2020年高考数学理科一轮复习讲义：第7章立体几何第3讲

第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系

1．空间两条直线的位置关系

(1)位置关系分类：

(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

②范围：.

(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

2．空间直线与平面、平面与平面的位置关系

3．必记结论

(1)唯一性定理

①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

②过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

④过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

(2)异面直线的判定定理

平面外一点A与平面内一点B的连线与平面内不经过B点的直线互为异面直线．

1．概念辨析

(1)两两相交的三条直线最少可以确定三个平面．(　　)

(2)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　)

(3)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．(　　)

(4)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．小题热身

(1)对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l(　　)

A．平行 B．相交

C．垂直 D．互为异面直线

答案　C

解析　不论l∥α，l⊂α还是l与α相交，α内都存在直线m使得m⊥l.

(2)以下四个命题中，正确命题的个数是(　　)

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

A．0 B．1

C．2 D．3

答案　B

解析　①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故正确的个数为1.

(3)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　)

A．30° B．45°

C．60° D．90°

答案　C

解析　连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，

∴∠D1B1C＝60°.

(4)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________．

①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.

答案　③④

题型 　平面的基本性质

如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点．

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；

(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？

解　(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，得GH綊AD.

又BC綊AD，所以GH綊BC，所以四边形BCHG是平行四边形．

(2)由BE綊AF，G为FA中点，知BE綊GF，

所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG.

由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH.

所以EF与CH共面，

又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面．

结论探究　若举例说明中条件不变，证明：FE，AB，DC交于一点．

证明　由举例说明可知，四边形EBGF和四边形BCHG都是平行四边形，故可得四边形ECHF为平行四边形，

∴EC∥HF，且EC＝DF，∴四边形ECDF为梯形．

∴FE，DC交于一点，设FE∩DC＝M.

∵M∈FE，FE⊂平面BAFE，

∴M∈平面BAFE.同理M∈平面BADC.

又平面BAFE∩平面BADC＝BA，

∴M∈BA，∴FE，AB，DC交于一点．

1．证明点共面或线共面的常用方法

(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．

(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．如举例说明(2)．

(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．

2．证明空间点共线问题的方法

(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．

(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．

3．证明线共点问题的常用方法

先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．如举例说明中的结论探究．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：

(1)E，C，D1，F四点共面；

(2)CE，D1F，DA三线共点．

证明　(1)如图，连接EF，CD1，A1B.

∵E，F分别是AB，AA1的中点，

∴EF∥BA1.

又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，

∴E，C，D1，F四点共面．

(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，

∴CE与D1F必相交，

设交点为P，如图所示．

则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，

得P∈平面ABCD.

同理P∈平面ADD1A1.

又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，

∴P∈直线DA，

∴CE，D1F，DA三线共点．

题型　空间两直线的位置关系

1．(2018·金华模拟)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．

答案　②④

解析　在图①中，直线GH∥MN；

在图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉GH，因此直线GH与MN异面；

在图③中，连接GM，GM∥HN，因此GH与MN共面；

在图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，G∉MN，

因此GH与MN异面．

所以在图②④中GH与MN异面．

2．(2018·邯郸调研)在三棱锥S－ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是________．

答案　G1G2∥BC

解析　如图所示，连接SG1并延长交AB于M，连接SG2并延长交AC于N，连接MN.

由题意知SM为△SAB的中线，且SG1＝SM，SN为△SAC的中线，且SG2＝SN，

∴在△SMN中，＝，

∴G1G2∥MN，易知MN是△ABC的中位线，

∴MN∥BC，因此可得G1G2∥BC.

1．异面直线的判定方法

(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．

(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．

2．判定平行直线的常用方法

(1)三角形中位线的性质．

(2)平行四边形的对边平行．

(3)平行线分线段成比例定理．

(4)公理4.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是(　　)

A．MN与CC1垂直

B．MN与AC垂直

C．MN与BD平行

D．MN与A1B平行

答案　D

解析　如图，连接C1D，

∵CC1⊥平面ABCD，

∴CC1⊥BD，

∴MN与CC1垂直，故A正确；

∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN与AC垂直，B正确；在三角形C1DB中，MN∥BD，故C正确．∵A1B与BD相交，MN∥BD，

∴MN与A1B不可能平行，D错误．

题型 　异面直线所成的角

(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)

A. B．

C． D．

答案　C

解析　解法一：如图所示，分别延长CB，C1B1至D，D1，使CB＝BD，C1B1＝B1D1，连接DD1，B1D.由题意知，C1B綊B1D，则∠AB1D即为异面直线AB1与BC1所成的角．连接AD，在△ABD中，由AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABD，得AD＝.又B1D＝BC1＝，AB1＝，

∴cos∠AB1D＝＝＝.

解法二：将直三棱柱ABC－A1B1C1补形为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.

由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，

所以AD1＝BC1＝，AB1＝，∠DAB＝60°.

在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，

所以BD＝，所以B1D1＝.

又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角θ，

所以cosθ＝＝＝.

解法三：过B作BH⊥BC，交AC于H.

以B为原点，以，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.

则A(－1，，0)，B1(0,0,1)，C1(1,0,1)，

∴＝(1，－，1)，＝(1,0,1)，

∴cos〈，〉＝＝＝，

∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.

条件探究　把举例说明的条件改为“正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1”，求异面直线AB1与BD所成的角．

解　取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，易知BD∥B1E.

在Rt△AB1E中，∠AB1E为异面直线AB1与BD所成的角．

设AB＝1，则A1A＝，

AB1＝，B1E＝，

所以cos∠AB1E＝＝，

因此∠AB1E＝，

故异面直线AB1与BD所成的角为.

求异面直线所成角的方法

(1)几何法

①作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条，平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．

②证：证明作出的角为所求角．

③求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角．

(2)向量法

建立空间直角坐标系，利用公式|cosθ|＝求出异面直线的方向向量的夹角．若向量夹角是锐角或直角，则该角即为异面直线所成角；若向量夹角是钝角，则异面直线所成的角为该角的补角．

(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)

A. B．

C． D．

答案　C

解析　以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D(0，0,0)，A(1，0,0)，B1(1,1，)，D1(0,0，)，所以＝(－1,0，)，＝(1,1，)，因为cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，选C.