2020年高考数学理科一轮复习讲义：第11章算法复数推理与证明第2讲

第2讲　数系的扩充与复数的引入

1．复数的有关概念

2．复数的几何意义

复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即

(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.

3．复数代数形式的四则运算

(1)运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

(3)复数乘法的运算定律

复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.

(4)复数加、减法的几何意义

①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是＋所对应的复数．

②复数减法的几何意义：复数z1－z2是－即所对应的复数．

4．模的运算性质：①|z|2＝||2＝z·；②|z1·z2|＝|z1||z2|；③＝.

1．概念辨析

(1)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)一定有两个根．(　　)

(2)若复数a＋bi中a＝0，则此复数必是纯虚数．(　　)

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　)

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

2．小题热身

(1)(2017·全国卷Ⅱ)＝(　　)

A．1＋2i  B．1－2i  C．2＋i  D．2－i

答案　D

解析　＝＝＝2－i.故选D.

(2)(2018·北京高考)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限  C．第三象限  D．第四象限

答案　D

解析　设复数z＝＝＝＝＝＋i，所以z的共轭复数＝－i，对应的点为，位于第四象限．

(3)(2018·华南师大附中一模)在复平面内，复数z＝cos3＋isin3(i为虚数单位)，则|z|为(　　)

A．4  B．3  C．2  D．1

答案　D

解析　|z|＝＝1.

(4)设复数z1＝2－i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)，若z1z2∈R，则a＝________.

答案　4

解析　因为z1z2＝(2－i)(a＋2i)

＝2a＋2＋(4－a)i，

且z1z2是实数，所以4－a＝0即a＝4.

题型 　复数的有关概念

1．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝(　　)

A．－1  B．1  C．－2  D．2

答案　C

解析　因为m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，

所以解得m＝－2.

2．若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于(　　)

A．3，－2  B．3,2  C．3，－3  D．－1,4

答案　A

解析　因为(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，

所以a＝3，b＝－2.

3．(2018·合肥一检)设i为虚数单位，复数z＝的虚部是(　　)

A.  B．－  C．1  D．－1

答案　B

解析　复数z＝＝＝－i，则z的虚部为－.

4．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)

A．0  B.  C．1  D.

答案　C

解析　因为z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝＝1，故选C.

有关处理复数基本概念问题的关键

因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实部与虚部有关，所以处理复数有关基本概念问题的关键是找准复数的实部和虚部，即转化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理.

1．(2019·安徽安庆模拟)设i是虚数单位，如果复数的实部与虚部相等，那么实数a的值为(　　)

A.  B．－  C．3  D．－3

答案　C

解析　＝，由题意知2a－1＝a＋2，解得a＝3.故选C.

2．已知集合A＝N，B＝{x∈R|z＝3＋xi，且|z|＝5}(i为虚数单位)，则A∩B＝________.

答案　{4}

解析　因为|z|＝＝5，所以x＝±4，

所以B＝{－4,4}，

所以A∩B＝{4}．

3．(2017·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.

答案　5　2

解析　因为(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.

由(a＋bi)2＝3＋4i，得解得a2＝4，b2＝1.

所以a2＋b2＝5，ab＝2.

题型 　复数的几何意义

1．(2019·福州质检)设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝(　　)

A．1＋i   B.＋i

C．1＋i   D．1＋i

答案　B

解析　因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以＝＝＝＋i，故选B.

2．若复数z＝在复平面内对应的点在直线y＝－x上，则z·＝(　　)

A．1  B．2  C．－1  D．－2

答案　B

解析　因为z＝＝－i，

且z在复平面内对应的点在直线y＝－x上，

所以－1＝－，a＝2，

所以z·＝(1－i)(1＋i)＝1－i2＝2.

3．若复数z满足①|z|≥1；②|z＋i|≤|－1－2i|，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．

答案　4π

解析　设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z|≥1及|z＋i|≤|－1－2i|易得x2＋y2≥1及x2＋(y＋1)2≤5知z在复平面内对应图形的面积为5π－π＝4π.

条件探究1　把举例说明1中的“实轴”改为“虚轴”，求z1z2.

解　因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝－2＋i.所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－22＝－5.

条件探究2　将举例说明1中z1对应的向量绕点O逆时针旋转90°，得z2对应的向量，试求.

解　

如图所示，

z1＝2＋i，z2＝－1＋2i，

所以＝

＝＝－i.

复数几何意义及应用

1．复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.

2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

提醒：|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离.

1．在复平面内，若O(0,0)，A(2，－1)，B(0,3)，则在▱OACB中，点C所对应的复数为(　　)

A．2＋2i  B．2－2i  C．1＋i  D．1－i

答案　A

解析　在▱OACB中，＝＋＝(2，－1)＋(0,3)＝(2,2)，所以点C所对应的复数为2＋2i.

2．如图所示的网格纸中小正方形的边长是1，复平面内点Z对应的复数z满足(z1－i)·z＝1，则复数z1＝(　　)

A．－＋i

B.＋i

C.－i

D．－－i

答案　B

解析　由图可知z＝2＋i，因为(z1－i)·z＝1，

所以z1＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i.

题型 　复数的四则运算

角度1　复数的加、减、乘、除运算

1．(1)(2018·天津高考)i是虚数单位，复数＝________；

(2)已知i是虚数单位，8＋2018＝________.

答案　(1)4－i　(2)1＋i

解析　(1)＝＝＝4－i.

(2)原式＝8＋1009＝i8＋1009＝i8＋i1009＝1＋i4×252＋1＝1＋i.

角度2　复数四则运算的综合应用

2．若复数(1－i)(cosθ＋isinθ)在复平面内对应的点在第二象限，则实数θ的取值范围是________．

答案　，k∈Z

解析　(1－i)(cosθ＋isinθ)

＝(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i，

此复数在复平面内对应的点为(cosθ＋sinθ，sinθ－cosθ)．

由题意得

角θ终边所在的区域如图所示．

所以2kπ＋<θ<2kπ＋，k∈Z.

1．复数代数形式运算问题的解题策略

(1)复数的加减法

在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可．

(2)复数的乘法

复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．

(3)复数的除法

除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．

2．记住以下结论，可提高运算速度

(1)(1±i)2＝±2i；

(2)＝i；

(3)＝－i；

(4)＝b－ai；

(5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N).

1．(2018·太原二模)＝(　　)

A．2  B．－2  C.  D．－

答案　A

解析　＝

＝＝＝2.

2．若复数z满足(1＋2i)z＝1－i，则||＝(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　∵z＝，∴||＝|z|＝＝＝.

3．复数z＝cos75°＋isin75°(i是虚数单位)，则在复平面内，z2对应的点位于第________象限．

答案　二

解析　z2＝(cos75°＋isin75°)2

＝(cos275°－sin275°)＋(2sin75°cos75°)i

＝cos150°＋isin150°

＝－＋i，其对应的点位于第二象限．