2020年高考数学理科一轮复习讲义：第7章立体几何第2讲

第2讲　空间几何体的表面积与体积

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

2．柱、锥、台和球的表面积和体积

1．概念辨析

(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　　)

(2)锥体的体积等于底面面积与高之积．(　　)

(3)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.(　　)

(4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．小题热身

(1)(2016·全国卷Ⅱ)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)

A．20π B．24π

C．28π D．32π

答案　C

解析　由三视图可得圆锥的母线长为＝4，∴S圆锥侧＝π×2×4＝8π.又S圆柱侧＝2π×2×4＝16π，S圆柱底＝4π，∴该几何体的表面积为8π＋16π＋4π＝28π.故选C.

(2)(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________ cm3.

答案　72　32

解析　由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示．该几何体由两个完全相同的长方体组合而成，其中AB＝BC＝2 cm，BD＝4 cm，所以该几何体的体积V＝2×2×4×2＝32 cm3，表面积S＝(2×2×3＋2×4×3)×2＝36×2＝72 cm2.

(3)(2017·江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是　　　　.

答案　

解析　设球O的半径为R，

∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，

∴圆柱O1O2的高为2R，圆柱O1O2的底面半径为R.

∴＝＝.

(4)已知某棱台的上、下底面面积分别为6和24，高为2，则其体积为________．

答案　28

解析　由已知得此棱台的体积

V＝(6＋24＋  )×2＝×42×2＝28.

题型 　空间几何体的表面积

1．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)

A．12π B．12π

C．8π D．10π

答案　B

解析　根据题意，可得截面是边长为2的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为2，所以其表面积为S＝2π()2＋2π××2＝12π.故选B.

2．(2018·四川南充诊断)如图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图，其俯视图是面积为8的矩形，则该几何体的表面积是(　　)

A．20＋8   B．24＋8

C．8 D．16

答案　A

解析　此几何体是一个三棱柱，且其高为＝4，由于其底面是等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为×2×2＝2.又此三棱柱的高为4，故其侧面积为(2＋2＋2)×4＝16＋8，表面积为2×2＋16＋8＝20＋8.

3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(　　)

A．2＋ B．4＋

C．2＋2 D．5

答案　C

解析　根据三视图画出该空间几何体的立体图：

S△ABC＝×2×2＝2；

S△ABD＝××1＝；

S△CBD＝××1＝；

S△ACD＝×2×＝，所以

S表＝S△ABC＋S△ABD＋S△CBD＋S△ACD

＝2＋＋＋＝2＋2.故选C.

三类几何体表面积的求法

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)

A.   B.

C．13   D.

答案　C

解析　由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示．则CC′⊥平面ABC，上下底均为等腰直角三角形，AC⊥BC，AC＝BC＝1，A′C′＝B′C′＝C′C＝2，

∴AB＝，A′B′＝2.∴棱台的上底面积为×1×1＝，下底面积为×2×2＝2，梯形ACC′A′的面积为×(1＋2)×2＝3，梯形BCC′B′的面积为×(1＋2)×2＝3，过A作AD⊥A′C′于D，过D作DE⊥A′B′，则AD＝CC′＝2，DE为△A′B′C′斜边高的，∴DE＝，∴AE＝＝，∴梯形ABB′A′的面积为×(＋2)×＝，∴几何体的表面积S＝＋2＋3＋3＋＝13.

题型 　空间几何体的体积

角度1　根据几何体的三视图计算体积

1．(2018·汕头一模)如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为(　　)

A．15 B．16 

C.   D.

答案　C

解析　由三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面，高为5的四棱锥P－A1D1FE，其体积V＝××5＝.

角度2　根据几何体的直观图计算体积

2. (2018·天津高考)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________．

答案　

解析　依题意得：该四棱锥M－EFGH为正四棱锥，其高为正方体棱长的一半，即为，正方体EFGH的边长为，其面积为，所以四棱锥M－EFGH的体积VM－EFGH＝Sh＝××＝.

求体积的常用方法

1．(2018·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)

A．2 B．4 

C．6 D．8

答案　C

解析　由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，底面面积S＝＝3，高h＝2，所以V＝Sh＝6.

2．祖暅是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等．则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图所示，将底面直径皆为2b，高皆为a的半椭球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上．以平行于平面β的平面在距平面β任意高度d处可横截得到S圆及S环两截面，可以证明S圆＝S环总成立，据此，短轴长为4 cm，长轴长为6 cm的椭球体的体积是________cm3.

答案　16π

解析　因为总有S圆＝S环，所以半椭球体的体积为V圆柱－V圆锥＝πb2a－πb2a＝πb2a.又2a＝6,2b＝4，即a＝3，b＝2，所以椭球体的体积V＝πb2a＝×22×3＝16π.

题型 　几何体与球的切、接问题

1．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)

A. B．2 

C. D．3

答案　C

解析　解法一：如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝BC＝ ＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝＝.

解法二：将直三棱柱补形为长方体ABEC－A1B1E1C1，则球O是长方体ABEC－A1B1E1C1的外接球．

所以体对角线BC1的长为球O的直径．

因此2R＝＝13.故R＝.

2．(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为(　　)

A．12 B．18

C．24 D．54

答案　B

解析　如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC的中点，当DM⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC体积最大，此时，OD＝OB＝R＝4.

∵S△ABC＝AB2＝9，

∴AB＝6，

∵点M为三角形ABC的重心，

∴BM＝BE＝2 ，

∴在Rt△OMB中，有OM＝＝2.

∴DM＝OD＋OM＝4＋2＝6，

∴(V三棱锥D－ABC)max＝×9×6＝18.故选B.

条件探究1　若将举例说明2中的三棱锥D－ABC满足的条件改为“AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为，BC＝3，BD＝，∠CBD＝90°”，计算球O的体积．

解　设A到平面BCD的距离为h，∵三棱锥的体积为，BC＝3，BD＝，∠CBD＝90°，

∴××3××h＝，

∴h＝2，∴球心O到平面BCD的距离为1.

设CD的中点为E，连接OE，则由球的截面性质可得OE⊥平面CBD，∵△BCD外接圆的直径CD＝2，∴球O的半径OD＝2，

∴球O的体积为.

条件探究2　若将举例说明1的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2”，求该球的体积．

解　如图，设球心为O，半径为r，

则在Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝，

则球O的体积V球＝πr3＝π×3＝.

1．解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：

2．三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球

(1)依据：长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于其外接球的直径，即＝2R.

(2)方法：补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．如举例说明1解法二．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．

答案　

解析　设正方体的棱长为a，则6a2＝18，∴a＝.

设球的半径为R，则由题意知2R＝＝3，

∴R＝.

故球的体积V＝πR3＝π×3＝.

2．某几何体的三视图如图所示，正视图为等腰三角形，俯视图为等腰梯形，则该几何体外接球的表面积是________．

答案　

解析　如图，易知等腰梯形的外心为下底的中点M，设该几何体的外接球的球心为O，半径为R，OM＝h，则

整理得R2＝，所以S球表＝.

高频考点　三视图与空间几何体表面积、体积的综合问题

考点分析　三视图是高考重点考查的一个知识点，主要考查由几何体的三视图还原几何体的形状，进而求解表面积、体积等知识，所涉及的几何体既包括柱、锥、台、球等简单几何体，也包括一些组合体，处理此类题目的关键是通过三视图准确还原几何体．

[典例1]　(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　)

A．90π B．63π

C．42π D．36π

答案　B

解析　(割补法) 由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．

将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.故选B.

[典例2]　某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形，则该四棱锥的表面积是(　　)

A．2＋2＋2 B．3＋2＋3

C．2＋＋2 D．3＋＋3

答案　D

解析　由已知的四棱锥三视图，可得该四棱锥的直观图如图所示：

其底面面积为S矩形ABCD＝2×＝2，

侧面S△PBC＝×2×1＝1，S△PCD＝×2×＝，

S△PAB＝×2×2＝2，S△PAD＝××＝，

所以四棱锥的表面积为S＝2＋1＋＋2＋＝3＋3＋.所以D正确．