2020年高考数学理科一轮复习讲义：第3章三角函数、解三角形第5讲第2课时

第2课时　简单的三角恒等变换

题型 　三角函数式的化简与证明

1．化简：(0<θ<π)．

解　由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos>0，

∴＝＝2cos.

又(1＋sinθ＋cosθ)

＝

＝2cos＝－2coscosθ，

故原式＝＝－cosθ.

2．证明：cosθ－cosφ＝－2sinsin.

证明　因为θ＝＋，φ＝－，

所以cosθ－cosφ＝cos－cos

＝coscos－sinsin－coscos－sin·sin＝－2sinsin.

1．三角函数式的化简遵循的三个原则

(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．

(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．

(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．

2．三角恒等式的证明方法

(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．

(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．

(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立.

1.＋2的化简结果为________．

答案　－2sin4

解析　原式＝＋2

＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，因为<4<，

所以cos4<0，且sin4<cos4，

所以原式＝－2cos4－2(sin4－cos4)＝－2sin4.

2.证明：sinα－sinβ＝2sincos.

证明　因为α＝＋，β＝－，

所以sinα－sinβ＝sin－sin

＝sincos＋cossin

－

＝2sincos.

题型 　三角函数式的求值

1.(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝，则|a－b|＝(　　)

A.  B.  C.  D．1

答案　B

解析　根据题设条件，可知O，A，B三点共线，从而得到b＝2a，因为cos2α＝2cos2α－1＝2·2－1＝，解得a2＝，即|a|＝，所以|a－b|＝|a－2a|＝.故选B.

2.若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)

A.   B.

C.或   D.或

答案　A

解析　∵α∈，∴2α∈，

∵sin2α＝，∴2α∈.

∴α∈且cos2α＝－，

又∵sin(β－α)＝，β∈，

∴β－α∈，cos(β－α)＝－，

∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]

＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α

＝×－×＝，

又α＋β∈，∴α＋β＝.

3.(2018·太原质检)[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·＝________.

答案　

解析　因为＝sin80°＝cos10°，

所以原式＝[2sin(60°－10°)cos10°＋sin10°(cos10°＋sin10°)]

＝

＝(cos210°＋sin210°)

＝×＝.

1.三角函数给角求值问题的解题策略

一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．

2．三角函数给值求角问题的解题策略

对于给值求角问题，通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：

(1)已知正切函数值，选正切函数．

(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．

若角的范围是，选正弦或余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好.

1.已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>2)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈，则α＋β＝________.

答案　－

解析　由根与系数的关系且a>2得，tanα＋tanβ＝－3a<0，tanαtanβ＝3a＋1>0.所以tanα<0，tanβ<0.

又α，β∈，则α，β∈，于是α＋β∈(－π，0)，

tan(α＋β)＝＝＝1，

又α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.

2.计算：cos20°cos40°cos60°cos80°＝________.

答案　

解析　原式＝cos20°cos40°cos80°

＝＝

＝＝.

题型 　三角恒等变换的综合应用

角度1　研究三角函数的图象变换问题

1.(2019·湖南四校联考)函数y＝sinx－cosx的图象可由函数y＝sinx＋cosx的图象至少向右平移的单位长度是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　因为y＝sinx－cosx＝2sin

＝2sin，

y＝sinx＋cosx＝2sin，

所以函数y＝sinx＋cosx的图象至少向右平移个单位长度才能得到函数y＝sinx－cosx的图象.

角度2　研究三角函数的性质问题

2.(2018·北京高考)已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．

解　(1)f(x)＝＋sin2x

＝sin2x－cos2x＋

＝sin＋，

所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.

(2)由(1)知f(x)＝sin＋.

因为x∈，

所以2x－∈.

要使f(x)在区间上的最大值为，

即sin在区间上的最大值为1，

只需2m－≥，即m≥，

所以m的最小值为.

角度3　解决实际问题

3．如图，在矩形OABC中，AB＝1，OA＝2，以B为圆心，BA为半径在矩形内部作弧，点P是弧上一动点，PM⊥OA，垂足为M，PN⊥OC，垂足为N，求四边形OMPN的周长的最小值．

解　连接BP，设∠CBP＝α，其中0≤α＜，

则PM＝1－sinα，PN＝2－cosα，

则周长C＝6－2(sinα＋cosα)

＝6－2sin，

因为0≤α<，所以≤α＋<，

故当α＋＝，即α＝时，周长C有最小值6－2.

1.三角恒等变换在研究三角函数性质中的两个注意点

(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再求解．要注意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式．

(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调区间、最值与周期．

2．三角函数应用题的处理方法

(1)结合具体图形引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行化简，解决最优化问题．

(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的范围，最后得出结论并回答问题.

1.(2018·静海区模拟)为了得到函数y＝sinxcosx＋cos2x的图象，只需将函数y＝sin2x的图象(　　)

A.向左平移个长度单位

B.向右平移个长度单位

C.向左平移个长度单位

D.向右平移个长度单位

答案　A

解析　函数y＝sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin＝sin2.

只需将函数y＝sin2x的图象向左平移个长度单位，即可得到函数y＝sinxcosx＋cos2x的图象.

2．如图是半径为1的半圆，且四边形PQRS是半圆的内接矩形，设∠SOP＝α，求α为何值时矩形的面积最大，并求出最大值．

解　因为∠SOP＝α，所以PS＝sinα，SR＝2cosα，故S矩形PQRS＝SR·PS＝2cosαsinα＝sin2α，故当α＝时，矩形的面积有最大值1.

3.(2018·合肥模拟)已知函数f(x)＝sinx·cosx－cos.

(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；

(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为g(x)．当x∈时，求函数g(x)的值域．

解　(1)f(x)＝sinxcosx－cos＝sin2x－cos2x＝sin.

令2x－＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋.

∴函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.

(2)易知g(x)＝sin.∵x∈，

∴2x－∈，

∴sin∈，

∴g(x)＝sin∈，即当x∈时，函数g(x)的值域为.