2019版二轮复习数学（理·普通生）通用版讲义：第一部分第二层级高考5个大题题题研诀窍三角函数问题重在“变”——变角、变式

                     [技法指导——迁移搭桥]1.常用的变角技巧(1)已知角与特殊角的变换；(2)已知角与目标角的变换；(3)角与其倍角的变换；(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用．如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·，＝－.2．常用的变式技巧主要从函数名、次数、系数方面入手，常见有：(1)讨论三角函数的性质时，常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论；(2)涉及sin x±cos x、sin x·cos x的问题，常做换元处理，如令t＝sin x±cos x∈[－，]，将原问题转化为关于t的函数来处理；(3)在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [典例]　(2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．[快审题]　求什么想什么求角B的大小，想到角B的三角函数值．求三角函数值，想到由已知三角函数值求值．给什么用什么已知边角关系式，用正弦定理统一角．已知边的大小，用余弦定理求边．差什么找什么求sin(2A－B)的值，缺少2A的三角函数值，应找A的三角函数值. [稳解题](1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B.又因为bsin A＝acos，所以asin B＝acos， 即sin B＝cos B＋sin B，所以tan B＝.因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.由bsin A＝acos，可得sin A＝ .因为a＜c，所以cos A＝.所以sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A＝2cos2A－1＝.所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝.[题后悟道]1．利用正、余弦定理求解问题的策略2．三角恒等变换的思路为“一角二名三结构”升幂(降幂)公式口诀：“幂降一次，角翻倍；幂升一次，角减半”．[针对训练]已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos C＝a＋csin B.(1)求角B的大小；(2)若b＝5，a＝3，求△ABC的面积S.解：(1)由正弦定理可得，sin Bcos C＝sin A＋sin Csin B，即sin Bcos C＝sin(B＋C)＋sin Csin B，所以cos Bsin C＋sin Csin B＝0.因为sin C≠0，所以cos B＋sin B＝0，即tan B＝－1，又B∈(0，π)，所以B＝.(2)法一：由余弦定理，可得b2＝a2＋c2－2accos B，即52＝(3)2＋c2－2×3ccos，整理得c2＋6c－7＝0，解得c＝1或c＝－7(舍去)．所以△ABC的面积S＝acsin B＝×3×1×sin＝.法二：由正弦定理＝，可得＝，解得sin A＝.因为B＝，所以A∈，所以cos A＝＝ ＝.由三角形的内角和定理可得C＝π－A－B，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝，所以△ABC的面积S＝absin C＝×3×5×＝.[总结升华]高考试题中的三角函数解答题相对比较传统，难度较低，大家在复习时，应“明确思维起点，把握变换方向，抓住内在联系，合理选择公式”是三角变换的基本要诀．在解题时，要紧紧抓住“变”这一核心，灵活运用公式与性质， 仔细审题，快速运算．　　　　                                                                                                                 A组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1．(2019届高三·益阳、湘潭调研)已知sin α＝，则cos(π＋2α)＝(　　)A.　　　　　　　　 　B．－C.   D．－解析：选D　∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－＝，∴cos(π＋2α)＝－cos 2α＝－，故选D.2．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝(　　)A.   B.C.   D.解析：选C　∵S＝absin C＝＝＝abcos C，∴sin C＝cos C，即tan C＝1.∵C∈(0，π)，∴C＝.故选C.3．若0<α<<β<π，cos α＝，sin(α＋β)＝－，则cos β＝(　　)A．－　　　　　　　　　 B.C．－   D．±解析：选C　cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，因为α＋β∈，所以cos(α＋β)<0，则cos(α＋β)＝－，因为α∈，所以sin α>0，所以sin α＝，cos β＝×＋×＝－.4．若α，β∈，sin α＝，cos＝，则β－α＝(　　)A.   B.C.   D.解析：选B　由sin α＝，及α∈，得cos α＝，由cos＝sin β＝，及β∈，得cos β＝，所以sin(β－α)＝sin βcos α－cos βsin α＝×－×＝.又因为β－α∈，所以β－α＝.5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cos A，则△ABC为(　　)A．钝角三角形   B．直角三角形C．锐角三角形   D．等边三角形解析：选A　根据正弦定理得＝<cos A，即sin C<sin Bcos A.∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin(A＋B)<sin Bcos A，整理得sin Acos B<0.又三角形中sin A>0，∴cos B<0，<B<π，∴△ABC为钝角三角形．6．(2018·南昌一模)已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)的150千米处，以v千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)的200千米处，若cos α＝cos β，则v＝(　　)A．60   B．80C．100   D．125 解析：选C　如图，台风中心为B,2.5小时后到达点C，则在△ABC中，ABsin α＝ACsin β，即sin α＝sin β，又cos α＝cos β，∴sin2α＋cos2α＝sin2β＋cos2β＝1＝sin2β＋cos2β，∴sin β＝cos β，∴sin β＝，cos β＝，∴sin α＝，cos α＝，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝0，∴α＋β＝，∴BC2＝AB2＋AC2，∴(2.5v)2＝1502＋2002，解得v＝100，故选C.二、填空题7．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.解析：∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，∴sin(α＋β)＝－.答案：－8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－2bcsin A，则C等于________．解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，所以b2＋c2－2bccos A＝3b2＋3c2－2bcsin A，即sin A－cos A＝，2sin＝≥2，因此b＝c，A－＝⇒A＝，所以C＝＝.答案：9．(2018·长春质检)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积S＝b2sin A，角A的平分线AD交BC于点D，AD＝，a＝，则b＝________.解析：由面积公式S＝bcsin A＝b2sin A，可得c＝2b，即＝2.由a＝，并结合角平分线定理可得，BD＝，CD＝，在△ABC中，由余弦定理得cos B＝，在△ABD中，cos B＝，即＝，化简得b2＝1，解得b＝1.答案：1三、解答题10．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos ∠ADB；(2)若DC＝2，求BC.解：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin ∠ADB＝.由题设知，∠ADB<90°，所以cos ∠ADB＝ ＝.(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC＝sin ∠ADB＝.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos ∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，所以BC＝5.11．(2018·昆明调研)在△ABC中，AC＝2，BC＝6，∠ACB＝150°.(1)求AB的长；(2)延长BC至D，使∠ADC＝45°，求△ACD的面积．解：(1)由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，得AB2＝12＋36－2×2×6cos 150°＝84，所以AB＝2.(2)因为∠ACB＝150°，∠ADC＝45°，所以∠CAD＝150°－45°＝105°，由正弦定理＝，得CD＝，又sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°·cos 45°＋cos 60°·sin 45°＝，所以CD＝3＋，又∠ACD＝180°－∠ACB＝30°，所以S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝×2×(3＋)×＝(＋1)．12．已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－.(1)求函数y＝f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝7，若锐角A满足f＝，且sin B＋sin C＝，求bc的值．解：(1)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，因此f(x)的最小正周期为T＝＝π.由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．(2)由f＝2sin＝2sin A＝，且A为锐角，所以A＝.由正弦定理可得2R＝＝＝，sin B＋sin C＝＝，则b＋c＝×＝13，所以cos A＝＝＝，所以bc＝40.B组——大题专攻补短练 1．(2018·天津五区县联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且8 sin2－2cos 2C＝7.(1)求tan C的值；(2)若c＝，sin B＝2sin A，求a，b的值．解：(1)在△ABC中，因为A＋B＋C＝π，所以＝－，则sin＝cos.由8sin2－2cos 2C＝7，得8cos2－2cos 2C＝7，所以4(1＋cos C)－2(2cos2C－1)＝7，即(2cos C－1)2＝0，所以cos C＝.因为0＜C＜π，所以C＝，于是tan C＝tan＝.(2)由sin B＝2sin A，得b＝2a.①又c＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos，即a2＋b2－ab＝3.②联立①②，解得a＝1，b＝2.2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足a2＋c2－b2＋2bccos A－4c＝0，且ccos A＝b(1－cos C)．(1)求c的值及判断△ABC的形状；(2)若C＝，求△ABC的面积．解：(1)由a2＋c2－b2＋2bccos A－4c＝0及正弦定理得a2＋c2－b2＋2bc·－4c＝0，整理，得c＝2.由ccos A＝b(1－cos C)及正弦定理，得sin Ccos A＝sin B(1－cos C)，即sin B＝sin Ccos A＋sin Bcos C＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin Bcos C＝sin Acos C，故cos C＝0或sin A＝sin B.当cos C＝0时，C＝，故△ABC为直角三角形；当sin A＝sin B时，A＝B，故△ABC为等腰三角形．  (2)由(1)知c＝2，A＝B，则a＝b，因为C＝，所以由余弦定理，得4＝a2＋a2－2a2cos ，解得a2＝8＋4，所以△ABC的面积S＝a2sin＝2＋.3．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S＝ accos B.(1)若c＝2a，求角A，B，C的大小；(2)若a＝2，且≤A≤，求边c的取值范围．解：由已知及三角形面积公式得S＝acsin B＝accos B，化简得sin B＝cos B，即tan B＝，又0<B<π，∴B＝.(1)法一：由c＝2a及正弦定理得，sin C＝2sin A，又∵A＋C＝，∴sin＝2sin A，化简可得tan A＝，而0<A<，∴A＝，C＝.法二：由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－2a2＝3a2，∴b＝a，∴a∶b∶c＝1∶∶2，∴A＝，C＝.(2)由正弦定理得，＝＝，即c＝＝，由C＝－A，得c＝＝＝＝＋1.又由≤A≤，知1≤tan A≤，∴2≤c≤＋1，故边c的取值范围为[2，＋1]．4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.(1)求c的值；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解：(1)因为sin A＋cos A＝0，所以sin A＝－cos A，所以tan A＝－.因为A∈(0，π)，所以A＝.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，代入a＝2，b＝2得c2＋2c－24＝0，解得c＝4或c＝－6(舍去)，所以c＝4.(2)由(1)知c＝4.因为c2＝a2＋b2－2abcos C，所以16＝28＋4－2×2×2×cos C，所以cos C＝，所以sin C＝，所以tan C＝.在Rt△CAD中，tan C＝，所以＝，即AD＝.即S△ADC＝×2×＝，由(1)知S△ABC＝bcsin A＝×2×4×＝2，所以S△ABD＝S△ABC－S△ADC＝2－＝.