2020年高考数学理科一轮复习讲义：第8章平面解析几何第5讲

第5讲　椭圆

1．椭圆的定义

(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝，且2a>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数．

注：当2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．

2．椭圆的标准方程和几何性质

3．直线与椭圆位置关系的判断

直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ：

(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；

(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；

(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．

4．弦长公式

(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|AB|＝ |x1－x2|＝ |y1－y2|.

(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为2a.

5．必记结论

(1)设椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．

(2)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.

1．概念辨析

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)

(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　)

(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(　　)

(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√

2．小题热身

(1)椭圆＋＝1的离心率是(　　)

A. B．

C． D．

答案　B

解析　由已知得a＝3，b＝2，所以c＝＝＝，离心率e＝＝.

(2)直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞)

C．(3，＋∞) D．(0,3)∪(3，＋∞)

答案　B

解析　把y＝x＋2代入＋＝1得3x2＋m(x＋2)2＝3m，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，

由题意得Δ＝(4m)2－4m(3＋m)＝12m(m－1)>0且3＋m≠0，

又因为m>0且m≠3，所以m>1且m≠3，所以m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．

(3)(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．

答案　2＋y2＝

解析　由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4,0)，(0,2)，(0，－2)，设圆心为(a,0)，其中a>0，由4－a＝，解得a＝，所以该圆的标准方程为2＋y2＝.

(4)已知动点P(x，y)的坐标满足＋＝16，则动点P的轨迹方程为________．

答案　＋＝1

解析　由已知得点P到点A(0，－7)和B(0,7)的距离之和为16，且16>|AB|，所以点P的轨迹是以A(0，－7)，B(0,7)为焦点，长轴长为16的椭圆．

显然a＝8，c＝7，故b2＝a2－c2＝15，所以动点P的轨迹方程为＋＝1.

题型 　椭圆的定义及应用

1．过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为(　　)

A．8 B．4

C．4 D．2

答案　A

解析　因为椭圆为＋y2＝1，所以椭圆的半长轴a＝2，由椭圆的定义可得AF1＋AF2＝2a＝4，且BF1＋BF2＝2a＝4，

∴△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝4a＝8.

2．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)

A．5 B．4

C．3 D．2

答案　A

解析　如图，∵椭圆＋＝1，∴焦点坐标为B(0，－1)和B′(0,1)，连接PB′，AB′，根据椭圆的定义，得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，可得|PB|＝4－|PB′|，因此|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝4＋(|PA|－|PB′|)．

∵|PA|－|PB′|≤|AB′|，

∴|PA|＋|PB|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5.

当且仅当点P在AB′的延长线上时，等号成立．

综上所述，可得|PA|＋|PB|的最大值为5.

3．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝3，则b＝________.

答案　3

解析　设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，则由椭圆的定义可得t1＋t2＝2a，①

在△F1PF2中∠F1PF2＝60°，

所以t＋t－2t1t2·cos60°＝4c2，②

由①2－②得3t1t2＝4a2－4c2＝4b2，

所以S△F1PF2＝t1t2·sin60°＝×b2×＝3，所以b＝3.

利用定义求焦点三角形及最值的方法

1．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若△ABF2的内切圆的面积为π，则|y1－y2|＝(　　)

A．3 B．6

C．9 D．12

答案　A

解析　画出图形如图所示．

∵椭圆方程为＋＝1，

∴a＝3，b＝，c＝2.

又△ABF2的内切圆的面积为π，

∴△ABF2内切圆的半径r＝1，

∴S△ABF2＝×(|AB|＋|BF2|＋|AF2|)×r

＝×4a×r＝2ar＝6，

又S△ABF2＝×|y1－y2|×2c＝2|y1－y2|，

∴2|y1－y2|＝6，∴|y1－y2|＝3.

2．(2018·安徽皖江模拟)已知F1，F2是长轴长为4的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆上一点，则△PF1F2面积的最大值为________．

答案　2

解析　解法一：∵△PF1F2的面积为|PF1||PF2|·sin∠F1PF2≤2＝a2.又∵2a＝4，∴a2＝4，∴△PF1F2面积的最大值为2.

解法二：由题意可知2a＝4，解得a＝2.当P点到F1F2距离最大时，S△PF1F2最大，此时P为短轴端点，

S△PF1F2＝·2c·b＝bc.

又∵a2＝b2＋c2＝4，∴bc≤＝2，

∴当b＝c＝时，△PF1F2面积最大，为2.

题型 　椭圆的标准方程及应用

1．“2<m<6”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　方程＋＝1表示椭圆⇔

解得2<m<6且m≠4，

所以“2<m<6”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件．

2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为10，一个焦点的坐标是(－，0)，则椭圆的标准方程为________．

答案　＋＝1

解析　由题意得，该椭圆的焦点在x轴上，

c＝，2a＋2b＝10，即a＋b＝5，

又因为a2－b2＝c2＝5，

所以a－b＝1，解得a＝3，b＝2.

所以椭圆的标准方程是＋＝1.

3．已知A，B是圆2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为________．

答案　x2＋y2＝1

解析　如图，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2.所以|PA|＋|PF|＝2且|PA|＋|PF|>|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a＝1，c＝，b2＝.所以动点P的轨迹方程为x2＋y2＝1.

1．定义法求椭圆的标准方程

根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有：

(1)b2＝a2－c2；

(2)椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；

(3)椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长a.

2．待定系数法求椭圆的标准方程的四步骤

提醒：当椭圆的焦点位置不明确时，可设为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)．可简记为“先定型，再定量”．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．

答案　＋＝1

解析　设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.

所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|，

所以点P的轨迹是以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，点P的轨迹方程为＋＝1.

2．已知中心在坐标原点的椭圆过点A(－3,0)，且离心率e＝，则椭圆的标准方程为________．

答案　＋＝1或＋＝1

解析　若焦点在x轴上，由题知a＝3，因为椭圆的离心率e＝，c＝，b＝2，所以椭圆方程是＋＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，a2－c2＝9，又离心率e＝＝，解得a2＝，所以椭圆方程是＋＝1.

题型 　椭圆的几何性质

1．已知椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1，则(　　)

A．C1与C2顶点相同 B．C1与C2长轴长相同

C．C1与C2短轴长相同 D．C1与C2焦距相等

答案　D

解析　由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(±2，0)，(0，±2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.故选D.

2．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)

A. B．

C． D．

答案　D

解析　依题意易知|PF2|＝|F1F2|＝2c，且P在第一象限内，由∠F1F2P＝120°可得P点的坐标为(2c，c)．

又因为kAP＝，即＝，所以a＝4c，e＝，故选D.

条件探究　将举例说明2中点P满足的条件改为“椭圆C上存在点P，使∠F1PF2＝90°”，求C的离心率的取值范围．

解　解法一：椭圆上存在点P使∠F1PF2＝90°⇔以原点O为圆心，以c为半径的圆与椭圆有公共点⇔b≤c，如图，由b≤c，得a2－c2≤c2，即a2≤2c2，解得e＝≥，又0<e<1，故椭圆C的离心率的取值范围是.

解法二：设P(x0，y0)为椭圆上一点，则＋＝1.

＝(－c－x0，－y0)，＝(c－x0，－y0)，

若∠F1PF2＝90°，则·＝x＋y－c2＝0.

∴x＋b2＝c2，∴x＝.

∵0≤x≤a2，∴0≤≤1.

∴b2≤c2，∴a2≤2c2，∴≤e<1.

1．利用椭圆几何性质的注意点及技巧

(1)注意椭圆几何性质中的不等关系

在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系．

(2)利用椭圆几何性质的技巧

求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．

2．求椭圆离心率的方法

(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解．

(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解．如举例说明2.

(3)由椭圆的定义求离心率．e＝＝，而2a是椭圆上任意一点到两焦点的距离之和，2c是焦距，从而与焦点三角形联系起来．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2018·长沙模拟)椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为(　　)

A.＋＝1 B．＋y2＝1

C.＋＝1 D．＋＝1

答案　C

解析　易知b＝c＝，故a2＝b2＋c2＝4，从而椭圆E的标准方程为＋＝1.

2．已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，若|PF|＝|AF|，则该椭圆的离心率是________．

答案　

解析　根据椭圆几何性质可知|PF|＝，|AF|＝a＋c，所以＝(a＋c)，即4b2＝3a2＋3ac.又因为b2＝a2－c2，所以有4(a2－c2)＝3a2＋3ac，整理可得4c2＋3ac－a2＝0，两边同除以a2，得4e2＋3e－1＝0，所以(4e－1)·(e＋1)＝0，由于0<e<1，所以e＝.

题型 　直线与椭圆的综合问题

角度1　椭圆与向量的综合问题

1．(2018·六安舒城中学模拟)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，＝2.则椭圆C的离心率是________．

答案　

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1<0，y2>0.

直线l的方程为y＝(x－c)，其中c＝.

联立

得(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0.

解得y1＝，y2＝.

因为＝2，所以－y1＝2y2.

即＝2·.

得离心率e＝＝.

角度2　弦长及弦中点问题

2．(1)斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)

A．2 B．

C． D．

(2)直线y＝x＋m被椭圆2x2＋y2＝2截得的线段的中点的横坐标为，则中点的纵坐标为________．

答案　(1)C　(2)－

解析　(1)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，

由

消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，

则x1＋x2＝－t，x1x2＝.

Δ＝(8t)2－4×5×4(t2－1)>0，得t2<5.

∴|AB|＝|x1－x2|

＝·

＝·

＝·，

当t＝0时，|AB|max＝.

(2)解法一：由消去y并整理得3x2＋2mx＋m2－2＝0，设线段的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，

∴－＝，解得m＝－.

由截得的线段的中点在直线y＝x－上，得中点的纵坐标y＝－＝－.

解法二：设线段的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则2x＋y＝2,2x＋y＝2.两式相减得

2(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0.

把＝1，x1＋x2＝代入上式，得＝－，则中点的纵坐标为－.

角度3　直线与椭圆的位置关系及综合问题

3．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)

A．m>1 B．m>0

C．0<m<5且m≠1 D．m≥1且m≠5

答案　D

解析　直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，

若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，

则点(0,1)在椭圆＋＝1内部或在椭圆上，

所以≤1，由方程＋＝1表示椭圆，则m>0且m≠5，综上知m的取值范围是m≥1且m≠5.

4．(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.

解　(1)由已知得F(1,0)，直线l的方程为x＝1.

由已知可得，点A的坐标为或.

所以直线AM的方程为y＝－x＋或y＝x－.

(2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1<，x2<，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋.

由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k，得

kMA＋kMB＝.

将y＝k(x－1)代入＋y2＝1，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.

从而kMA＋kMB＝0，故直线MA，MB的倾斜角互补，

所以∠OMA＝∠OMB.

综上，∠OMA＝∠OMB.

1．解决椭圆中与向量有关问题的方法

(1)将向量条件坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系．

(2)利用向量关系转化成相关的等量关系．

(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．

2．弦中点问题的解决策略

(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数的关系表示中点坐标．

(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率的关系．

3．求解直线与椭圆相交的弦长问题的步骤

(1)设直线Ax＋By＋C＝0与椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的两个交点坐标分别为E(x1，y1)，F(x2，y2)．

(2)把直线方程与椭圆方程联立方程组，消元得到一个一元二次方程．

(3)利用根与系数的关系，得到x1＋x2与x1x2或y1y2与y1＋y2.

(4)把与E，F有关要求的量(如弦长|EF|、直线与椭圆相关的图形面积等)用E，F的坐标表示出来，并变形为只含x1＋x2与x1x2(或y1＋y2与y1y2)的形式．

(5)将(3)中所得的含有参数的式子等量代入(4)中，得到含参数的代数式，经过其他运算得到化简结果．

4．重要结论

(1)椭圆中最短的焦点弦为通径，长度为.

(2)设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·或|AB|＝·|y1－y2|＝·.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.

(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；

(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．

解　(1)由得5x2＋2mx＋m2－1＝0，

因为直线与椭圆有公共点，

所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.

(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，

所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，

所以|AB|＝＝

＝＝

＝ .

所以当m＝0时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y＝x.

2．(2018·沈阳质检)已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．

解　(1)由△ABP是等腰直角三角形，得a＝2，B(2,0)．

设Q(x0，y0)，则由＝，得

代入椭圆方程得b2＝1，

所以椭圆E的方程为＋y2＝1.

(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2.

联立

消去y并整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.(*)

因直线l与E有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，

故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)>0，解得k2>.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由根与系数的关系得

因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，

所以·>0，即x1x2＋y1y2>0，

又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)

＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4

＝(1＋k2)·－2k·＋4>0，

解得k2<4，综上可得<k2<4，

则<k<2或－2<k<－.

则满足条件的斜率k的取值范围为∪.

高频考点　求椭圆的离心率问题

考点分析　离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．

[典例1]　从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是(　　)

A. B．

C． D．

答案　C

解析　由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，kOP＝－，kAB＝－，由于OP∥AB，∴－＝－，y0＝，把P代入椭圆方程得＋＝1，即2＝，∴e＝＝.

[典例2]　(2018·芜湖模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)．圆C：(x－c)2＋y2＝1上所有点都在椭圆E的内部，过椭圆上任一点M作圆C的两条切线，A，B为切点，若∠AMB＝θ，θ∈，则椭圆C的离心率为(　　)

A．2－ B．3－2

C.－ D．－1

答案　B

解析　圆C：(x－c)2＋y2＝1的圆心为右焦点F(c,0)，半径为1，

(1)当M位于椭圆的右顶点(a,0)时，|MF|取得最小值a－c，此时|MA|取得最小值，

即有∠AMB＝，sin＝，可得a－c＝，①

(2)当M位于椭圆的左顶点(－a,0)，|MF|取得最大值a＋c.此时|MA|取得最大值，即有∠AMB＝，

sin＝，可得a＋c＝2，②

由①②解得a＝1＋，c＝1－，

则e＝＝＝3－2.