2020年高考数学理科一轮复习讲义：第8章平面解析几何第3讲

第3讲　圆的方程

1．圆的定义及方程

2．点与圆的位置关系

平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：

设d为点M(x0，y0)与圆心(a，b)的距离

(1)d>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；

(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；

(3)d<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内．

1．概念辨析

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)

(2)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为，半径为 的圆．(　　)

(3)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　　)

(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

2．小题热身

(1)若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－)∪(，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

C．(－∞，－)∪(，＋∞)

D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

答案　B

解析　若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m应满足m2＋(－2)2－4×3>0，解得m<－2或m>2.

(2)圆C的直径的两个端点分别是A(－1,2)，B(1,4)，则圆C的标准方程为________．

答案　x2＋(y－3)2＝2

解析　设圆心C的坐标为(a，b)，

则a＝＝0，b＝＝3，故圆心C(0,3)．

半径r＝|AB|＝ ＝.

所以圆C的标准方程为x2＋(y－3)2＝2.

(3)若原点在圆(x－2m)2＋(y－m)2＝5的内部，则实数m的取值范围是________．

答案　(－1,1)

解析　因为原点在圆(x－2m)2＋(y－m)2＝5的内部，所以(0－2m)2＋(0－m)2<5.解得－1<m<1.

(4)已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝4，则3x2＋4y2的最大值为________．

答案　48

解析　因为(x－2)2＋y2＝4，所以y2＝4－(x－2)2≥0，

所以(x－2)2≤4，|x－2|≤2.解得0≤x≤4.

所以3x2＋4y2＝3x2＋4[4－(x－2)2]＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64.所以当x＝4时，3x2＋4y2取得最大值48.

题型 　求圆的方程

1．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．

答案　x2＋y2－2x＝0

解析　解法一：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，又因为圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，所以

解得D＝－2，E＝0，F＝0，

所以圆的方程为x2＋y2－2x＝0.

解法二：记O(0,0)，A(1,1)，B(2,0)，线段OB的垂直平分线方程为x＝1，线段OA的垂直平分线方程为y－＝－，即x＋y－1＝0.

解方程得圆心坐标为(1,0)．

所以半径r＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.

解法三：在平面直角坐标系中，画出圆上的三点，另证这三个点构成直角三角形，显然圆心坐标为(1,0)，半径为1，所以圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1.

2．一圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．

解　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．

令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.

令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.

由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0.①

又因为圆过点A，B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0.②

1＋9－D＋3E＋F＝0.③

解①②③组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12.

故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.

条件探究1　把举例说明1三点坐标改为“(1,3)，(4,2)，(1，－7)”，求此圆的方程．

解　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则

解得

∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.

条件探究2　把举例说明2条件“在两坐标轴上的四个截距的和为2”改为“在x轴截得的弦长等于2”，其他条件不变，求此圆的方程．

解　设所求圆的方程为

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，

令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，①

设x1，x2是方程①的两个根，

则x1＋x2＝－D，x1x2＝F.

由|x1－x2|＝2得D2－4F＝52，②

又因为圆过(4,2)，(－1,3)，所以

即

解②③④组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12或D＝－54，E＝－260，F＝716.

故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－54x－260y＋716＝0.

求圆的方程的两种方法

(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．见举例说明1解法二．

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．见巩固迁移1.

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．见举例说明2.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)

A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0

C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0

答案　B

解析　设该圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．

由题意得

所以

解得b＝5，r＝5，所以该圆的方程为x2＋(y－5)2＝25，即x2＋y2－10y＝0.

2．圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是(　　)

A．(x－)2＋(y－1)2＝4

B．(x－)2＋(y－)2＝4

C．x2＋(y－2)2＝4

D．(x－1)2＋(y－)2＝4

答案　D

解析　设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(a，b)，则有解得a＝1，b＝，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4.故选D.

题型 　与圆有关的最值问题

角度1　建立函数关系求最值

1．(2018·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则·的最大值为________．

答案　12

解析　＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，

∵P(x，y)在圆上，

∴·＝x2－4＋y2＝6y－8－4＝6y－12，

∵2≤y≤4，∴·≤12.

角度2　借助几何性质求最值(多维探究)

2．(2018·抚顺模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为________，最小值为________．

答案　　－

解析　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．

的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.

如图所示，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.

所以的最大值为，最小值为－.

结论探究1　若举例说明2中条件不变，求y－x的最大值与最小值．

解　y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.

所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.

结论探究2　若举例说明2中条件不变，求x2＋y2的最大值与最小值．

解　如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．

又圆心到原点的距离为

＝2，

所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.

求解与圆有关的最值问题的方法

(1)借助几何性质求最值

处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．

①形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．见举例说明2.

②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题．见举例说明2结论探究1.

③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．见举例说明2结论探究2.

(2)建立函数关系式求最值

根据题中条件列出关于所求目标式子的函数关系式，再根据函数知识、基本不等式求最值．见举例说明1.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是(　　)

A．1＋ B．2

C．1＋ D．2＋2

答案　A

解析　将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝＋1，选A.

2．已知圆O：x2＋y2＝1，直线x－2y＋5＝0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则·的最小值为________．

答案　4

解析　圆心O到直线x－2y＋5＝0的距离为＝，

则||min＝.

∵PA与圆O相切，∴PA⊥OA，即·＝0，

∴·＝(＋)·＝2＝||2－||2≥5－1＝4.

题型 　与圆有关的轨迹问题

1．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求直角顶点C的轨迹方程．

解　解法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.

因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，

又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，

化简得x2＋y2－2x－3＝0.

因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．

解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．

所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．

2．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．

解　如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.

因为平行四边形的对角线互相平分，

所以＝，＝，

整理得

又点N(x＋3，y－4)在圆x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.

所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆.

1．掌握“三方法”

2．明确“五步骤”

(2018·潍坊调研)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

解　(1)设AP的中点为M(x，y)，

由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．

因为P点在圆x2＋y2＝4上，

所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，

故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.

(2)设PQ的中点为N(x，y)，

在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，

所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.