2020年高考数学理科一轮复习讲义：第2章函数、导数及其应用第5讲

第5讲　指数与指数函数

[考纲解读]　1.理解有理指数幂的含义，掌握指数幂的运算，并能通过具体实例了解实数指数幂的意义．

2.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性并掌握指数函数的图象及其通过的特殊点．(重点、难点)

3.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景，并体会指数函数是一类重要的函数模型．

[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的命题热点．预测2020年高考主要与函数的图象、最值、比较大小、指数函数图象过定点为命题方向；也有可能与其他知识相结合进行考查.

1．根式

2．有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①正数的正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*且n>1)．

②正数的负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*且n>1)．

③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的性质

①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；

②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

3．指数函数的图象与性质

1．概念辨析

(1)与()n都等于a(n∈N*)．(　　)

(2)[(－2)6] ＝(－2)6×＝(－2)3＝－8.(　　)

(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　)

(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．小题热身

(1)函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)

答案　C

解析　函数y＝ax－a的图象过点(1,0)，排除A，B，D.

(2)化简 的结果是________．

答案　－

解析　由题意得x<0，所以＝＝＝＝－.

(3)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点A，则f(－1)＝________.

答案　

解析　依题意可知a2＝，解得a＝，

所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝.

(4)若指数函数f(x)＝(a＋2)x为减函数，则实数a的取值范围为________．

答案　(－2，－1)

解析　因为指数函数f(x)＝(a＋2)x为减函数，所以0<a＋2<1，解得－2<a<－1.所以实数a的取值范围是(－2，－1)．

题型 　指数幂的化简与求值

1．求值：(0.064) －0＋[(－2)3] ＋16－0.75＋(0.01) ＝________.

答案　

解析　(0.064) －0＋[(－2)3] ＋16－0.75＋(0.01)

＝－1＋(－2)－4＋(24) ＋

＝－1＋＋2×4＋

＝－1－1＋＋2－3＋

＝－1＋＋＋

＝＝.

答案　

解析　

3．若x＋x＝3，则的值为________．

答案　

解析　由x＋x＝3，得x＋x－1＋2＝9，所以x＋x－1＝7，所以x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47.因为x＋x＝(x＋x)3－3(x＋x)＝27－9＝18，所以原式＝＝.

指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．如举例说明2.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．化简a·＋()5＋的值为________．

答案　－

解析　由题意，得a<0，

所以原式＝a·＋a＋|a|

＝a··＋a－a＝－.

2．(2018·兰州一中模拟)已知＋b＝1，则＝________.

答案　3

解析　

题型 　指数函数的图象及应用

1．(2018·东北三校联考)函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是(　　)

A．y＝   B．y＝|x－2|

C．y＝2x－1   D．y＝log2(2x)

答案　A

解析　函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点A(1,1)，经检验知，只有选项A中函数的图象不经过点A.

2．(2018·青岛模拟)函数f(x)＝21－x的大致图象为(　　)

答案　A

解析　函数f(x)＝21－x在R上是减函数，其图象过点(0,2)，故选A.

条件探究1　举例说明2中函数改为f(x)＝2|x－1|，其图象是(　　)

答案　B

解析　f(x)＝2|x－1|＝

所以f(x)在(－∞，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故排除A，C，D.

条件探究2　举例说明2中函数改为y＝21－x＋m，若此函数的图象不经过第一象限，则m的取值范围如何？

解　因为y＝21－x＋m＝x－1＋m，函数y＝x－1的图象如图所示，

则要使函数y＝21－x＋m的图象不经过第一象限，则m≤－2.

(1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.如举例说明1.

(2)指数函数图象的应用

①已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．

②对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

(3)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系

如图所示，其中0<c<d<1<a<b，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．函数y＝3x，y＝5x，y＝x在同一坐标系中的图象是(　　)

答案　B

解析　沿直线x＝1，自下而上先后为y＝x，y＝3x，y＝5x的图象．故选B.

2．若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．

答案　(－∞，0]

解析　函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]．

题型 　指数函数的性质及其应用

角度1　比较指数幂的大小

1．设a＝40.8，b＝80.46，c＝－1.2，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a>b>c  B．b>a>c  C．c>a>b  D．c>b>a

答案　A

解析　因为a＝(22)0.8＝21.6，b＝(23)0.46＝21.38，c＝(2－1)－1.2＝21.2，

函数y＝2x在R上单调递增，且1.2<1.38<1.6，

所以21.2<21.38<21.6，即c<b<a.

角度2　解指数方程或不等式

2．(2018·福州模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．

答案　

解析　当1－a>0，即a<1时，41－a＝2a－(a－1)，解得a＝；当1－a<0，即a>1时，2a－(1－a)＝4a－1，此方程无解．综上所述，a＝.

3．不等式2－x2＋2x>x＋4的解集为________．

答案　{x|－1<x<4}

解析　∵2－x2＋2x >x＋4，

∴ x2－2x >x＋4，

∴x2－2x<x＋4，∴x2－3x－4<0，

解得－1<x<4.

角度3　探究指数型函数的性质

4．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.

(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值；

(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

解　(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，

令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7.

则u在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝u在R上单调递减，

所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．

(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，

因此必有解得a＝1，

即当f(x)有最大值3时，a的值为1.

(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.

1．比较幂值大小的常见类型及解决方法

2．利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式的方法

先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．如举例说明3.

3．两类复合函数的最值(或值域)问题

(1)形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且a≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t＝ax转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围．

(2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)型函数最值问题，可令t＝f(x)，则y＝at，先由x的取值范围求t的取值范围，再求y＝at的最值．如举例说明4.

4．对于形如y＝af(x)的函数的单调性

(1)若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；

(2)若0<a<1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调减(增)区间．如举例说明4(1)．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>c  B．a>c>b

C．c>a>b  D．b>c>a

答案　A

解析　∵指数函数y＝0.4x为减函数，0.2<0.6，

∴0.40.2>0.40.6，∴b>c.

∵幂函数y＝x0.2为增函数，2>0.4，

∴20.2>0.40.2，

∴a>b，∴a>b>c.

2．函数f(x)＝－x2＋2x＋1的单调减区间为________．

答案　(－∞，1]

解析　设u＝－x2＋2x＋1，

因为y＝u在R上为减函数，

所以函数f(x)＝－x2＋2x＋1的单调减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调增区间．

又u＝－x2＋2x＋1的单调增区间为(－∞，1]，

所以f(x)的单调减区间为(－∞，1]．

3．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．

答案　(－3,1)

解析　当a<0时，不等式f(a)<1可化为a－7<1，

即a<8，即a<－3，

∴a>－3.又a<0，∴－3<a<0.

当a≥0时，不等式f(a)<1可化为<1.

∴0≤a<1，

综上，a的取值范围为(－3,1)．