2020年高考数学理科一轮复习讲义：第3章三角函数、解三角形第5讲第1课时

第5讲　简单的三角恒等变换

第1课时　两角和、差及倍角公式

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)C(α∓β)：cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ.

(2)S(α±β)：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.

(3)T(α±β)：tan(α±β)＝.

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)S2α：sin2α＝2sinαcosα.

(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

(3)T2α：tan2α＝

.

3.公式的常用变形

(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．

(2)cos2α＝，

sin2α＝.

(3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2，

sinα±cosα＝sin.

(4)asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝(a≠0)．

1.概念辨析

(1)公式C(α±β)，S(α±β)，S2α，C2α中的角α，β是任意的．(　　)

(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(　　)

(3)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小关系不确定．(　　)

(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．(　　)

(5)对任意角α都有1＋sin＝2.(　　)

答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√

2.小题热身

(1)若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin＝(　　)

A.－  B.  C．－  D.

答案　C

解析　因为cosα＝－，α是第三象限的角，

所以sinα＝－＝－，

所以sin＝sinαcos＋cosαsin

＝×＋×＝－.

(2)计算：cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝(　　)

A.sin(α＋2β)   B．sinα

C.cos(α＋2β)   D．cosα

答案　D

解析　cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.

(3)已知cosx＝，则cos2x＝(　　)

A.－  B.  C．－  D.

答案　D

解析　cos2x＝2cos2x－1＝2×2－1＝.

(4)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若tanα＝，则tan(α－β)的值为(　　)

A.0  B.  C.  D.

答案　D

解析　由角α与角β的始边相同，终边关于y轴对称可知tanα＝－tanβ.又tanα＝，所以tanβ＝－，

所以tan(α－β)＝＝＝，故选D.

题型 　两角和、差及倍角公式的直接应用

1.已知角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于y轴对称，且角α的终边与单位圆交于点P，则sin(α－β)＝________.

答案　－

解析　因为角α的终边与单位圆交于点P，

所以sinα＝，cosα＝.

因为角α与角β的终边关于y轴对称，

所以角β的终边与单位圆交于点Q，

所以sinβ＝，cosβ＝－，

所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－×＝－.

2.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan＝，则tanα＝________.

答案　

解析　tan＝＝＝，

解方程得tanα＝.

3.已知α∈，sinα＝，则cos的值为________．

答案　－

解析　因为α∈，sinα＝.

所以cosα＝－＝－.

所以sin2α＝2sinαcosα＝－，

cos2α＝cos2α－sin2α＝，

所以cos＝coscos2α＋sinsin2α

＝－×＋×＝－.

应用三角公式化简求值的策略

(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．

(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．

(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.

1.(2018·石家庄质检)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin2α的值为(　　)

A.－  B．－  C.  D.

答案　A

解析　∵sin(π－α)＝，∴sinα＝，又∵≤α≤π，

∴cosα＝－＝－，

∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.

2.(2018·上饶三模)由射线y＝x(x≥0)按逆时针方向旋转到射线y＝－x(x≤0)的位置所成的角为θ，则cosθ＝(　　)

A.－  B．±  C．－  D．±

答案　A

解析　设y＝x(x≥0)的倾斜角为α，则sinα＝，cosα＝，射线y＝－x(x≤0)的倾斜角为β，sinβ＝，cosβ＝－，∴cosθ＝cos(β－α)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝－.

3.若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则等于(　　)

A.5  B．－1  C．6  D.

答案　A

解析　由题意可得sinαcosβ＋cosαsinβ＝，

sinαcosβ－cosαsinβ＝，解得sinαcosβ＝，

cosαsinβ＝，∴＝5.

题型 　两角和、差及倍角公式的逆用和变形用

1.计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　－sin133°cos197°－cos47°cos73°

＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17°

＝sin(47°－17°)＝sin30°＝.

2.(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是(　　)

A.   B．1＋

C.2   D．2(tan18°＋tan27°)

答案　C

解析　(1＋tan18°)(1＋tan27°)

＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°

＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2.

3.已知sinα＋cosα＝，则cos4α＝________.

答案　

解析　由sinα＋cosα＝，得sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝，所以sin2α＝，从而cos4α＝1－2sin22α＝1－2×2＝.

条件探究1　将举例说明3的条件改为“sinα－cosα＝”，求cos4α.

解　因为sinα－cosα＝，

所以1－2sinαcosα＝，

所以sin2α＝2sinαcosα＝－，

所以cos4α＝1－2sin22α＝1－2×2＝－.

条件探究2　将举例说明3的条件改为“cos2＝，α∈(π，2π)”，求sinα＋cosα.

解　因为cos2＝

＝＝.所以sin2α＝>0，

又因为α∈(π，2π)，所以α∈，

所以sinα＋cosα<0，

(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋＝，

所以sinα＋cosα＝－.

1.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题

(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．

(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．

2．熟记三角函数公式的两类变式

(1)和差角公式变形

sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ，

cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ，

tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1∓tanαtanβ)．

(2)倍角公式变形

降幂公式cos2α＝，sin2α＝，

配方变形：1±sinα＝2,1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2.

1.若x∈[0，π]，sinsin＝coscos，则x的值是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　由已知得，coscos－sinsin＝cosx＝0.∵x∈[0，π]，∴x＝.

2.(2019·湖南郴州质检)已知x∈(0，π)，

sin＝cos2，则tanx＝(　　)

A.  B．－2  C.  D.

答案　D

解析　因为sin＝cos2，

所以cosx－sinx＝，

cosx－sinx＝1－sinx，解得cosx＝，

因为x∈(0，π)，所以sinx＝＝，

所以tanx＝＝＝.

3.化简：·＝________.

答案　

解析　原式＝tan(90°－2α)·＝·

＝·＝.

题型 　两角和、差及倍角公式的灵活应用

角度1　角的变换

1.(2018·南开区模拟)已知0<α＜<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.

(1)求sin2β的值；

(2)求cos的值．

解　(1)sin2β＝cos＝2cos2－1＝－.

(2)因为0<α<<β<π，所以<α＋β<，

所以sin>0，cos(α＋β)<0，

因为cos＝，sin(α＋β)＝，

所以sin＝，cos(α＋β)＝－，

所以cos＝cos＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin＝×＋×＝.

角度2　函数名称的变换

2.求值：(1)＝________；

(2)－sin10°＝________.

答案　(1)　(2)

解析　(1)＝

＝＝＝.

(2)原式＝－sin10°·

＝－sin10°·

＝－sin10°·

＝－2cos10°＝

＝

＝＝＝.

三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路

(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．

(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.

1.若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos等于(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　C

解析　∵0<α<，∴<α＋<.

∵cos＝，∴sin＝.

∵－<β<0，∴<－<.

∵cos＝，∴sin＝.

∴cos＝cos

＝coscos＋sinsin

＝×＋×＝.

2.(2018·吉林第三次调研)若sin＝，则cos2＝________.

答案　

解析　因为sin＝sin＝cos＝，所以cos2＝＝＝.

3.(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.

(1)求cos2α的值；

(2)求tan(α－β)的值．

解　(1)因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.

因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，

因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.

(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．

又因为cos(α＋β)＝－，

所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2.

因为tanα＝，所以tan2α＝＝－，

因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]

＝＝－.

  思想方法　三角恒等变换中的拆角、凑角思想

[典例1]　(2018·石嘴山一模)已知α满足sinα＝，那么sinsin的值为(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　D

解析　∵sin＝sin＝cos，

∴sinsin＝sincos＝sin＝cos2α＝(1－2sin2α)＝＝.

[典例2]　若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝________.

答案　

解析　因为tanα＝，tan(α＋β)＝，

所以tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.

方法指导　三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系.变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.