2020年高考数学理科一轮复习讲义：第7章立体几何第1讲

第七章　立体几何

第1讲　空间几何体的结构及其三视图和直观图

1．多面体的结构特征

2．旋转体的结构特征

3．直观图

(1)画法：常用斜二测画法．

(2)规则：

①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴与y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴(或y′轴)垂直．

②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段的长度在直观图中变为原来的一半．

4．三视图

(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

(2)三视图的画法

①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．

②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．

1．概念辨析

(1)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形．(　　)

(2)棱台各侧棱的延长线交于一点．(　　)

(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(　　)

(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2．小题热身

(1)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(　　)

A.圆柱   B．圆锥

C．四面体   D．三棱柱

答案　A

(2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(　　)

答案　A

解析　由斜二测画法的原理可知．

(3)已知三棱锥的正(主)视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的侧(左)视图可能为(　　)

答案　B

解析　由正(主)侧(左)一样高，侧(左)俯一样宽，易知侧(左)视图的底边长应当是正三角形的高，侧(左)视图的高应同正(主)视图的高，故选B.

(4)如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是________，截去的几何体是________．

答案　五棱柱　三棱柱

题型 　空间几何体的结构特征

下列结论正确的个数是________．

(1)有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；

(3)有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；

(4)直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

(5)若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．

答案　0

解析　(1)(2)(3)(4)的反例见下面四个图．

(5)平行于轴的连线才是母线．

识别空间几何体的两种方法

(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定．

(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2018·青岛模拟)以下命题：

①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；

③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

其中正确命题的个数为(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　B

解析　由圆台的定义可知①错误，②正确．对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③错误．

题型 　空间几何体的直观图

(2018·桂林模拟)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)

A.a2  B.a2  C.a2  D.a2

答案　D

解析　如图(1)所示的是△ABC的实际图形，图(2)是△ABC的直观图．

由图(2)可知A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图(2)中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.∴S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.故选D.

条件探究　若将举例说明条件变为“△ABC的直观图△A1B1C1是边长为a的正三角形”，则△ABC的面积是多少？

解　

在△A1D1C1中，由正弦定理＝，

得x＝a，∴S△ABC＝×a×a＝a2.

用斜二测画法画直观图的技巧

(1)在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中仍然与x′轴或y′轴平行．

(2)原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线．

(3)原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点，然后用平滑曲线连接．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2018·福州调研)已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．

答案　

解析　如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图．

因为OE＝ ＝1，

所以O′E′＝，E′F＝，

则直观图A′B′C′D′的面积S′＝×＝.

题型 　空间几何体的三视图

角度1　已知几何体识别三视图

1．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)

答案　A

解析　观察图形易知卯眼处应以虚线画出，俯视图为，故选A.

角度2　已知三视图还原几何体

2．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　)

A．2  B．2  C．3  D．2

答案　B

解析　根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽、圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为＝2，故选B.

角度3　已知三视图中的部分视图，判断其他

视图

3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下列选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(　　)

答案　C

解析　A，B，D选项满足三视图作法规则，C不满足三视图作法规则中的宽相等，故C不可能是该锥体的俯视图．

三视图问题的常见类型及解题策略

(1)由几何体的直观图求三视图．注意观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．

(2)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．

(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中DD1＝1，AB＝BC＝AA1＝2，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是(　　)

答案　C

解析　由直观图和俯视图知，正视图中点D1的射影是B1，侧棱BB1是看不见的，在正视图中用虚线表示，所以正视图是选项C中的图形．故选C.

2．(2018·河北衡水中学调研)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为(　　)

答案　C

解析　如图所示，过点A，E，C1的截面为AEC1F，则剩余几何体的侧视图为选项C中的图形．

3．(2017·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为(　　)

A．3  B．2  C．2  D．2

答案　B

解析　在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD为该四棱锥的最长棱．由三视图可知正方体的棱长为2，故SD＝＝2.故选B.