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    2019版高中数学二轮复习教师用书:专题八第4讲 大题考法——导数的综合应用

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    4讲 大题考法——导数的综合应用考向一 导数的简单应用问题【典例】 (2018·洛阳模拟)已知函数f (x)ng(x)x2(mnaR)且曲线yf(x)在点(1f(1))处的切线方程为yx1(1)求实数mn的值及函数f (x)的最大值(2)a记函数g(x)的最小值为bb的取值范围解 (1)函数f (x)的定义域为(0,+)f(x)f(x)的图象在点(1f(1))处的切线方程为yx1所以解得:m1n0所以f (x),故f(x)f(x)0,得xe0xe时,f(x)0f(x)单调递增;xe时,f(x)0f(x)单调递减所以当xe时,f(x)取得最大值f(e)(2)g(x)xln xxg(x)ln xaxxeaf=-eaf(e)a所以存在tg(t)0,即ln tatx(0t)时,g(x)0g(x)单调递减,x(te]时,g(x)0g(x)单调递增,所以g (x)的最小值为btln tt2ttbt h(t)因为h(t)0,所以h(t)单调递减,从而h(t)b的取值范围是[技法总结] 求函数yf(x)在某个区间上极值的步骤[变式提升]1(2018·玉溪模拟)已知函数f(x)xln x(1)设函数g(x)f(x)a(x1)其中aR讨论函数g(x)的单调性(2)若直线l过点(0,-1)并且与曲线yf(x)相切求直线l的方程解 (1)f(x)xln xg(x)f(x)a(x1)xln xa(x1)g(x)ln x1ag(x)0,得ln x1a0,解得0xea1g(x)0,得ln x1a0,解得xea1g(x)(0ea1)上单调递减,在(ea1,+)上单调递增(2)设切点坐标为(x0y0)y0x0ln x0,切线的斜率为ln x01切线l的方程为yx0ln x0(ln x01)(xx0)又切线l过点(0,-1)1x0ln x0(ln x01)(0x0)即-1x0ln x0=-x0ln x0x0,解得x01y00直线l的方程为yx1考向二 函数与导数的零点或方程的根的问题【典例】 已知函数f(x)(xa)ex其中e是自然对数的底数aR(1)求函数f(x)的单调区间(2)a1试确定函数g(x)f(xa)x2的零点个数并说明理由[规范解答] (1)因为f(x)(xa)exxR所以f(x)(xa1)ex.  1f(x)0,得x=-a1.  2x变化时,f(x)f(x)的变化情况如下: x(,-a1)a1(a1,+)f(x)0f(x)极小值  3f(x)的单调递减区间为(,-a1),单调递增区间为(a1,+).4(2)结论:当a1时,函数g(x)有且仅有一个零点 5理由如下:由g(x)f(xa)x20,得方程xexax2显然x0为此方程的一个实数解,所以x0是函数g(x)的一个零点. 6x0时,方程可化简为exax.设函数F(x)exax 7F(x)exa1,令F(x)0,得xa,当x变化时,F(x)F(x)的变化情况如下: x(a)a(a,+)F(x)0F(x)极小值8F(x)的单调递增区间为(a,+),单调递减区间为(a). 9所以F(x)minF(a)1a.  10因为a1,所以F(x)minF(a)1a0所以对于任意xRF(x)0  11因此方程exax无实数解所以当x0时,函数g(x)不存在零点综上,函数g(x)有且仅有一个零点.  12对函数f(x)求导计算错而导致解题错误对于函数零点个数的判断,不会转化构造函数而无从下手在判断方程exax(x0)无零点时不会构造转化,利用单调性及最值做出判断[技法总结] 判断函数零点个数的常用方法(1)直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题(2)分离出参数,转化为ag(x),根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性,求出极值以及最值,画出草图函数零点的个数问题即是直线ya与函数yg(x)图象交点的个数问题只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可[变式提升]2(2018·锦州联考)已知函数f(x)exaxa(aRa0)(1)若函数f(x)x0处取得极值求实数a的值并求此时f(x)[2,1]上的最大值(2)若函数f(x)不存在零点求实数a的取值范围解 (1)f(x)exaxa,得f(x)exa函数f(x)x0处取得极值,f(0)e0a0a=-1.f(x)ex1x(0)时,f(x)0f(x)单调递减,x(0,+)f(x)0f(x)单调递增易知f(x)[2,0]上单调递减,在(0,1]上单调递增,f(2)3f(1)ef(2)f(1)f(x)[2,1]上的最大值为3(2)f(x)exa,由于ex0a0时,f(x)0f(x)是增函数,且当x1时,f(x)exa(x1)0x0时,取x=-f1a=-a0函数f(x)存在零点,不满足题意a0时,令f(x)exa0xln(a)x(ln(a))时,f(x)0f(x)单调递减,x(ln(a),+)时,f(x)0f(x)单调递增,xln(a)时,f(x)取得最小值函数f(x)不存在零点,等价于f(ln(a))eln(a)aln(a)a=-2aaln(a)0解得-e2a0综上所述,所求实数a的取值范围是(e2,0)考向三 导数与不等式恒成立、存在性问题【典例】 (2018·河南联考)已知函数f(x)(x1)ln xa(x1)(1)a4求曲线yf(x)(1f(1))处的切线方程(2)若当x(1,+)f(x)0a的取值范围解 (1)f(x)的定义域为(0,+)a4时,f(x)(x1)ln x4(x1)f(x)ln x3f(1)=-2f(1)0曲线yf(x)(1f(1))处的切线方程为2xy20(2)x(1,+)时,f(x)0等价于ln x0g(x)ln xg(x)g(1)0a2x(1,+)时,x22(1a)x1x22x10g(x)0g(x)(1,+)上单调递增,因此g(x)0a2时,令g(x)0x1a1x2a1x21x1x21x11,故当x(1x2)时,g(x)0g(x)(1x2)单调递减,因此g(x)0综上,a的取值范围是(2][技法总结]1利用导数解决不等式恒成立问题的常用方法(1)分离参数法第一步:将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题;第二步:利用导数求该函数的最值;第三步:根据要求得所求范围(2)函数思想法第一步:将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题;第二步:利用导数求该函数的极值(最值)第三步:构建不等式求解2利用导数解决不等式存在性问题的策略(1)根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大()值满足的不等式成立问题(2)用导数求该函数在该区间上的最值(3)构建不等式求解[变式提升]3设函数f(x)aln xx2bx(a1)曲线yf(x)在点(1f(1))处的切线斜率为0(1)b(2)若存在x01使得f(x0)<a的取值范围解 (1)f(x)(1a)xb由题设知f(1)0,解得b1(2)f(x)的定义域为(0,+)(1)知,f(x)aln xx2xf(x)(1a)x1(x1)a,则1,故当x(1,+)时,f(x)>0f(x)(1,+)单调递增所以,存在x01,使得f(x0)<的充要条件为f(1)<,即1<,解得-1<a<1<a<1,则>1,故当x时,f(x)<0x时,f(x)>0f(x)上单调递减,在上单调递增所以存在x01使得f(x0)<的充要条件为f<faln >,所以不合题意a>1,则f(1)1<恒成立,所以a1综上,a的取值范围是(11)(1,+)考向四 导数与不等式的证明问题【典例】 (2017·全国卷)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x(1)讨论f(x)的单调性(2)a0证明f(x)2(1)解 f(x)的定义域为(0,+)f(x)2ax2a1a0,则当x(0,+)时,f(x)0f(x)(0,+)上单调递增a0,则当x时,f(x)0x时,f(x)0f(x)上单调递增,在上单调递减(2)证明 (1)知,当a0时,f(x)x=-处取得最大值,最大值为fln1所以f(x)2等价于ln12,即ln10g(x)ln xx1,则g(x)1x(0,1)时,g(x)0x(1,+)时,g(x)0所以g(x)(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减故当x1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)0所以当x0时,g(x)0从而当a0时,ln10,即f(x)2[技法总结]1利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形(2)构造新的函数h(x)(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值(4)根据单调性及最值,得到所证不等式2构造辅助函数的4种方法[变式提升]4(2018·三湘名校教育联盟联考)已知函数 f(x)2xexm(x22x)m(1)m求曲线yf(x)在点(0f(0))处的切线方程(2)若函数g(x)f(x)4ex4m2mx记函数g(x)(0,+)上的最小值为A求证:-2eA<-2(1)解 (1)由题意知,f(x)2xex(x22x)f(x)2ex2xex(x1)f(0)f(0)0,则所求切线方程为yx5x2y0(2)证明 由题意知,g(x)2xexm(x24x)4ex4mg(x)2ex(2x4)ex2m(x2)(2x2)ex2m(x2)h(x)g(x)h(x)2xex2m0g(x)(0,+)上单调递增,g(0)4m20g(1)6m0则存在t(0,1)使得g(t)0成立,g(t)0m=-x(0t)时,g(t)0,当x(t,+)时,g(t)0g(x)ming(t)(2t4)etm(t2)2et(t2t2)h(t)et(t2t2),则h(t)et(t2t1)00t1h(1)h(t)h(0)2eA<-2  

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