2020年高考数学理科一轮复习讲义：第8章平面解析几何第4讲

第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系

设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，

圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，

d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.

2．圆与圆的位置关系

设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，

圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．

3．必记结论

当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径构成一个直角三角形．

(1)两圆相交时公共弦的方程

设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①

圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②

若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.

(2)两个圆系方程

①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；

②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，因此注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．

(3)弦长公式

|AB|＝|xA－xB|

＝.

1．概念辨析

(1)“k＝2”是“直线x＋y＋k＝0与圆x2＋y2＝2相切”的必要不充分条件．(　　)

(2)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(　　)

(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　)

(4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

2．小题热身

(1)直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　)

A．相切 B．相交但直线不过圆心

C．直线过圆心 D．相离

答案　B

解析　圆心(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，而0<<1.故选B.

(2)已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝(　　)

A．0 B．

C.或0 D．或0

答案　D

解析　因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d＝＝1，解得k＝0或k＝.故选D.

(3)圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在的直线方程为________．

答案　x－y＋2＝0

解析　由得4x－4y＋8＝0，

即x－y＋2＝0.

(4)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．

答案　

解析　圆心为(2，－1)，半径r＝2.圆心到直线的距离

d＝＝，

所以弦长为2＝2＝.

题型 　直线与圆的位置关系

1．直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为(　　)

A．相交或相切或相离 B．相交或相切

C．相交 D．相切

答案　C

解析　解法一：直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，恒过定点(1,2)，

因为12＋22－2×1－8<0，所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．

解法二：圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.

圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为＝<2，所以直线与圆相交．

解法三：由kx－y＋2－k＝0得y＝kx＋2－k，

代入x2＋y2－2x－8＝0，得

x2＋(kx＋2－k)2－2x－8＝0，

整理得(1＋k2)x2－(2k2－4k＋2)x＋k2－4k－4＝0，

Δ＝[－(2k2－4k＋2)]2－4(1＋k2)(k2－4k－4)

＝4(k2－2k＋1)2－4(1＋k2)(k2－4k－4)

＝4(9k2＋5)>0.

所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．

2．若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是(　　)

A．[－，] B．[－2，2]

C．[－－1，－1] D．[－2－1,2－1]

答案　D

解析　解法一：由消去y整理得

2x2＋(2m－6)x＋m2－2m＋1＝0.

由Δ＝(2m－6)2－4×2×(m2－2m＋1)＝－4(m2＋2m－7)≥0，

解得－2－1≤m≤2－1.

解法二：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.

圆心坐标为(2,1)，半径r＝2.

由题意得圆心到直线x－y＋m＝0的距离

d＝≤2，解得－2－1≤m≤2－1.

3．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有(　　)

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

答案　B

解析　圆(x－3)2＋(y－3)2＝9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝2，∴圆上到直线3x＋4y－11＝0的距离为2的点有2个．故选B.

判断直线与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法：利用d与r的关系．

(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．见举例说明．

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．如举例说明1解法一．

上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知△ABC的三边长为a，b，c，满足直线ax＋by＋2c＝0与圆x2＋y2＝4相离，则△ABC是(　　)

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．以上情况都有可能

答案　C

解析　∵直线ax＋by＋2c＝0与圆x2＋y2＝4相离，∴圆心到直线的距离>2，即c2>a2＋b2.故△ABC是钝角三角形．故选C.

2．直线y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是(　　)

A．(，2) B．(，3)

C. D．

答案　D

解析　当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d＝＝1，解得m＝(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1<m<.故选D.

题型 　圆与圆的位置关系

1．(2017·合肥模拟)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为(　　)

A. B．

C． D．2

答案　C

解析　由圆C1与圆C2相外切，可得

＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，

根据基本不等式可知ab≤2＝，

当且仅当a＝b时等号成立．故选C.

2．已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.

(1)求证：圆C1和圆C2相交；

(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．

解　(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝，

圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4，

两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，

∴|r1－r2|<d<r1＋r2，∴圆C1和C2相交．

(2)圆C1和圆C2的方程相减，得4x＋3y－23＝0，

∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.

圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝3，

故公共弦长为2＝2.

条件探究1　将举例说明1中条件“外切”变为“内切”，求ab的最大值．

解　由圆C1与圆C2相内切，可得(a＋b)2＝1，根据基本不等式可知ab≤2＝，所以ab的最大值为.

条件探究2　将举例说明1中条件“相外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1的位置关系．

解　由两圆存在四条公切线，故两圆外离，

>3，

所以(a＋b)2>9，即a＋b>3或a＋b<－3.

又圆心(a，b)到直线x＋y－1＝0的距离d＝>1，所以直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1相离．

判断圆与圆的位置关系的步骤

(1)确定两圆的圆心坐标和半径长．

(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|.

(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．圆心为(2,0)的圆C与圆x2＋y2＋4x－6y＋4＝0相外切，则C的方程为(　　)

A．x2＋y2＋4x＋2＝0 B．x2＋y2－4x＋2＝0

C．x2＋y2＋4x＝0 D．x2＋y2－4x＝0

答案　D

解析　圆x2＋y2＋4x－6y＋4＝0的圆心为M(－2,3)，半径r＝3，|CM|＝＝5，∴圆C的半径为5－3＝2，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.

2．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________.

答案　1

解析　两圆的方程作差易知公共弦所在的直线方程为y＝，如图，由已知得|AC|＝，|OA|＝2，∴|OC|＝＝1，∴a＝1.

题型 　直线与圆的综合问题

角度1　直线与圆的相切问题

1．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程：

(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；

(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；

(3)过切点A(4，－1)．

解　(1)设切线方程为x＋y＋b＝0(b≠－4)，

则＝，

∴b＝1±2，∴切线方程为x＋y＋1±2＝0.

(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，则＝，

∴m＝±5，∴切线方程为2x＋y±5＝0.

(3)∵kAC＝＝，

∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，

∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，

即3x＋y－11＝0.

角度2　与圆有关的弦长问题

2．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.

答案　4

解析　由题意可知直线l过定点(－3，)，该定点在圆x2＋y2＝12上，不妨设点A(－3，)，由于|AB|＝2，r＝2，所以圆心到直线AB的距离为d＝ ＝3，又由点到直线的距离公式可得d＝，所以＝3，解得m＝－，所以直线l的斜率k＝－m＝，即直线l的倾斜角为30°.如图，过点C作CH⊥BD，垂足为H，所以|CH|＝2，在Rt△CHD中，∠HCD＝30°，所以|CD|＝＝4.

1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法

先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程．

2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的两种方法

3．求直线与圆相交时弦长的两种方法

(1)几何法：直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆C的半径为r，则|AB|＝2.

(2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)．

则|AB|＝ ＝ |x1－x2|

＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为(　　)

A．－或 B．

C．－或 D．

答案　A

解析　由题意可得圆心O到直线y＝kx＋1的距离等于，所以＝，解得k＝±.故选A.

2．由直线y＝x＋1上的一点向圆C：x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为(　　)

A．1 B．2

C． D．3

答案　C

解析　解法一：切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d＝＝2，圆的半径长为r＝1，故切线长的最小值为＝＝.

解法二：易知P(m，m＋1)在直线y＝x＋1上，由切线长公式得|PC|＝ ＝ ，由m∈R可得|PC|min＝.

3．已知在圆M：x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)

A．3 B．6

C．4 D．2

答案　D

解析　圆x2＋y2－4x＋2y＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心M(2，－1)，半径r＝，最长弦为圆的直径，∴AC＝2.∵BD为最短弦，∴AC与BD垂直，易求得ME＝，∴BD＝2BE＝2＝2.

S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝BD·EA＋BD·EC＝BD·(EA＋EC)＝BD·AC＝×2×2＝2.故选D.