2020年高考数学理科一轮复习讲义：第2章函数、导数及其应用第4讲

第4讲　二次函数与幂函数

[考纲解读]　1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质，能利用二次函数、二次方程与二次不等式之间的关系解决简单问题．(重点、难点)

2.掌握幂函数的图象和性质，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况．(重点)

[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2020年高考对二次函数可能会直接考查，也可能会与其他知识相结合进行考查，考查三个二次之间的关系、函数最值的求解、图象的判断等．在解答题中也可能会涉及二次函数．幂函数的考查常与其他知识结合，比较大小、图象及性质的应用为重点命题方向.

1．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．

③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

(2)二次函数的图象和性质

续表

2．幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．

(2)常见的5种幂函数的图象

(3)常见的5种幂函数的性质

1．概念辨析

(1)函数y＝2x是幂函数．(　　)

(2)当α<0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．(　　)

(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　)

(4)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．小题热身

(1)若a<0，则0.5a,5a,0.2a的大小关系是(　　)

A．0.2a<5a<0.5a   B．5a<0.5a<0.2a

C．0.5a<0.2a<5a   D．5a<0.2a<0.5a

答案　B

解析　因为a<0，所以函数y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，又因为0.2<0.5<5，所以0.2a>0.5a>5a，即5a<0.5a<0.2a.

(2)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则函数的解析式为________．

答案　f(x)＝x

解析　设f(x)＝xα，因为函数f(x)的图象过点(2，)，所以＝2α，即2＝2α，所以α＝，所以f(x)＝x.

(3)若二次函数y＝－2x2－4x＋t的图象的顶点在x轴上，则t的值是________．

答案　－2

解析　y＝－2x2－4x＋t＝－2(x2＋2x)＋t＝－2[(x＋1)2－1]＋t＝－2(x＋1)2＋2＋t.

因为此函数的图象的顶点(－1,2＋t)在x轴上，所以2＋t＝0，所以t＝－2.

(4)函数f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤3)的值域是________．

答案　[－3,1]

解析　因为f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，所以f(x)在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，又因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－3，所以函数f(x)的值域为[－3,1]．

题型 　幂函数的图象与性质

1．已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则f(2)－f(1)＝(　　)

A．3  B．1－  C.－1  D．1

答案　C

解析　设f(x)＝xα，因为函数f(x)的图象经过点(9,3)，所以3＝9α，解得α＝.所以f(x)＝x.所以f(2)－f(1)＝－1.

2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　)

A．d>c>b>a  B．a>b>c>d

C．d>c>a>b  D．a>b>d>c

答案　B

解析　观察图象联想y＝x2，y＝x，y＝x－1在第一象限内的图象，可知c<0，d<0,0<b<1<a.

由图象可知2c>2d，所以c>d.

综上知a>b>c>d.

3．若(2m＋1) >(m2＋m－1) ，则实数m的取值范围是(　　)

A.   B.

C．(－1,2)   D.

答案　D

解析　因为函数y＝x在[0，＋∞)是增函数，

且(2m＋1) >(m2＋m－1) ，

所以解得≤m<2.

1．求幂函数的解析式

幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．

2．幂函数的指数与图象特征的关系

当α≠0,1时，幂函数y＝xα在第一象限内的图象特征：

3．幂函数单调性的应用

在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2＋m－1)·x－5m－3为减函数，则实数m的值为(　　)

A．－2   B．1

C．1或－2  D．m≠

答案　B

解析　由题意得解得m＝1.

2．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　)

A．b<a<c  B．a<b<c

C．b<c<a  D．c<a<b

答案　A

解析　因为a＝2＝4，c＝25＝5，而函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以3<4<5，即b<a<c，故选A.

题型 　求二次函数的解析式

已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．

解　解法一：(利用二次函数的一般式)

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

由题意得解得

故所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

解法二：(利用二次函数的顶点式)

设f(x)＝a(x－m)2＋n.

∵f(2)＝f(－1)，

∴抛物线的对称轴为x＝＝.

∴m＝，又根据题意函数有最大值8，

∴n＝8，

∴y＝f(x)＝a2＋8.

∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，

解得a＝－4，

∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.

解法三：(利用两根式)

由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，

故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，

即f(x)＝ax2－ax－2a－1.

又函数有最大值8，

∴＝8.

解得a＝－4或a＝0(舍去)，

故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

条件探究1　将举例说明中的“f(2)＝－1，f(－1)＝－1”改为“与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)”，其他条件不变，如何求解？

解　设f(x)＝ax(x＋2)．

因为函数f(x)的最大值为8，

所以a<0，且f(x)max＝f(－1)＝－a＝8，所以a＝－8，

所以f(x)＝－8x(x＋2)＝－8x2－16x.

条件探究2　将举例说明中条件变为：二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，在x轴上截得的线段长为2，且对∀x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，试确定f(x)的解析式．

解　因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，

所以f(x)的对称轴为x＝2.

又因为f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，

所以f(x)＝0的两根为1和3.

设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．

又因为f(x)的图象过点(4,3)，所以3a＝3，a＝1.

所以f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，

即f(x)＝x2－4x＋3.

求二次函数解析式的方法

二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足①不等式f(x)＋2x>0的解集为{x|1<x<3}，②方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实数根，试确定f(x)的解析式．

解　因为f(x)＋2x>0的解集为(1,3)，

设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，

所以f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.

由方程f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.

因为方程有两个相等的实数根，

所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，

解得a＝1或a＝－.由于a<0，舍去a＝1.

所以f(x)＝－x2－x－.

题型 　二次函数的图象与性质

角度1　二次函数的图象

1．(2019·重庆五中模拟)一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是(　　)

答案　C

解析　若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，故排除B，选C.

角度2　二次函数的单调性

2．(2019·河南中原名校联考)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　因为函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，

当a≠0时，a须满足

解得0<a≤；

当a＝0时，f(x)＝－12x＋5在(－∞，3)上是减函数．

综上知，a的取值范围是.

角度3　二次函数的最值

3．(2018·浙江杭州模拟)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0,1]内的最大值为－5，则a的值为(　　)

A.   B．1或

C．－1或   D．－5或

答案　D

解析　f(x)＝－42－4a，对称轴为直线x＝.

①当≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上递增，

∴ymax＝f(1)＝－4－a2.令－4－a2＝－5，得a＝±1(舍去)．

②当0<<1，即0<a<2时，ymax＝f＝－4a.令－4a＝－5，得a＝.

③当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上递减，

∴ymax＝f(0)＝－4a－a2.

令－4a－a2＝－5，

解得a＝－5或a＝1(舍去)．

综上所述，a＝或－5.故选D.

角度4　与二次函数有关的恒成立问题

4．(1)(2018·武邑调研)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－)

B．(－，0)

C．(－∞，0)∪(，＋∞)

D．(－∞，－)∪(，＋∞)

(2)当x∈(1,3)时，若不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．

答案　(1)A　(2)(－∞，－5]

解析　(1)当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝x3，∴f(x)＝x3(x∈R)，易知f(x)在R上是增函数，结合f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立，即mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立，故有解得m∈(－∞，－)．

(2)设f(x)＝x2＋mx＋4.

因为x∈(1,3)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，

所以即

解得m≤－5，

所以m的取值范围是(－∞，－5]．

1．识别二次函数图象应学会“三看”

2．研究二次函数单调性的思路

(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．

(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆，即区间A一定在函数图象对称轴的左侧(右侧)．如举例说明2.

3．二次函数最值问题的解法

抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．如举例说明3.

4．与二次函数有关的不等式恒成立的条件

(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是

(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是如举例说明4(1)．

(3)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

(4)f(x)＝ax2＋bx＋c<0(a>0)在(m，n)上恒成立⇔如举例说明4(2)．

(5)f(x)＝ax2＋bx＋c>0(a<0)在[m，n]上恒成立⇔　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2019·郑州模拟)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　)

答案　A

解析　当0<a<1时，y＝logax为减函数，y＝(a－1)x2－x开口向下，其对称轴为x＝<0，排除C，D；当a>1时，y＝logax为增函数，y＝(a－1)x2－x开口向上，其对称轴为x＝>0，排除B.故选A.

2．(2018·四川成都七中模拟)函数f(x)＝ 的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，－2]   B．(－∞，1]

C．[1，＋∞)   D．[4，＋∞)

答案　D

解析　由x2－2x－8≥0得x≥4或x≤－2，

令x2－2x－8＝t，则y＝为增函数，

∴t＝x2－2x－8在[4，＋∞)上的增区间是所求函数的单调递增区间，

∴所求函数的单调递增区间为[4，＋∞)．

3．(2019·陕西西安模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)   B．(－1,2]

C．[－1,2]   D．[2,5]

答案　C

解析　∵f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，

∴当x＝2时，f(2)＝4，

由f(x)＝－x2＋4x＝－5，解得x＝5或x＝－1，

∴要使函数在[m,5]上的值域是[－5,4]，则－1≤m≤2.

4．已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．

答案　

解析　2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．

当x＝0时，－3<0，成立；

当x≠0时，a<2－，

因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，

当x＝1时，右边取最小值，∴a<.

综上，实数a的取值范围是.