2020年高考数学理科一轮复习讲义：第8章平面解析几何第6讲

第6讲　双曲线

对应学生用书P149

1．双曲线的定义

平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：

(1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线；

(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；

(3)当a>c时，P点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

3．必记结论

(1)焦点到渐近线的距离为b.

(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．

(3)等轴双曲线⇔离心率e＝⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．

1．概念辨析

(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(　　)

(2)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)

(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)

(4)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√

2．小题热身

(1)已知双曲线－y2＝1(a>0)两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线方程是(　　)

A．y＝±x  B．y＝±x

C．y＝±x  D．y＝±x

答案　A

解析　双曲线－y2＝1(a>0)两焦点之间的距离为4，

∴2c＝4，解得c＝2；∴c2＝a2＋1＝4，∴a＝；

∴双曲线的渐近线方程是y＝±x，

即y＝±x.故选A.

(2)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.

答案　17

解析　由题意知|PF1|＝9<a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.

(3)经过点A(5，－3)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．

答案　－＝1

解析　设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(5，－3)代入，得λ＝16，故所求方程为－＝1.

(4)(2018·北京高考)若双曲线－＝1(a>0)的离心率为，则a＝________.

答案　4

解析　由已知，b2＝4，e＝＝，即＝2＝，又因为a2＋b2＝c2，所以＝，a2＝16，a＝4.

题型 　双曲线的定义及应用

1．若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是(　　)

A．8  B．9  C．10  D．12

答案　B

解析　由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．

∴|PF|＋|PA|的最小值为9.故选B.

2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.

答案　

解析　∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，

∴|PF1|＝2|PF2|＝4，

则cos∠F1PF2＝

＝＝.

条件探究　举例说明2中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，求△F1PF2的面积．

解　不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，在△F1PF2中，由余弦定理，得

cos∠F1PF2＝＝，

∴|PF1|·|PF2|＝8，

∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝2.

 (1)应用双曲线的定义需注意的问题

在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．

(2)在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a平方，建立与|PF1|·|PF2|间的联系．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，P为双曲线C右支上一点，且|PF1|＝8，则△PF1F2的周长为(　　)

A．15  B．16  C．17  D．18

答案　D

解析　由已知得a＝3，b＝，c＝＝4，所以|F1F2|＝2c＝8.由双曲线的定义可知，|PF1|－|PF2|＝2a＝6，又|PF1|＝8，所以|PF2|＝2.所以△PF1F2的周长是|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝18.

2．方程 －＝12的化简结果为(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1(x>0)   D.－＝1(x>0)

答案　C

解析　由已知得点P(x，y)到点F1(－10,0)和点F2(10，0)的距离之差为12，显然12<|F1F2|，所以点P的轨迹是以F1(－10,0)，F2(10,0)为焦点，实轴长为12的双曲线的右支，已知方程是点P的轨迹方程，由a＝6，c＝10得b＝＝8，所以点P的轨迹方程可化为－＝1(x>0)．

题型 　双曲线的标准方程及应用

1．已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)

A.－＝1(x≥ ) B.－＝1(x≤－)

C.＋＝1(x≥ ) D.＋＝1(x≤－)

答案　A

解析　设动圆的半径为r，由题意可得MC1＝r＋，MC2＝r－，所以MC1－MC2＝2＝2a，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点，实轴长为2a＝2的双曲线的右支上，即a＝，c＝4⇒b2＝16－2＝14，故其标准方程为－＝1(x≥)．

2．根据下列条件，求双曲线的标准方程：

(1)虚轴长为12，离心率为；

(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；

(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．

解　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．

由题意知，2b＝12，e＝＝，

∴b＝6，c＝10，a＝8.

∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.

(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.

又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.

∴双曲线的标准方程为－＝1.

(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．

∴解得

∴双曲线的标准方程为－＝1.

求双曲线标准方程的两种方法

(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．

(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．

注意：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)求解．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．设F1和F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若F1，F2，P(0,2b)为等边三角形的三个顶点，且双曲线经过Q(，)点，则该双曲线的方程为(　　)

A．x2－＝1   B.－＝1

C.－＝1  D.－＝1

答案　D

解析　F1和F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，F1，F2，P(0,2b)构成正三角形，

∴2b＝c，即有3c2＝4b2＝3(a2＋b2)，∴b2＝3a2；双曲线－＝1过点Q(，)，

∴－＝1，解得a2＝4，∴b2＝12，

∴双曲线方程为－＝1.故选D.

2．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．

答案　－y2＝1

解析　因为此双曲线的渐近线方程为y＝±x，即±y＝0，所以可设此双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)．

又因为此双曲线过点(4，)，所以－()2＝λ，λ＝1，所以此双曲线的标准方程为－y2＝1.

题型 　双曲线的几何性质

角度1　与双曲线有关的范围问题

1．(2015·全国卷Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　　)

A.   B.

C. D.

答案　A

解析　不妨令F1为双曲线的左焦点，则F2为右焦点，由题意可知a2＝2，b2＝1，∴c2＝3，∴F1(－，0)，F2(，0)，则·＝(－－x0)·(－x0)＋(－y0)·(－y0)＝x＋y－3.

又知－y＝1，∴x＝2＋2y，∴·＝3y－1<0.

∴－<y0<.故选A.

角度2　与双曲线渐近线有关的问题

2．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)

A.  B．3  C．2  D．4

答案　B

解析　因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，

由得所以M，

由得所以N(3，－)，

所以|MN|＝＝3.

角度3　与双曲线离心率有关的问题

3．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

答案　B

解析　依题意，注意到题中的双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，且“右”区域是由不等式组所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1<，即>，因此题中的双曲线的离心率e＝∈，选B.

1．与双曲线有关的范围问题的解题思路

(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．

(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．

2．与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略

(1)双曲线的离心率e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e>1.

(2)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.

(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)

A．(－1,3)   B．(－1，)

C．(0,3)   D．(0，)

答案　A

解析　由题意可知，c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2，其中c为半焦距，

∴2c＝2×2|m|＝4，∴|m|＝1，

∵方程－＝1表示双曲线，

∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，

∴－m2<n<3m2，∴－1<n<3.故选A.

2．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为(　　)

A．2 B. 

C．2   D．4

答案　B

解析　因为双曲线C：－＝1的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为y＝±x，所以a＝b.因为顶点到一条渐近线的距离为1，所以a＝1，所以a＝b＝，双曲线C的方程为－＝1，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b＝.

3．(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　)

A.   B．2 

C. D.

答案　C

解析　由题可知|PF2|＝b，|OF2|＝c，∴|PO|＝a.

在Rt△POF2中，cos∠PF2O＝＝，

∵在△PF1F2中，

cos∠PF2O＝＝，

∴＝⇒c2＝3a2，

∴e＝.故选C.

题型 　直线与双曲线的综合问题

已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.

(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；

(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．

解　(1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点，

则方程组有两个不同的实数根，

整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，

所以

解得－<k<且k≠±1.

即双曲线C与直线l有两个不同的交点时，k的取值范围是(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．

(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l与y轴交于点D(0，－1)，由(1)知，C与l联立的方程为(1－k2)x2＋2kx－2＝0，

所以

当A，B在双曲线的一支上且|x1|>|x2|时，S△OAB＝S△OAD－S△OBD＝(|x1|－|x2|)＝|x1－x2|；当A，B在双曲线的两支上且x1>x2时，S△OAB＝S△ODA＋S△OBD＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|.

所以S△OAB＝|x1－x2|＝，

所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2，

即2＋＝8，解得k＝0或k＝±.

又因为－<k<，且k≠±1，

所以当k＝0或k＝±时，△AOB的面积为.

1．判断直线与双曲线位置关系的三个步骤

2．一个易错点

联立直线与双曲线方程消元后，一定要注意二次项系数是否为零的判断或讨论．

3．一组常用结论

过双曲线－＝1的右焦点F作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为8，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x   B．y＝±2x

C．y＝±x   D．y＝±2x

答案　C 

解析　由右焦点F(c,0)，∴－＝1，

∴y＝±，∴|AB|＝，∵△AOB的面积为8，

∴××＝8，解得m＝，

∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.

高频考点　双曲线的离心率、渐近线问题

考点分析　高考题对双曲线的考查，通常以选择或填空题的形式出现，考查内容以离心率、渐近线问题为主．

[典例1]　(2019·安徽皖江模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，四点P1(4,2)，P2(2,0)，P3(－4,3)，P4(4，3)中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　)

A. B. 

C. D.

答案　C

解析　由双曲线的对称性可知P3(－4,3)，P4(4,3)在双曲线上，且P1(4,2)一定不在双曲线上，∴P2(2,0)也在双曲线上，∴a＝2，b＝，c＝，∴e＝.

[典例2]　如果双曲线－＝1(a>0，b>0)两渐近线的夹角是60°，则该双曲线的离心率是________．

答案　或2

解析　易知双曲线的渐近线的斜率是±.又两渐近线的夹角为60°，则＝tan30°或＝tan60°，即e2－1＝或e2－1＝3，又e>1，所以e＝或e＝2，故该双曲线的离心率为或2.

[典例3]　(2018·华南师大附中二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点F2关于直线y＝x的对称点为M，若点M在双曲线C上，则双曲线C的渐近线方程为________．

答案　y＝±2x

解析　设点F2关于直线y＝x的对称点是M在双曲线的左支上，MF2交渐近线于点N，则|MN|＝|NF2|＝＝b，|ON|＝＝＝a，又因为O是F1F2的中点，N是MF2的中点，所以|MF1|＝2a，又由双曲线的定义知|MF2|－|MF1|＝2a，所以2b－2a＝2a⇒＝2，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.