2020年高考数学理科一轮复习讲义：第5章数列第3讲

第3讲　等比数列及其前n项和

1．等比数列的有关概念

(1)等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达：＝q(n≥2)，q为常数，q≠0.

(2)等比中项

如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝ab.

2．等比数列的通项公式及前n项和公式

(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；可推广为an＝amqn－m.

(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.

3．等比数列的相关性质

设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．

(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*.

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．

(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列．

(4)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.

(5)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列，公比为qk.当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．

(6)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．

(7)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q.

1．概念辨析

(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)

(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　　)

(3)如果数列{an}为等比数列，则数列{lg an}是等差数列．(　　)

(4)若数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　)

(5)若数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×

2．小题热身

(1)在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于(　　)

A．5  B．±5  C．4  D．±4

答案　C

解析　设等比数列{an}的公比为q，则q4＝＝＝4，q2＝2，所以a5＝a3q2＝2×2＝4.

(2)在等比数列{an}中，已知a1＝－1，a4＝64，则公比q＝________，S4＝________.

答案　－4　51

解析　q3＝＝－64，q＝－4，S4＝＝＝51.

(3)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和为________．

答案　2n－1

解析　因为数列{an}是等比数列，所以a1a4＝a2a3＝8.

又a1＋a4＝9，所以a1，a4是方程x2－9x＋8＝0的两个根．

又因为a1<a4，所以a1＝1，a4＝8，所以q3＝＝8，q＝2.

所以数列{an}的前n项和Sn＝＝2n－1.

(4)数列{an}中a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn＝126，则n＝________.

答案　6

解析　因为a1＝2，an＋1＝2an，所以an≠0，故＝2.

所以数列{an}是公比为2的等比数列，因为Sn＝126，所以＝126，所以2n＝64，故n＝6.

题型 　等比数列基本量的运算

1．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝6，a4＋a5＝48，则数列{an}前8项的和S8＝(　　)

A．510  B．126  C．256  D．512

答案　A

解析　由a1＋a2＝6，a4＋a5＝48得

得a1＝2，q＝2，则数列{an}前8项的和S8＝＝510.

2．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.

(1)求{an}的通项公式；

(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.

解　(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.

由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.

故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.

(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.

由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．

若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.

由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.

综上，m＝6.

等比数列的基本运算方法及数学思想

(1)等比数列的基本运算方法

①对于等比数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程(组)求出a1，q.如果再给出第三个条件就可以完成an，a1，q，n，Sn的“知三求二”问题．如举例说明1.

②对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，，x，xq，…；连续偶数个项成等比数列，可设为…，，，xq，xq3，…(注意：此时公比q2>0，并不适合所有情况)，这样既可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便．

(2)基本量计算过程中涉及的数学思想方法

①方程思想，即“知三求二”．

②分类讨论思想，即分q＝1和q≠1两种情况，此处是常考易错点，一定要引起重视．

③整体思想．应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋r，则r的值为(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　B

解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n－1＋r－32n－3－r＝8·32n－3，

当n＝1时，a1＝S1＝32－1＋r＝3＋r，

∵数列是等比数列，∴当a1满足an＝8·32n－3，

即8·32－3＝3＋r＝，即r＝－，故选B.

2．(2018·滨海新区期中)已知递增等比数列{an}的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1,3,9后成等差数列．

(1)求{an}的首项和公比；

(2)设Sn＝a＋a＋…＋a，求Sn.

解　(1)根据等比数列的性质，可得a3·a5·a7＝a＝512，

解得a5＝8.

设数列{an}的公比为q，则a3＝，a7＝8q2，

由题设可得＋(8q2－9)＝2(8－3)＝10，

解得q2＝2或.

∵{an}是递增数列，可得q＞1，∴q2＝2，得q＝.

因此a5＝a1q4＝4a1＝8，解得a1＝2.

(2)由(1)得{an}的通项公式为

an＝a1qn－1＝2×()n－1＝()n＋1，

∴a＝[()n＋1]2＝2n＋1，

可得{a}是以4为首项，公比等于2的等比数列．

因此Sn＝a＋a＋…＋a＝＝2n＋2－4.

题型 　等比数列的判断与证明

(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，设bn＝.

(1)求b1，b2，b3；

(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；

(3)求{an}的通项公式．

解　(1)由条件可得an＋1＝an.

将n＝1代入，得a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.

将n＝2代入，得a3＝3a2，所以a3＝12.

从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.

(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由题设条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．

(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.

条件探究1　将举例说明条件改为“a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，且an>0”，求{an}的通项公式．

解　由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．

因为{an}的各项都为正数，所以＝.

故{an}是首项为1，公比为的等比数列，

因此an＝.

条件探究2　将举例说明条件改为“对任意的n∈N*，有an＋Sn＝n.设bn＝an－1”，求证：数列{bn}是等比数列．

证明　由a1＋S1＝1及a1＝S1，得a1＝.

又由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1，得

an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1.

∴2(an＋1－1)＝an－1，即2bn＋1＝bn.

∴数列{bn}是以b1＝a1－1＝－为首项，为公比的等比数列．

等比数列的判定方法

(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．见举例说明(2)．

(2)等比中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．

(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．

(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．

提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．

(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　)

A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列

B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列

C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列

D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列

答案　C

解析　an＝1，bn＝(－1)n，

则{an}，{bn}都是等比数列，但{an＋bn}不是等比数列；

设等比数列{an}的公比为p，等比数列{bn}的公比为q，

则＝·＝pq.

所以数列{an·bn}一定是等比数列．

2．(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.

(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

(2)若S5＝，求λ.

解　(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，

故λ≠1，a1＝，a1≠0.

由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.

因此{an}是首项为，公比为的等比数列，

于是an＝n－1.

(2)由(1)得Sn＝1－n.

由S5＝得1－5＝，即5＝.

解得λ＝－1.

题型 　等比数列前n项和及性质的应用

角度1　等比数列通项的性质

1．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.

答案　50

解析　因为等比数列{an}中，a10·a11＝a9·a12，

所以由a10a11＋a9a12＝2e5，可解得a10·a11＝e5.

所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln (a1·a2·…·a20)

＝ln (a10·a11)10＝10ln (a10·a11)＝10ln e5＝50.

角度2　等比数列的前n项和的性质

2．数列{an}是等比数列，前2018项中的奇数项之积是1，偶数项之积是m，则数列{an}的公比为(　　)

A.  B．m1009  C．±  D．±m1009

答案　A

解析　设数列{an}的公比为q，由已知得a1a3…a2017＝1，a2a4…a2018＝m，则公比q满足q1009＝m，解得q＝.

角度3　等差数列与等比数列的综合

3．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．

解　(1)设{an}的公比为q.由题设可得

解得q＝－2，a1＝－2.

故{an}的通项公式为an＝(－2)n.

(2)由(1)知a1＝－2，q＝－2，

所以Sn＋1＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1

＝a1＋qSn

＝－2－2Sn.

Sn＋2＝a1＋a2＋a3＋…＋an＋2

＝a1＋a2＋q2Sn

＝－2＋4＋4Sn

＝2＋4Sn.

所以Sn＋1＋Sn＋2＝(－2－2Sn)＋(2＋4Sn)＝2Sn，

所以Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．

1．掌握运用等比数列性质解题的两个技巧

(1)在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a1，q满足的方程组求解，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和隐含的条件．

(2)利用性质可以得到一些新数列仍为等比数列或为等差数列，例如：

①若{an}是等比数列，且an>0，则{logaan}(a>0且a≠1)是以logaa1为首项，logaq为公差的等差数列．

②若公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.如巩固迁移3.

2．牢记与等比数列前n项和Sn相关的几个结论

(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.

①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；

②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝(q≠1且q≠－1)，＝q.

(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝(q为公比)．如举例说明3和巩固迁移1.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2018·青岛模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6,3a4，－a5成等差数列，则＝(　　)

A．3  B．9  C．10  D．13

答案　C

解析　设等比数列{an}的公比为q，

因为a6,3a4，－a5成等差数列，

所以6a4＝a6－a5，所以6a4＝a4(q2－q)．

由题意得a4>0，q>0.

所以q2－q－6＝0，解得q＝3，

所以＝＝1＋q2＝10.

2．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)

A．21  B．42  C．63  D．84

答案　B

解析　设{an}的公比为q，由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2(负值舍去)．

∴a3＋a5＋a7＝a1q2＋a3q2＋a5q2＝(a1＋a3＋a5)q2＝21×2＝42.故选B.

3．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于(　　)

A．80  B．30  C．26  D．16

答案　B

解析　由题意知公比大于0，由等比数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列．

设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．

由(x－2)2＝2×(14－x)，

解得x＝6或x＝－4(舍去)．

∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．

又∵S3n＝14，

∴S4n＝14＋2×23＝30.故选B.