2019版高中数学二轮复习教师用书：专题二第1讲 小题考法——三角函数的图象与性质
展开第1讲 小题考法——三角函数的图象与性质
一、主干知识要记牢
1．三角函数的图象及常用性质
函数 | y＝sin x | y＝cos x | y＝tan x |
图象 | |||
单调性 | 在(k∈Z)上单调递增；在(k∈Z)上单调递减 | 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 | 在(k∈Z)上单调递增 |
对称性 | 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)； 对称轴：x＝＋kπ(k∈Z) | 对称中心：(k∈Z)； 对称轴：x＝kπ(k∈Z) | 对称中心：(k∈Z) |
2.三角函数的两种常见的图象变换
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)．
(2)y＝sin xy＝sin ωx
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)．
二、二级结论要用好
1．sin α－cos α＞0⇔α的终边在直线y＝x上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cos α＞1)．
2．sin α＋cos α＞0⇔α的终边在直线y＝－x上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)．
三、易错易混要明了
求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，弧度和角度不能混用，需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间．
如求函数f(x)＝2sin的单调减区间，应将函数化为f(x)＝－2sin，转化为求函数y＝sin的单调增区间．
考点一 三角函数的图象及应用
1．函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)＋B的确定方法
字母 | 确定途径 | 说明 |
A | 由最值确定 | A＝ |
B | 由最值确定 | B＝ |
ω | 由函数的 周期确定 | 相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点之差的绝对值为个周期，ω＝ |
φ | 由图象上的 特殊点确定 | 一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置，利用待定系数法并结合图象列方程或方程组求解 |
2.三角函数图象平移问题处理的“三看”策略
1．(2018·豫南联考)将函数y＝sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位，则所得函数图象的解析式为( B )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析 函数y＝sin经伸长变换得
y＝sin，再作平移变换得
y＝sin＝sin，故选B．
2．(2018·商丘二模)将函数y＝sin(ω＞0)的图象向右平移个单位后，得到y＝g(x)，g(x)为偶函数，则ω的最小值为( B )
A．1 B．2
C． D．
解析 将函数y＝sin(ω＞0)的图象向右平移个单位后，得到y＝g(x)＝sin＝sin，由于函数g(x)为偶函数，所以－＋＝kπ＋，∴ω＝－3k－1，∴ωmin＝－3×(－1)－1＝2.故选B．
3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f的值为____．
解析 由图象可知A＝2，T＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2，∵当x＝时，函数f(x)取得最大值，∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin，则f＝2sin＝2cos ＝．
考点二 三角函数的性质及应用
1．求函数单调区间的方法
(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得．
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．
2．判断对称中心与对称轴的方法
利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．
3．求三角函数周期的常用结论
(1)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为．
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
1．已知f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x，则f(x)的最小正周期和一个单调递减区间分别为( B )
A．2π， B．π，
C．2π， D．π，
解析 f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x＝1－cos 2x＋sin 2x＝sin＋1，则T＝＝π.由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝0得f(x)在上单调递减，故选B．
2．(2018·K12联盟联考)函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω＞0)在上单调递增，则ω的取值不可能为( D )
A． B．
C． D．
解析 ∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin(ω＞0)，∴令－＋2kπ≤ωx－≤2kπ＋，k∈Z，
即－＋≤x≤＋，k∈Z，
∵f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω＞0)在上单调递增，∴－≤－且≥，∴0＜ω≤.故选D．
3．(2018·天津卷)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( A )
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
解析 将函数y＝sin 的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin＝sin 2x的图象．
由2kπ－≤2x≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，
所以函数y＝sin 2x的单调递增区间为，
k∈Z.取k＝0，得y＝sin 2x在区间上单调递增．故选A．
考点三 三角函数的值域与最值问题
求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法
三角函数类型 | 求值域(最值)方法 |
y＝asin x＋bcos x＋c | 先化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值) |
y＝asin2x＋bsin x＋c | 可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数，再求值域(最值) |
y＝asin xcos x＋ b(sin x±cos x)＋c | 可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数，再求值域(最值) |
y＝ | 一般可看成过定点的直线与圆上动点连线的斜率问题，利用数形结合求解 |
1．函数f(x)＝sin在上的值域为．
解析 ∵x∈，∴2x＋∈，
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝1．
当2x＋＝，即x＝时，f(x)min＝－，
∴f(x)∈．
2．已知函数f(x)＝cos，其中x∈，若f(x)的值域是，则m的取值范围是 ．
解析 由x∈，可知≤3x＋≤3m＋，
∵f＝cos ＝－，且f＝cos π＝－1，
∴要使f(x)的值域是，
需要π≤3m＋≤，
即≤m≤．
