2020年高考数学理科一轮复习讲义：第3章三角函数、解三角形第6讲

第6讲　正弦定理和余弦定理

1.正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则

2.在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况

3.三角形中常用的面积公式

(1)S＝ah(h表示边a上的高)．

(2)S＝bcsinA＝acsinB＝absinC.

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．

1.概念辨析

(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立．(　　)

(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.(　　)

(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)

(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．(　　)

答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×

2.小题热身

(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝(　　)

A.  B.  C．2  D．3

答案　D

解析　由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.

(2)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝＝，则该三角形的形状是(　　)

A.直角三角形   B．等腰三角形

C.等边三角形   D．钝角三角形

答案　A

解析　因为＝，由正弦定理得＝，所以sin2A＝sin2B.由＝，可知a≠b，所以A≠B.又A，B∈(0，π)，所以2A＝180°－2B，即A＋B＝90°，所以C＝90°，于是△ABC是直角三角形．

(3)在△ABC中，a＝3，b＝2，cosC＝，则△ABC的面积为________．

答案　4

解析　∵cosC＝，0<C<π，∴sinC＝，

∴S△ABC＝absinC＝×3×2×＝4.

(4)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.

答案　1

解析　因为a＝4，b＝5，c＝6，所以cosA＝＝＝，所以＝＝＝＝1.

题型 　利用正、余弦定理解三角形

角度1　用正弦定理解三角形　　　　　　　　　　　　　　

1.(1)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________；

(2)(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.

答案　(1)1　(2)75°

解析　(1)因为sinB＝且B∈(0，π)，

所以B＝或B＝，

又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝，

又a＝，由正弦定理得＝，

即＝，解得b＝1.

(2) 如图，由正弦定理，得

＝，

∴sinB＝.

又c＞b，∴B＝45°，

∴A＝180°－60°－45°＝75°.

角度2　用余弦定理解三角形

2.(1)在△ABC中，若b＝1，c＝，A＝，则cos5B＝(　　)

A.－   B.

C.或－1   D．－或0

(2)在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为(　　)

A.  B.  C.  D．3

答案　(1)A　(2)B

解析　(1)因为b＝1，c＝，A＝，

所以由余弦定理得

a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋3－2×1××＝1，

所以a＝1.

由a＝b＝1，得B＝A＝，

所以cos5B＝cos＝－cos＝－.

(2)由题意得cosA＝

＝＝，

∴sinA＝＝，

∴边AC上的高h＝ABsinA＝.

角度3　综合利用正、余弦定理解三角形

3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC－c＝2b.

(1)求角A的大小；

(2)若c＝，角B的平分线BD＝，求a.

解　(1)∵2acosC－c＝2b，由正弦定理得2sinAcosC－sinC＝2sinB,2sinAcosC－sinC＝2sin(A＋C)＝2sinAcosC＋2cosAsinC，

∴－sinC＝2cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA＝－，

又A∈(0，π)，∴A＝.

(2)在△ABD中，由正弦定理得，＝，

∴sin∠ADB＝＝.

又∠ADB∈(0，π)，A＝，

∴∠ADB＝，∴∠ABC＝，∠ACB＝，AC＝AB＝，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝()2＋()2－2××cos＝6，∴a＝.

用正弦、余弦定理解三角形的基本题型及解题方法

(1)已知两角和一边

①用三角形内角和定理求第三个角．

②用正弦定理求另外两条边．

(2)已知两边及其中一边所对的角

①用正弦定理(适用于优先求角的题)

以知a，b，A解三角形为例：

a．根据正弦定理，经讨论求B；

b．求出B后，由A＋B＋C＝180°，求出C；

c．再根据正弦定理＝，求出边c.

②用余弦定理(适用于优先求边的题)

以知a，b，A解三角形为例：

列出以边c为元的一元二次方程c2－(2bcosA)c＋(b2－a2)＝0，根据一元二次方程的解法，求边c，然后应用正弦定理或余弦定理，求出B，C.

(3)已知两边和它们的夹角

①用余弦定理求第三边．

②用余弦定理的变形或正弦定理求另外两角．

(4)已知三边

可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A＋B＋C＝180°，求出第三个角.

1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b，A＝2B，则cosB等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　因为a＝b，A＝2B，所以由正弦定理可得＝，所以＝，所以cosB＝.

2.(2018·和平区模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2－b2＝bc，且sinC＝2sinB，则角A的大小为________．

答案　

解析　由sinC＝2·sinB得c＝2b.

∴a2－b2＝bc＝·2b2，即a2＝7b2.

则cosA＝＝＝.

又A∈(0，π)．∴A＝.

3．如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________.

答案　

解析　在△ACD中，由余弦定理可得

cosC＝＝，

则sinC＝.

在△ABC中，由正弦定理可得＝，

则AB＝＝＝.

题型 　利用正、余弦定理判定三角形的形状

1.(2018·武汉调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cosA，则△ABC为(　　)

A.钝角三角形   B．直角三角形

C.锐角三角形   D．等边三角形

答案　A

解析　因为<cosA，所以c<bcosA，

由正弦定理得sinC<sinBcosA，

又A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin(A＋B)．

所以sinAcosB＋cosAsinB<sinBcosA，

所以sinAcosB<0，又sinA>0，

所以cosB<0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形.

2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)

A.直角三角形   B．等腰非等边三角形

C.等边三角形   D．钝角三角形

答案　C

解析　∵＝，∴＝，∴b＝c.

又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，

∴b2＋c2－a2＝bc，

∴cosA＝＝＝.

∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形．

条件探究1　把举例说明2中△ABC满足的条件改为“acosA＝bcosB”，判断△ABC的形状．

解　因为acosA＝bcosB，

所以sinAcosA＝sinBcosB，

所以sin2A＝sin2B，

又因为0<2A<2π，0<2B<2π，0<A＋B<π，

所以2A＝2B或2A＋2B＝π，

即A＝B或A＋B＝，

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．

条件探究2　把举例说明2中△ABC满足的条件改为“cos2＝”，判断△ABC的形状．

解　因为cos2＝，

所以(1＋cosB)＝，

在△ABC中，由余弦定理得

＋·＝.

化简得2ac＋a2＋c2－b2＝2a(a＋c)，

则c2＝a2＋b2，

所以△ABC为直角三角形.

1.应用余弦定理判断三角形形状的方法

在△ABC中，c是最大的边．

若c2<a2＋b2，则△ABC是锐角三角形；

若c2＝a2＋b2，则△ABC是直角三角形；

若c2＞a2＋b2，则△ABC是钝角三角形．

2．判断三角形形状的常用技巧

若已知条件中既有边又有角，则

(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．

(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.

1.若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC(　　)

A.一定是锐角三角形

B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形

D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

答案　C

解析　由正弦定理得，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，设a＝5t，b＝11t，c＝13t(t>0)，

则cosC＝＝<0，所以C是钝角，△ABC是钝角三角形.

2.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(　　)

A.锐角三角形   B．直角三角形

C.钝角三角形   D．不确定

答案　B

解析　根据正弦定理，由bcosC＋ccosB＝asinA得sinB·cosC＋sinCcosB＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，又因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sinA，所以sinA＝1，由0<A<π，得A＝.所以△ABC是直角三角形.

题型 　与三角形面积有关的问题

(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.

(1)求sinBsinC；

(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．

解　(1)由题设得acsinB＝，即csinB＝.

由正弦定理得sinCsinB＝.

故sinBsinC＝.

(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－，

即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.

由题意得bcsinA＝，a＝3，所以bc＝8.

由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，

即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝.

故△ABC的周长为3＋.

1.求三角形面积的方法

(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．

(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．

2．已知三角形的面积求边、角的方法

(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．

(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.

(2018·洛阳三模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinB＋(c－b)sinC＝asinA.

(1)求角A的大小；

(2)若sinBsinC＝，且△ABC的面积为2，求a.

解　(1)由bsinB＋(c－b)sinC＝asinA及正弦定理得

b2＋(c－b)c＝a2，即b2＋c2－bc＝a2，

所以＝cosA＝，所以A＝.

(2)由正弦定理＝＝，可得b＝，c＝，

所以S△ABC＝bcsinA＝···sinA

＝＝2.

又sinBsinC＝，sinA＝，∴a2＝2，解得a＝4.

  高频考点　用正弦、余弦定理进行边、角之间的转化

考点分析　在综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题时，常利用边、角之间的转化与化归的方法解决．

[典例1]　(2018·枣庄二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a2＋b2－c2)·(acosB＋bcosA)＝abc，若a＋b＝2，则c的取值范围为(　　)

A．(0,2)   B．[1,2)

C.   D．(1,2]

答案　B

解析　由正、余弦定理，得

2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC.即

2cosCsin(A＋B)＝sinC.

所以2cosCsinC＝sinC，因为sinC≠0，所以cosC＝.

又C∈(0，π)，所以C＝.

因为c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab，且

(a＋b)2≥4ab，所以ab≤1.

所以c2≥1，即c≥1，又c<a＋b＝2.

所以1≤c<2.

[典例2]　(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝________.

答案　

解析　解法一：由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得

2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.

∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．

又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.

∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.

又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.

∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，

∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝.

又0<B<π，∴B＝.

[典例3]　(2018·东北三省四市教研联合体模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，且2bcosB＝acosC＋ccosA.

(1)求B的大小；

(2)求△ABC面积的最大值．

解　(1)由正弦定理＝＝可得

2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA＝sinB，

∵sinB>0，故cosB＝，∵0<B<π，∴B＝.

(2)由b＝2，B＝及余弦定理可得ac＝a2＋c2－4，

由基本不等式可得ac＝a2＋c2－4≥2ac－4，ac≤4，

而且仅当a＝c＝2时，S△ABC＝acsinB取得最大值×4×＝，故△ABC的面积的最大值为.