2020年高考数学理科一轮复习讲义：第11章算法复数推理与证明第3讲

第3讲　合情推理与演绎推理[考纲解读]　1.了解合情推理和演绎推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理．(重点)2.掌握演绎推理的三段论，并能运用三段论进行一些简单的推理．3.弄清推理的一般步骤：①实验、观察、比较；②概括、联想、类推、推广；③猜想新结论． [考向预测]　从近三年高考情况来看，演绎推理贯穿于整个高考试卷的始末，而合情推理时有考查. 预测2020年将会考查归纳猜想及类比推理的应用.  题型为客观题，试题具有一定的综合性，属中等难度试题.    1．推理(1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就是推理．(2)分类：推理一般分为合情推理和演绎推理．2．合情推理(1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理．(2)分类：数学中常用的合情推理有归纳推理和类比推理．(3)归纳和类比推理的定义、特征3．演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．1．概念辨析(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　　)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(　　)(3)ax＋y＝ax·ay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinα·sinβ.(　　)(4)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2．小题热身(1)①已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为lr；②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，则①②两个推理过程分别属于(　　)A．类比推理、归纳推理   B．类比推理、演绎推理C．归纳推理、类比推理   D．归纳推理、演绎推理答案　A解析　①由三角形的面积公式得到扇形的面积公式有相似之处，此种推理为类比推理；②由特殊到一般，此种推理为归纳推理．(2)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)A．结论正确   B．大前提不正确C．小前提不正确   D．全不正确答案　C解析　f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数．(3)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)A．an＝3n－1   B．an＝4n－3C．an＝n2   D．an＝3n－1答案　C解析　a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.(4)对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“__________________________”，这个类比命题的真假性是________．答案　夹在两个平行平面间的平行线段相等　真命题解析　由类比推理可知． 题型 　类比推理1．等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{}的公比为(　　)A.  B．q2  C.  D.答案　C解析　∵在等差数列{an}中前n项的和为Sn的通项，且可写成＝a1＋(n－1)×.所以在等比数列{bn}中应研究前n项的积为Tn的开n次方的形式．类比可得＝b1()n－1，其公比为.2．在平面几何中，△ABC的∠C的平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图)，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于E，则得到类比的结论是________．答案　＝解析　由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得＝.1．类比推理的四个角度和四个原则(1)四个角度类比推理是由特殊到特殊的推理，可以从以下几个方面考虑类比：①类比的定义：如等差、等比数列的定义；②类比的性质：如椭圆、双曲线的性质；③类比的方法：如基本不等式与柯西不等式；④类比的结构：如三角形的内切圆与三棱锥的内切球．(2)四个原则①长度类比面积；②面积类比体积；③平面类比空间；④和类比积，差类比商．见举例说明．2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．3．常见的类比推理题型的求解策略在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：(1)找两类对象的对应元素，如三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；(2)找对应元素的对应关系，如两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2018·厦门模拟)已知圆：x2＋y2＝r2上任意一点(x0，y0)处的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比以上结论，有双曲线－＝1上任意一点(x0，y0)处的切线方程为________．答案　－＝1解析　设圆上任一点为(x0，y0)，把圆的方程中的x2，y2替换为x0x，y0y，则得到圆的切线方程；类比这种方式，设双曲线－＝1上任一点为(x0，y0)，则切线方程为－＝1(这个结论是正确的，证明略)．题型 　归纳推理角度1　与数字有关的归纳推理1．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为(　　)A．2018  B．2019  C．2020  D．2021答案　D解析　根据题干图所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a＋7，a＋8，a＋9，第三层的五个数为a＋14，a＋15，a＋16，a＋17，a＋18，这九个数之和为a＋3a＋24＋5a＋80＝9a＋104.由9a＋104＝2021，得a＝213，是自然数，故选D.角度2　与式子有关的归纳推理2．(2016·山东高考)观察下列等式：－2＋－2＝×1×2；－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；……照此规律，－2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.答案　解析　观察前4个等式，由归纳推理可知－2＋－2＋…＋－2＝×n×(n＋1)＝.角度3　与图形有关的归纳推理3．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n行黑圈的个数为an，则a2019＝________.答案　解析　根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1,0)，第2行记为(2,1)，第3行记为(5,4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标”为(14,13)，同理可得第5行的“坐标”为(41,40)，第6行的“坐标”为(122,121)，….各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26,80，…，即1－1，3－1，9－1,27－1,81－1，…，所以可以归纳出第n行的黑圈数an＝(n∈N*)，所以a2019＝.归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．见举例说明1.(2)与式子有关的归纳推理①与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．②与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊项，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．见举例说明3.1．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125，…，则52019的末四位数字为(　　)A．3125  B．5625  C．0625  D．8125答案　D解析　∵55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125，可以看出这些幂的最后4位是以4为周期变化的，∵2019÷4＝504余3，∴52019的末四位数字与57的后四位数相同，是8125.2．观察下列不等式：1＋3＋3<π2，1＋3×2＋3×22<π4，1＋3×3＋3×32<π6，……照此规律，第n－1(n≥2，n∈N*)个不等式是________．答案　1＋3(n－1)＋3(n－1)2<π2n－2解析　根据所给不等式易归纳推理出第n(n∈N*)个不等式是1＋3n＋3n2<π2n，所以可以归纳推测出第n－1(n≥2，n∈N*)个不等式是1＋3(n－1)＋3(n－1)2<π2n－2.3．地震后需搭建简易帐篷，搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要________根钢管．答案　83解析　由题意可知，图①的单顶帐篷需要(17＋0×11)根钢管，图②的帐篷需要(17＋1×11)根钢管，图③的帐篷需要(17＋2×11)根钢管，…所以串7顶这样的帐篷需要17＋6×11＝83(根)钢管．题型 　演绎推理数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.证明　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.∴＝2·，又＝1≠0，(小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2)，(小前提)又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)三段论的应用(1)三段论推理的依据是：如果集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.(2)应用三段论的注意点：解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．提醒：合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期．证明　由f＝－f，且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f＝－f＝－f(－x)＝f(x)，所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．