2019版高中数学二轮复习教师用书：专题二第3讲 大题考法——解三角形
展开第3讲 大题考法——解三角形
考向一 正、余弦定理的基本应用
【典例】 (2018·南充联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c－b＝2bcos A．
(1)若a＝2，b＝3，求边c；
(2)若C＝，求角B．
解 (1)由c－b＝2bcos A及余弦定理cos A＝，
得＝，
所以a2＝b2＋bc，所以(2)2＝32＋3c，解得c＝5．
(2)因为c－b＝2bcos A，
所以由正弦定理得sin C－sin B＝2sin Bcos A．
因为C＝，所以1－sin B＝2sin Bcos A，
所以1－sin B＝2sin Bcos，
即1－sin B＝2sin2B，所以(2sin B－1)(sin B＋1)＝0，
所以sin B＝或sin B＝－1(舍去)，
因为0＜B＜，所以B＝．
[技法总结] 用正、余弦定理求解三角形基本量的方法
[变式提升]
1．(2018·揭阳三诊)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acos C＋(c－3b)cos A＝0．
(1)求tan A的值；
(2)若△ABC的面积为，且b－c＝2，求a的值．
解 (1)∵acos C＋(c－3b)cos A＝0，
∴sin Acos C＋(sin C－3sin B)cos A＝0，
即sin Acos C＋sin Ccos A＝3sin Bcos A⇒cos A＝，
∴tan A＝2．
(2)S＝bcsin A＝bc·＝⇒bc＝3，
a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b－c)2＋2bc－bc＝4＋×3＝8⇒a＝2．
2．(2018·宣城二调)△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c2＝4absin2C．
(1)求sin A·sin B；
(2)若A＝，a＝3，求c的大小．
解 (1)∵c2＝4absin2C，
∴由正弦定理，得sin2C＝4sin A·sin B·sin2C，
又△ABC中，sin C≠0，∴sin A·sin B＝．
(2)A＝时，sin A＝，又sin A·sin B＝，∴sin B＝，又A＋B＜π，B∈(0，π)，∴B＝，
∴a＝b＝3，C＝π－A－B＝，
∴c2＝a2＋b2－2abcos C＝27，∴c＝3．
考向二 与三角形面积有关的问题
【典例】 (2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)；
(2)若a＋c＝6，，求b．
[审题指导]
①看到三角恒等式，想到三角恒等变换公式，遇平方要降次
②看到求cos B，想到条件中A＋C化为B后，恒等变换可求
③看到三角形面积，想到恰当的选择相应的三角形面积公式
[规范解答] (1)由题设及A＋B＋C＝π得
sin B＝8sin2 ， 2分
即sin B＝4(1－cos B)❶， 3分
故17cos2B－32cos B＋15＝0， 4分
解得cos B＝，cos B＝1(舍去)❷. 6分
(2)由cos B＝，得sin B＝， 7分
故S△ABC＝acsin B＝ac❸. 8分
又S△ABC＝2，则ac＝. 9分
由余弦定理及a＋c＝6得
b2＝a2＋c2－2accos B
＝(a＋c)2－2ac❹(1＋cos B) 10分
＝36－2××
＝4. 11分
所以b＝2. 12分
❶处利用倍角公式时，易把sin2＝记为sin2＝，导致化简结果错误．
❷处根据三角形中内角的范围舍去cos B＝1易忽视．
❸处关键是利用(1)的结论，结合平方关系求出sin B，由此明确面积公式的选择．
❹处若出现a＋c及ac，则注意余弦定理中配方法的使用，以及整体思想的运用．
[技法总结] 与三角形面积有关的问题的解题模型
[变式提升]
3．(2018·永州三模)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＋sin 2(B＋C)＝0．
(1)求A的值；
(2)若|b－c|＝，△ABC的面积为，求a的值．
解 (1)∵cos A＋sin 2(B＋C)＝0，
∴cos A＋sin 2(π－A)＝cos A－sin 2A＝0．
∴cos A－2sin Acos A＝0．
又△ABC为锐角三角形，
∴cos A≠0，sin A＝.∴A＝60°．
(2)由S△ABC＝bcsin A＝bc·＝，得bc＝4，
∵|b－c|2＝b2＋c2－2bc＝5，
∴b2＋c2＝13．
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝13－2×4×＝9.即a＝3．
4．(2018·榆林三诊)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝acos B．
(1)求B；
(2)若b＝，c＝2，a＞b求△ABC的面积．
解 (1)因为＝acos B，
所以sin A＝sin Acos B，
而sin A≠0，故cos B＝，
所以B＝．
(2)由b2＝a2＋c2－2accos B，得7＝12＋a2－2×2a×，化简得a2－6a＋5＝0，解得a＝5，或a＝1(舍去)，
所以S△ABC＝acsin B＝．
