2019版高中数学二轮复习教师用书：专题五立体几何

专题五　立体几何

立体几何问题重在“转”——转化、转换

立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深，解决这类题目的原则是转化、转换．转化——空间平行关系间的转化、垂直关系间的转化、平行与垂直关系间的转化以及平面几何与立体几何的转化等；转换——对几何体的体积、锥体体积考查顶点转换，多面体体积多分割转换为几个规则几何体的体积和或体积差来求解，求体积时距离与体积计算的转换等．

【典例】　如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

(1)证明MN∥平面PAB；

(2)求四面体N­BCM的体积．

[解题示范]　(1)证明：由已知得AM＝AD＝2．

取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2．

又AD∥BC，故TN綊AM，

所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT．

因为MN⊄平面PAB，AT⊂平面PAB，所以MN∥平面PAB❶．

(2)解：因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA．

取BC中点E，连接AE．

由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝．

由AM∥BC得M到BC的距离为，

故S△BCM＝×4×＝2．

所以四面体N­BCM的体积

VN­BCM＝×S△BCM×＝.❷

❶转化：平行关系间的转化．线∥线⇒线∥面．TN∥BC，AD∥BC⇒TN綊AM⇒MN∥AT⇒MN∥平面PAB．

❷转换：距离与体积的计算转换．

点面距、点线距⇒体积的计算．

AE＝⇒点M到BC的距离为；点N到平面ABCD的距离为PA⇒四面体N­BCM的体积．

立体几何的内容在高考中的考查情况总体上比较稳定，因此，复习备考时往往有“纲”可循，有“题”可依．在平时的学习中，要重视识图训练，能正确确定关键点或线的位置，将局部空间问题转化为平面模型．其中，平行、垂直关系的判定与性质是立体几何的核心内容；空间距离、面积与体积的计算是重点内容．