h(t)在单调递减,从而h(t)∈,即b的取值范围是.[技法总结] 求函数y=f(x)在某个区间上极值的步骤[变式提升]1.(2018·玉溪模拟)已知函数f(x)=xln x.(1)设函数g(x)=f(x)-a(x-1),其中a∈R,讨论函数g(x)的单调性;(2)若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,求直线l的方程.解 (1)∵f(x)=xln x,∴g(x)=f(x)-a(x-1)=xln x-a(x-1),则g′(x)=ln x+1-a,由g′(x)<0,得ln x+1-a<0,解得0<x<ea-1;由g′(x)>0,得ln x+1-a>0,解得x>ea-1.∴g(x)在(0,ea-1)上单调递减,在(ea-1,+∞)上单调递增.(2)设切点坐标为(x0,y0),则y0=x0ln x0,切线的斜率为ln x0+1,∴切线l的方程为y-x0ln x0=(ln x0+1)(x-x0),又切线l过点(0,-1),∴-1-x0ln x0=(ln x0+1)(0-x0),即-1-x0ln x0=-x0ln x0-x0,解得x0=1,y0=0,∴直线l的方程为y=x-1.考向二 函数与导数的零点或方程的根的问题【典例】 已知函数f(x)=(x+a)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a<1时,试确定函数g(x)=f(x-a)-x2的零点个数,并说明理由.[规范解答] (1)因为f(x)=(x+a)ex,x∈R,所以f′(x)=(x+a+1)ex. 1分令f′(x)=0,得x=-a-1. 2分当x变化时,f′(x)和f(x)的变化情况如下: x(-∞,-a-1)-a-1(-a-1,+∞)f′(x)-0+f(x)↘极小值↗ 3分故f(x)的单调递减区间为(-∞,-a-1),单调递增区间为(-a-1,+∞).4分(2)结论:当a<1时,函数g(x)有且仅有一个零点. 5分理由如下:由g(x)=f(x-a)-x2=0,得方程xex-a=x2,显然x=0为此方程的一个实数解,所以x=0是函数g(x)的一个零点. 6分当x≠0时,方程可化简为ex-a=x.设函数F(x)=ex-a-x, 7分则F′(x)=ex-a-1,令F′(x)=0,得x=a,当x变化时,F′(x)和F(x)的变化情况如下: x(-∞,a)a(a,+∞)F′(x)-0+F(x)↘极小值↗8分即F(x)的单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(-∞,a). 9分所以F(x)min=F(a)=1-a. 10分因为a<1,所以F(x)min=F(a)=1-a>0,所以对于任意x∈R,F(x)>0, 11分因此方程ex-a=x无实数解.所以当x≠0时,函数g(x)不存在零点.综上,函数g(x)有且仅有一个零点. 12分①对函数f(x)求导计算错而导致解题错误.②对于函数零点个数的判断,不会转化构造函数而无从下手.③在判断方程ex-a=x(x≠0)无零点时不会构造转化,利用单调性及最值做出判断.[技法总结] 判断函数零点个数的常用方法(1)直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图.函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题.(2)分离出参数,转化为a=g(x),根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性,求出极值以及最值,画出草图.函数零点的个数问题即是直线y=a与函数y=g(x)图象交点的个数问题.只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可.[变式提升]2.(2018·锦州联考)已知函数f(x)=ex+ax-a(a∈R且a≠0).(1)若函数f(x)在x=0处取得极值,求实数a的值;并求此时f(x)在[-2,1]上的最大值;(2)若函数f(x)不存在零点,求实数a的取值范围.解 (1)由f(x)=ex+ax-a,得f′(x)=ex+a.∵函数f(x)在x=0处取得极值,∴f′(0)=e0+a=0,∴a=-1.∴f′(x)=ex-1.∴当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(0,+∞)时f′(x)>0,f(x)单调递增.易知f(x)在[-2,0]上单调递减,在(0,1]上单调递增,且f(-2)=+3,f(1)=e,f(-2)>f(1),∴f(x)在[-2,1]上的最大值为+3.(2)f′(x)=ex+a,由于ex>0,①当a>0时,f′(x)>0,f(x)是增函数,且当x>1时,f(x)=ex+a(x-1)>0.当x<0时,取x=-,则f<1+a=-a<0,∴函数f(x)存在零点,不满足题意.②当a<0时,令f′(x)=ex+a=0,x=ln(-a).当x∈(-∞,ln(-a))时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(ln(-a),+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,∴x=ln(-a)时,f(x)取得最小值.函数f(x)不存在零点,等价于f(ln(-a))=eln(-a)+aln(-a)-a=-2a+aln(-a)>0,解得-e2<a<0.综上所述,所求实数a的取值范围是(-e2,0).考向三 导数与不等式恒成立、存在性问题【典例】 (2018·河南联考)已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞).当a=4时,f(x)=(x+1)ln x-4(x-1),f′(x)=ln x+-3,f′(1)=-2,f(1)=0.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x+y-2=0.(2)当x∈(1,+∞)时,f(x)>0等价于ln x->0.设g(x)=ln x-,则g′(x)=-=,g(1)=0,①当a≤2,x∈(1,+∞)时,x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0,故g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增,因此g(x)>0;②当a>2时,令g′(x)=0得x1=a-1-,x2=a-1+.由x2>1和x1x2=1得x1<1,故当x∈(1,x2)时,g′(x)<0,g(x)在(1,x2)单调递减,因此g(x)<0.综上,a的取值范围是(-∞,2].[技法总结]1.利用导数解决不等式恒成立问题的常用方法(1)分离参数法第一步:将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题;第二步:利用导数求该函数的最值;第三步:根据要求得所求范围.(2)函数思想法第一步:将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题;第二步:利用导数求该函数的极值(最值);第三步:构建不等式求解.2.利用导数解决不等式存在性问题的策略(1)根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大(小)值满足的不等式成立问题.(2)用导数求该函数在该区间上的最值.(3)构建不等式求解.[变式提升]3.设函数f(x)=aln x+x2-bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0.(1)求b;(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<,求a的取值范围.解 (1)f′(x)=+(1-a)x-b.由题设知f′(1)=0,解得b=1.(2)f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知,f(x)=aln x+x2-x,f′(x)=+(1-a)x-1=(x-1).①若a≤,则≤1,故当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)单调递增.所以,存在x0≥1,使得f(x0)<的充要条件为f(1)<,即-1<,解得--1<a<-1.②若<a<1,则>1,故当x∈时,f′(x)<0,当x∈时,f′(x)>0,f(x)在上单调递减,在上单调递增.所以存在x0≥1,使得f(x0)<的充要条件为f<.而f=aln ++>,所以不合题意.③若a>1,则f(1)=-1=<恒成立,所以a>1.综上,a的取值范围是(--1,-1)∪(1,+∞).考向四 导数与不等式的证明问题【典例】 (2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明f(x)≤--2.(1)解 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+2ax+2a+1=.若a≥0,则当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a<0,则当x∈时,f′(x)>0;当x∈时,f′(x)<0.故f(x)在上单调递增,在上单调递减.(2)证明 由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-处取得最大值,最大值为f=ln-1-.所以f(x)≤--2等价于ln-1-≤--2,即ln++1≤0.设g(x)=ln x-x+1,则g′(x)=-1.当x∈(0,1)时,g′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.所以当x>0时,g(x)≤0.从而当a<0时,ln++1≤0,即f(x)≤--2.[技法总结]1.利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形.(2)构造新的函数h(x).(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值.(4)根据单调性及最值,得到所证不等式.2.构造辅助函数的4种方法[变式提升]4.(2018·三湘名校教育联盟联考)已知函数 f(x)=2xex+m(x2+2x),m∈.(1)若m=,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若函数g(x)=f(x)-4ex+4m+2mx,记函数g(x)在(0,+∞)上的最小值为A,求证:-2e<A<-2.(1)解 (1)由题意知,f(x)=2xex+(x2+2x),∴f′(x)=2ex+2xex+(x+1),∴f′(0)=,f(0)=0,则所求切线方程为y=x,即5x-2y=0.(2)证明 由题意知,g(x)=2xex+m(x2+4x)-4ex+4m,∴g′(x)=2ex+(2x-4)ex+2m(x+2)=(2x-2)ex+2m(x+2).令h(x)=g′(x),∴h′(x)=2xex+2m>0,则g′(x)在(0,+∞)上单调递增,又g′(0)=4m-2<0,g′(1)=6m>0,则存在t∈(0,1)使得g′(t)=0成立,∵g′(t)=0,∴m=-.当x∈(0,t)时,g′(t)<0,当x∈(t,+∞)时,g′(t)>0,∴g(x)min=g(t)=(2t-4)et+m(t+2)2=et(-t2+t-2).令h(t)=et(-t2+t-2),则h′(t)=et(-t2-t-1)<0,∵0<t<1,∴h(1)<h(t)<h(0),∴-2e<A<-2.