2020年高考数学理科一轮复习讲义：第1章集合与常用逻辑用语第2讲

第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件

[考纲解读]　1.搞清四种命题的判断及其关系，掌握命题的否定与否命题的区别．(重点)

2.熟练掌握充要条件的判断，并能根据充要条件确定参数的取值范围．(重点、难点)

[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点．预测2020年高考对命题及充要条件的判断为必考内容，考查知识面比较广泛，以数列、向量、三角函数、立体几何、解析几何等基本概念为命题方向．试题难度以中、低档题型为主，且以客观题的形式进行考查.

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件

1．概念辨析

(1)“x－3>0”是命题．(　　)

(2)一个命题非真即假．(　　)

(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.(　　)

(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√

2．小题热身

(1)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是(　　)

A．若x<y，则x2<y2  B．若x≤y，则x2≤y2

C．若x>y，则x2>y2  D．若x≥y，则x2≥y2

答案　B

解析　“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．

(2)对于任意两个集合A，B，“x∈A∩B”是“x∈A”的(　　)

A．充分条件  B．必要条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　∵(A∩B)⊆A，∴x∈A∩B⇒x∈A，

∴“x∈A∩B”是“x∈A”的充分条件．

(3)“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　B

解析　原命题是真命题．

逆命题：“若ac2≤bc2，则a≤b”是假命题．

否命题：“若a>b，则ac2>bc2”是假命题．

逆否命题：“若ac2>bc2，则a>b”是真命题．

所以四个命题中真命题有2个．

(4)“sinα>0”是“α是第一象限角”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　sin＝1>0，但不是第一象限角，

所以sinα>0  α是第一象限角，

α是第一象限角⇒sinα>0，

所以“sinα>0”是“α是第一象限角”的必要不充分条件．

题型 　四种命题及其关系

1．命题“已知a>1，若x>0，则ax>1”的否命题为(　　)

A．已知0<a<1，若x>0，则ax>1

B．已知a>1，若x≤0，则ax>1

C．已知a>1，若x≤0，则ax≤1

D．已知0<a<1，若x≤0，则ax≤1

答案　C

解析　原命题的否命题为“已知a>1，若x≤0，则ax≤1”．

2．(2018·黄冈调研)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(　　)

A．3  B．2  C．1  D．0

答案　C

解析　因为原命题为真命题，所以它的逆否命题也是真命题．它的逆命题是“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，是假命题；所以原命题的否命题也是假命题．所以这三个命题中，真命题有1个．

3．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是(　　)

A．原命题真，逆命题假

B．原命题假，逆命题真

C．原命题与逆命题均为真命题

D．原命题与逆命题均为假命题

答案　A

解析　原命题的逆否命题是“若a，b都小于1，则a＋b<2”，此命题是真命题，故原命题是真命题；原命题的逆命题是“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”是假命题，如a＝－10，b＝2，但a＋b＝－8<2.

1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项

(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式．

(2)若命题有大前提，需保留大前提．如举例说明1中，“已知a>1”是大前提．

(3)注意一些常见词语及其否定表示：

如举例说明3中“a，b中至少有一个不小于1”的否定是“a，b都小于1”．

2．判断命题真假的两种方法

(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．

(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2018·河北承德模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是(　　)

①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．

A．①③  B．②  C．②③  D．①②③

答案　A

解析　由题意得，命题α与命题β互为否命题，命题α与命题γ互为逆否命题．命题β与命题γ互为逆命题．故①③正确，②错误．

2．原命题为“若<an，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)

A．真、真、真  B．假、假、真

C．真、真、假  D．假、假、假

答案　A

解析　若<an，则an＋1<an，n∈N*，则{an}为递减数列，由此可知原命题为真命题；原命题的否命题为“若≥an，n∈N*，则{an}不是递减数列”，若≥an，则an＋1≥an，则{an}不是递减数列，所以原命题的否命题是真命题．因为原命题与逆否命题同真同假，否命题与逆命题同真同假，所以原命题的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．

题型 　充分、必要条件的判断

角度1　定义法判断充分、必要条件

1．(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　)

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　|a－3b|＝|3a＋b|等价于|a－3b|2＝|3a＋b|2，即(a－3b)2＝(3a＋b)2，等价于a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b，又因为a，b为单位向量，所以a2＝1，b2＝1，所以1＋9－6a·b＝9＋1＋6a·b，即a·b＝0，等价于a⊥b.

所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．

角度2　集合法判断充分、必要条件

2．(2018·天津高考)设x∈R，则“<”是“x3<1”的(　　)

A．充分而不必要条件   B．必要而不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　解<得－<x－<，即0<x<1；解x3<1得x<1，因为(0,1)(－∞，1)，所以“<”是“x3<1”的充分不必要条件．

角度3　等价转化法判断充分、必要条件

3．已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由5x－6>x2得x2－5x＋6<0，解得2<x<3.

记A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x>1或x<－3}，则AB，

所以q是p的充分不必要条件，

所以綈p是綈q的充分不必要条件．

判断充分、必要条件的三种方法

1．对于直线m，n和平面α，β，m⊥α成立的一个充分条件是(　　)

A．m⊥n，n∥α   B．m∥β，β⊥α

C．m⊥β，n⊥β，n⊥α   D．m⊥n，n⊥β，β⊥α

答案　C

解析　对于选项C，因为m⊥β，n⊥β，所以m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故选C.

2．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，

所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1.

因为綈q⇒綈p，但綈p  綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，所以p是q的充分不必要条件．

3．(2017·天津高考)设θ∈R，则“＜”是“sinθ＜”的(　　)

A．充分而不必要条件   B．必要而不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　∵＜，∴－＜θ－＜，

即0＜θ＜.

显然0＜θ＜时，sinθ＜成立．

但sinθ＜时，由周期函数的性质知0＜θ＜不一定成立．

故0＜θ＜是sinθ＜的充分而不必要条件．故选A.

题型 　知充分、必要条件求参数的取值范围

1．已知集合A＝，B＝{x|(x－b)2<a}，若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则b的取值范围是________．

答案　(－2,2)

解析　由A＝＝{x|(x－1)(x＋1)<0}，得－1<x<1，当a＝1时，B＝{x|(x－b)2<1}＝{x|b－1<x<b＋1}，因为A∩B≠∅，所以解得－2<b<2.

2．已知条件p：≤－1，条件q：x2＋x<a2－a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是________．

答案　

解析　∵綈q的一个充分不必要条件是綈p，

即綈p是綈q的充分不必要条件，

∴p是q的必要不充分条件．

由p：≤－1得＋1≤0，≤0，

解得－3≤x<1，

记A＝{x|－3≤x<1}．

由q：x2＋x<a2－a得(x＋a)[x＋(1－a)]<0.

∵a>，∴－a<－(1－a)，

故解得－a<x<a－1，记B＝{x|－a<x<a－1}．

由p是q的必要不充分条件可得BA，

∴解得<a≤2.

条件探究1　举例说明2中的“充分不必要”改为“必要不充分”，其余不变，该如何求解？

解　∵綈q的一个必要不充分条件是綈p，

即綈p是綈q的必要不充分条件，

∴p是q的充分不必要条件．

∵p对应集合A＝{x|－3≤x<1}，

q对应集合B＝{x|－a<x<a－1}，其中a>，

∴AB，∴解得a>3.

条件探究2　举例说明2中“≤－1”改为“≤－1”，“綈p”改为“p”，其余不变，该如何求解？

解　由题意得，p是綈q的充分不必要条件．

由≤－1得≤0，解得6≤x<10.

∴p对应集合C＝{x|6≤x<10}．

又∵q对应集合B＝{x|－a<x<a－1}，

∴綈q对应集合∁RB＝{x|x≤－a或x≥a－1}，

其中a>，∴C∁RB，

∴或解得<a≤7.

1．知充分、必要条件求参数取值范围的步骤

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，如举例说明2中p对应的集合是q对应的集合的真子集．

(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

2．解题时的三个注意点

(1)注意充分条件、必要条件定义的直接应用．如举例说明1.

(2)看清“p是q的……条件”还是“p的……条件是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断．如举例说明2.

(3)要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍．如举例说明2.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2019·广州模拟)已知p：(x＋3)(x－1)>0，q：x>a2－2a－2，若綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－1，＋∞)   B．[3，＋∞)

C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)   D．[－1,3]

答案　C

解析　由p：(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1，要使得綈p是綈q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，即q⇒p，p  q．所以a2－2a－2≥1，解得a≤－1或a≥3，故选C.

2．(2018·河北保定模拟)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．

答案　[0,3]

解析　由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，

所以P＝{x|－2≤x≤10}．

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

则解得0≤m≤3.

所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．

思想方法　等价转化思想在充要条件中的应用

[典例]　已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．

答案　[9，＋∞)

解析　∵綈p是綈q的必要不充分条件，

∴q是p的必要不充分条件．

即p是q的充分不必要条件，

由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，

得1－m≤x≤1＋m(m>0)．

∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．

设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．

又由≤2，得－2≤x≤10，

∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}．

设N＝{x|－2≤x≤10}．

由p是q的充分不必要条件知，NM，

∴或解得m≥9.

∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．

思想方法　等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题.典例中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化.