2020年高考数学理科一轮复习讲义：第8章平面解析几何第8讲

第8讲　曲线与方程

求曲线方程的基本步骤

1．概念辨析

(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(　　)

(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(　　)

(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(　　)

(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

2．小题热身

(1)已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2－6，则点P的轨迹是(　　)

A．圆   B．椭圆

C．双曲线   D．抛物线

答案　D

解析　∵＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，则·＝(－2－x)(3－x)＋(－y)2＝x2－6，化简得y2＝x，轨迹为抛物线．

(2)方程x＝所表示的曲线是(　　)

A．双曲线的一部分   B．椭圆的一部分

C．圆的一部分   D．直线的一部分

答案　B

解析　x＝ 两边平方，可变为x2＋4y2＝1(x≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．

(3)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(　　)

A．2x＋y＋1＝0  B．2x－y－5＝0

C．2x－y－1＝0  D．2x－y＋5＝0

答案　D

解析　设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.

(4)已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________．

答案　x2＋y2＝4(y≠0)

解析　由题意得点P的轨迹是以线段MN为直径的圆(除去M，N两点)，其圆心坐标为(0,0)，半径r＝|MN|＝2，所以点P的轨迹方程是x2＋y2＝4(y≠0)．

题型 　定义法求轨迹方程

1．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为(　　)

A．x2＝12y  B．y2＝－12x

C．y2＝12x  D．x2＝－12y

答案　A

解析　由题意得动圆圆心到点F(0,3)和直线y＝－3的距离相等，所以动圆圆心的轨迹是以F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，其方程为x2＝12y.

2．如图所示，已知点C为圆(x＋)2＋y2＝4的圆心，点A(，0)．P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP所在的直线上，且·＝0，＝2.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．

解　由(x＋)2＋y2＝4知圆心C(－，0)，半径r＝2.

∵·＝0，＝2，

∴MQ⊥AP，点M为AP的中点，因此QM垂直平分线段AP.如图，连接AQ，则|AQ|＝|QP|，

∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝2.

又|AC|＝2>2，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(－，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线．

由c＝，a＝1，得b2＝1，由此点Q的轨迹方程为x2－y2＝1.

条件探究　若将举例说明2中的条件“圆C的方程(x＋)2＋y2＝4”改为“圆C的方程(x＋)2＋y2＝16”，其他条件不变，求点Q的轨迹方程．

解　由(x＋)2＋y2＝16知圆心C(－，0)，半径r＝4.

∵·＝0，＝2，

∴QM垂直平分AP，连接AQ，

则|AQ|＝|QP|，

∴|QC|＋|QA|＝|QC|＋|QP|＝r＝4.

根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以C(－，0)，A(，0)为焦点，长轴长为4的椭圆．

由c＝，a＝2，得b＝.

因此点Q的轨迹方程为＋＝1.

定义法求轨迹方程的适用条件及关键点

(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程，见举例说明1,2.

(2)理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键．

(3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．见巩固迁移．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆的圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．

答案　－＝1(x>3)

解析　如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.

根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．

题型 　直接法求轨迹方程

1．(2018·豫北名校联考)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________．

答案　(x－10)2＋y2＝36(y≠0)

解析　设A(x，y)，由题意可知D.

又∵|CD|＝3，∴2＋2＝9，

即(x－10)2＋y2＝36，

由于A，B，C三点不共线，

∴点A不能落在x轴上，即y≠0，

∴点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．

2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且过点P所引的椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．

解　(1)由题意，得c＝，e＝＝，

因此a＝3，b2＝a2－c2＝4，

故椭圆C的标准方程是＋＝1.

(2)若两切线的斜率均存在，设过点P(x0，y0)的切线方程是

y＝k(x－x0)＋y0，

则由得

＋＝1，

即(9k2＋4)x2＋18k(y0－kx0)x＋9[(y0－kx0)2－4]＝0，

Δ＝[18k(y0－kx0)]2－36(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0，

整理得(x－9)k2－2x0y0k＋y－4＝0.

又所引的两条切线相互垂直，

设两切线的斜率分别为k1，k2，

于是有k1k2＝－1，即＝－1，

即x＋y＝13(x0≠±3)．

若两切线中有一条斜率不存在，

则易得或或或

经检验知均满足x＋y＝13.

因此，动点P(x0，y0)的轨迹方程是x2＋y2＝13.

(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点．如举例说明1.

(2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2018·银川模拟)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为(　　)

A．y2＝2x   B．(x－1)2＋y2＝4

C．y2＝－2x   D．(x－1)2＋y2＝2

答案　D

解析　如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)，连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1.

又∵|PA|＝1，

∴|PM|＝＝，

即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.故选D.

2．已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程．

解　如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，知|O1A|＝|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，

∴|O1M|＝.又|O1A|＝，∴＝，

化简得y2＝8x(x≠0)．

又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，

∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.

题型 　相关点法(代入法)求轨迹方程

1．动点P在抛物线y＝2x2＋1上移动，若P与点Q(0，－1)连线的中点为M，则动点M的轨迹方程为(　　)

A．y＝2x2  B．y＝4x2

C．y＝6x2  D．y＝8x2

答案　B

解析　设M(x，y)，P(x0，y0)，因为P与点Q(0，－1)连线的中点为M，所以x0＝2x，y0＝2y＋1，又因为点P在抛物线y＝2x2＋1上移动，所以2y＋1＝2(2x)2＋1，即y＝4x2.故选B.

2．如图，已知P是椭圆＋y2＝1上一点，PM⊥x轴于M.若＝λ.

(1)求N点的轨迹方程；

(2)当N点的轨迹为圆时，求λ的值．

解　(1)设点P，点N的坐标分别为P(x1，y1)，

N(x，y)，则M的坐标为(x1,0)，且x＝x1，

∴＝(x－x1，y－y1)＝(0，y－y1)，

＝(x1－x，－y)＝(0，－y)，

由＝λ得(0，y－y1)＝λ(0，－y)．

∴y－y1＝－λy，即y1＝(1＋λ)y.

∵P(x1，y1)在椭圆＋y2＝1上，

则＋y＝1，∴＋(1＋λ)2y2＝1，

故＋(1＋λ)2y2＝1即为所求的N点的轨迹方程．

(2)要使点N的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝，

解得λ＝－或λ＝－.

所以当λ＝－或λ＝－时，N点的轨迹是圆．

代入法求轨迹方程的四步骤

设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．

解　设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，∵⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋y＝0.

由＝2，得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，

∴即

∴－x＋＝0，即y2＝4x.

故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.