2020版高考物理一轮复习江苏专版讲义：第二章第3节力的合成与分解

第3节力的合成与分解

(1)合力及其分力均为作用于同一物体上的力。(√)

(2)合力及其分力可以同时作用在物体上。(×)

(3)几个力的共同作用效果可以用一个力来代替。(√)

(4)在进行力的合成与分解时，都要应用平行四边形定则或三角形定则。(√)

(5)两个力的合力一定比其分力大。(×)

(6)互成角度的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形。(√)

(7)既有大小又有方向的物理量一定是矢量。(×)

突破点(一)　力的合成问题

1．共点力合成的常用方法

(1)作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向(如图所示)。

(2)计算法：几种特殊情况的共点力的合成。

(3)力的三角形定则：将表示两个力的图示(或示意图)保持原来的方向依次首尾相接，从第一个力的作用点，到第二个力的箭头的有向线段为合力。平行四边形定则与三角形定则的关系如图甲、乙所示。

2．合力的大小范围

(1)两个共点力的合成

|F1－F2|≤F合≤F1＋F2

即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小，为|F1－F2|，当两力同向时，合力最大，为F1＋F2。

(2)三个共点力的合成

①三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。

②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力最小值为零；如果第三个力不在这个范围内，则合力最小值等于最大的力减去另外两个力。

[题点全练]

1.如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ角之间的关系图像(0≤θ≤2π)，下列说法中正确的是(　　)

A．合力大小的变化范围是0≤F≤14 N

B．合力大小的变化范围是2 N≤F≤10 N

C．这两个分力的大小分别为6 N和8 N

D．这两个分力的大小分别为2 N和8 N

解析：选C　由题图可知：当两力夹角为180°时，两力的合力为2 N，而当两力夹角为90°时，两力的合力为10 N。则这两个力的大小分别为6 N、8 N，故C正确；D错误。当两个力方向相同时，合力等于两个力之和14 N；当两个力方向相反时，合力等于两个力之差2 N，由此可见：合力大小的变化范围是2 N≤F≤14 N，故A、B错误。

2．[多选]对两个大小不等的共点力进行合成，则(　　)

A．合力一定大于每个分力

B．合力可能同时垂直于两个分力

C．合力的方向可能与一个分力的方向相反

D．两个分力的夹角θ在0°到180°之间变化时，θ角越小，合力越大

解析：选CD　不在同一条直线上的两个力合成时，遵循平行四边形定则，故合力可能大于、小于或等于任意一个分力，A错误；合力是两分力构成的平行四边形的对角线，而对角线不可能同时垂直两个边，B错误；当两分力方向相反时，则合力可以与一个分力的方向相反，即与较小力的方向相反，C正确；两个大小不变的力，其合力随两力夹角的减小而增大，当夹角为零时，合力最大，D正确。

3．一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，其中F3＝4 N。下列说法正确的是(　　)

A．三力的合力有最大值14.3 N，方向不确定

B．三力的合力有唯一值8 N，方向与F3同向

C．三力的合力有唯一值12 N，方向与F3同向

D．由题给条件无法求出合力大小

解析：选C　根据平行四边形定则，作出F1、F2的合力如图所示，大小等于2F3，方向与F3相同，再跟F3合成，两个力同向，则三个力的合力大小为3F3＝12 N，方向与F3同向，C正确。

突破点(二)　力的分解问题

1．按作用效果分解力的一般思路

2．正交分解法

(1)定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。

(2)建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)；在动力学中，通常以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。

(3)方法：物体受到F1、F2、F3、…多个力作用求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。

x轴上的合力：

Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…

y轴上的合力：

Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…

合力大小：F＝

合力方向：与x轴夹角设为θ，则tan θ＝。

[典例]　(2019·泰安模拟)用细绳AC和BC吊起一重物，两绳与竖直方向的夹角如图所示。AC能承受的最大拉力为150 N，BC能承受的最大拉力为100 N。为了使绳子不断，所吊重物的质量不得超过多少？(g取10 m/s2)

[思路点拨]

(1)以结点C为研究对象，进行受力分析，可以沿水平、竖直方向建立直角坐标系，对力进行正交分解。

(2)两绳作用力不可能同时达到最大，要先用假设法判断哪个先达到最大值。

[解析]　设重物的质量最大为m，此时C点处于平衡状态，对C点受力分析如图所示：

水平方向上：

TBCsin 60°＝TACsin 30°①

设AC绳先达到最大拉力150 N

即：TAC＝150 N

由①式解得：TBC＝50  N＜100 N，说明此时BC绳子还未达到拉力的最大值，但AC绳子已经达到拉力最大值。

在竖直方向：TBCcos 60°＋TACcos 30°＝mg

解得：m＝

＝ kg＝10 kg。

[答案]　10 kg

[方法规律]　力的合成与分解方法的选择

力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法，一般情况下，物体只受三个力的情形下，力的效果分解法、合成法解题较为简单，在三角形中找几何关系，利用几何关系或三角形相似求解；而物体受三个以上力的情况多用正交分解法，但也要视题目具体情况而定。

[集训冲关]

1.[多选](2018·辽阳期末)将一个F＝10 N的力分解为两个分力，如果已知其中一个分力F1方向与F成30°角，则关于另一个分力F2，下列说法正确的是(　　)

A．F2的方向不可能与F平行

B．F1的大小不可能小于5 N

C．F2的大小可能小于5 N

D．F2的方向与F1垂直时F2最小

解析：选AD　根据力的三角形法则，不在一条直线上的两个分力和合力组成一个矢量三角形，F2的方向不可能与F平行，故A正确；两个分力和合力只要能组成一个矢量三角形都是有可能的，F1的大小有可能小于5 N，故B错误；要组成一个矢量三角形，F2的最小值为5 N，故C错误；根据点到直线的距离，垂线最短，F2的方向与F1垂直时F2最小，故D正确。

2.(2019·孝感模拟)生活中的物理知识无处不在，如图所示是我们衣服上的拉链的一部分。在把拉链拉开的时候，我们可以看到有一个三角形的东西在两链中间运动，使很难直接分开的拉链容易地拉开。关于其中的物理原理以下说法正确的是(　　)

A．拉开拉链的时候，三角形的物体增大了分开两拉链的力

B．拉开拉链的时候，三角形的物体只是为了将拉链分开并没有增大分开拉链的力

C．拉开拉链时，三角形的物体增大了分开拉链的力，但合上拉链时减小了合上的力

D．以上说法都不正确

解析：选A　在拉开拉链的时候，三角形物体在两链间运动，如图所示，手的拉力在三角形物体上产生了两个分力，分力的大小大于拉力的大小，所以很难直接分开的拉链很容易拉开；合上拉链时，三角形的物体增大了合上拉链的力，故A正确，B、C、D错误。

突破点(三)　对称法解决非共面力问题

[典例]　(2018·广州综合测试)如图是悬绳对称且长度可调的自制降落伞。用该伞挂上重为G的物体进行两次落体实验，悬绳的长度l1<l2，匀速下降时每根悬绳的拉力大小分别为F1、F2，则(　　)

A．F1<F2　　　　　　　 　B．F1>F2

C．F1＝F2<G   D．F1＝F2>G

[方法点拨]

降落伞的悬绳对称，则各悬绳上的拉力大小相等，且各悬绳与竖直方向的夹角大小相等，因此各悬绳的拉力在竖直方向的分力大小也相等。

[解析]　物体受重力和n根悬绳拉力作用处于平衡状态，由对称性可知，每条悬绳拉力的竖直分力为，设绳与竖直方向的夹角为θ，则有Fcos θ＝，解得F＝，由于无法确定ncos θ是否大于1，故无法确定拉力F与重力G的关系，C、D错误；悬绳较长时，夹角θ较小，故拉力较小，即F1>F2，A错误，B正确。

[答案]　B

[集训冲关]

1．(2018·东台模拟)如图甲，某工地上起重机将重为G的正方形工件缓缓吊起。四根等长的钢绳(质量不计)，一端分别固定在正方形工件的四个角上，另一端汇聚于一处挂在挂钩上，绳端汇聚处到每个角的距离均与正方形的对角线长度相等(如图乙)。则每根钢绳的受力大小为(　　)

A.G   B.G

C.G   D.G

解析：选D　设每根钢绳的拉力为F，由题意可知每根绳与竖直方向的夹角为30°；根据共点力的平衡条件可得：4Fcos 30°＝G，解得：F＝，所以A、B、C错误，D正确。

2.(2018·苏南联考)蹦床可简化为如图所示的完全相同的网绳构成的正方形，点O、a、b、c等为网绳的结点。当网水平张紧时，若质量为m的运动员从高处竖直落下，并恰好落在O点，当该处下凹至最低点时，网绳aOe、cOg均成120°向上的张角，此时O点受到的向下的冲击力为F，则这时O点周围每根网绳的拉力的大小为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　设每根网绳的拉力大小为F′，对结点O有：

4F′cos 60°－F＝0，解得F′＝，选项B正确。

3.[多选](2018·青州检测)如图所示，完全相同的四个足球彼此相互接触叠放在水平面上，每个足球的质量都是m，不考虑转动情况，下列说法正确的是(　　)

A．下面每个球对地面的压力均为mg

B．下面的球不受地面给的摩擦力

C．下面每个球受地面给的摩擦力均为mg

D．上面球对下面每个球的压力均为mg

解析：选AD　以四个球整体为研究对象，受力分析可得，3FN＝4mg，可知下面每个球对地面的压力均为FN＝mg，A项正确；隔离上面球分析，由几何关系可得，3F1·＝mg，F1＝mg，D项正确；隔离下面一个球分析，Ff＝F1·＝mg，B、C项错误。

突破点(四)　绳上的“死结”和“活结”模型

[典例]　如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，在轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：

(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；

(2)轻杆BC对C端的支持力；

(3)轻杆HG对G端的支持力。

图甲中细绳跨过定滑轮与物体M1相连，属于“活结”模型，细绳AC和CD张力大小相等，细绳对定滑轮的合力方向沿∠ACD的角平分线方向；图乙中细绳EG和细绳GF为连接于G点的两段独立的绳，属于“死结”模型，细绳EG和细绳GF的张力不相等，轻杆对G点的弹力沿轻杆方向。

[解析]　题图甲和乙中的两个物体M1、M2都处于平衡状态，根据平衡的条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图甲和乙所示，根据平衡规律可求解。

(1)图甲中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，细绳AC段的拉力FTAC＝FTCD＝M1g

图乙中由FTEGsin  30°＝M2g，得FTEG＝2M2g。

所以＝。

(2)图甲中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡规律有FNC＝FTAC＝M1g，方向与水平方向成30°，指向右上方。

(3)图乙中，根据平衡规律有FTEGsin  30°＝M2g，FTEGcos  30°＝FNG，所以FNG＝M2gcot 30°＝M2g，方向水平向右。

[答案]　(1)　(2)M1g，方向与水平方向成30°指向右上方　(3)M2g，方向水平向右

[集训冲关]

1.[多选](2018·汉中模拟)如图所示，电灯的重力G＝10 N，AO绳与顶板间的夹角为45°，BO绳水平，AO绳的拉力为FA，BO绳的拉力为FB，则(　　)

A．FA＝10 N　　　　　  　B．FA＝10 N

C．FB＝10 N   D．FB＝10 N

解析：选AD　结点O处电灯的重力产生了两个效果，一是沿OA向下的拉紧AO的分力F1，二是沿BO向左的拉紧BO绳的分力F2，画出平行四边形如图所示。由几何关系得F1＝＝10 N，F2＝＝10 N，故FA＝F1＝10 N，FB＝F2＝10 N，故A、D正确。

2.(2016·全国卷Ⅲ)如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球。在a和b之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦。小物块的质量为(　　)

A.   B.m

C．m   D．2m

解析：选C　如图所示，由于不计摩擦，线上张力处处相等，且轻环受细线的作用力的合力方向指向圆心。由于a、b间距等于圆弧半径，则∠aOb＝60°，进一步分析知，细线与aO、bO间的夹角皆为30°。取悬挂的小物块研究，悬挂小物块的细线张角为120°，由平衡条件知，小物块的质量与小球的质量相等，即为m。故选项C正确。

3．(2019·白银模拟)如图所示的甲、乙、丙、丁中，滑轮本身的重力忽略不计，滑轮的轴O安装在一根轻木杆P上。一根轻绳ab绕过滑轮，a端固定在墙上，b端悬挂一个质量都是m的重物，当滑轮和重物都静止时，甲、丙、丁图中杆P与竖直方向夹角均为θ，图乙中杆P在竖直方向上。假设甲、乙、丙、丁四图中滑轮受到木杆弹力的大小依次为F甲、F乙、F丙、F丁，则以下判断正确的是(　　)

A．F甲＝F乙＝F丙＝F丁   B．F丁＞F甲＝F乙＞F丙

C．F甲＝F丙＝F丁＞F乙   D．F丙＞F甲＝F乙＞F丁

解析：选B　由于绳子的拉力大小等于重物的重力，大小不变，即四个图中绳子的拉力是大小相等的，根据平行四边形定则知绳子的夹角越小，则合力越大，即滑轮两边绳子的夹角越小，绳子拉力的合力越大，故丁中绳子拉力合力最大，则杆的弹力最大，丙中绳子夹角最大，绳子拉力合力最小，则杆的弹力最小，大小顺序为：F丁＞F甲＝F乙＞F丙，故选B。

力的合成中两类最小值问题

(一)合力一定，其中一个分力的方向一定，当两个分力垂直时，另一个分力最小。

1．如图所示，重力为G的小球用轻绳悬于O点，用力F拉住小球，使轻绳保持偏离竖直方向60°角且不变，当F与竖直方向的夹角为θ时F最小，则θ、F的值分别为(　　)

A．0°，G　　　　　　　　　 　B．30°，G

C．60°，G   D．90°，G

解析：选B　小球重力不变，位置不变，则绳OA拉力的方向不变，故当拉力F与绳OA垂直时，力F最小，故θ＝30°，F＝Gcos θ＝G，B正确。

2.(2018·武昌调研)将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示。用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线Oa与竖直方向的夹角保持θ＝30°，则F的最小值为(　　)

A.mg   B．mg

C.mg   D.mg

解析：选B　将ab看成一个整体受力分析可知，当力F与Oa垂直时F最小，可知此时F＝2mgsin θ＝mg，B正确。

(二)合力方向一定，其中一个分力的大小和方向都一定，当另一个分力与合力方向垂直时，这一分力最小。

3.如图所示，一物块受一恒力F作用，现要使该物块沿直线AB运动，应该再加上另一个力的作用，则加上去的这个力的最小值为(　　)

A．Fcos θ   B．Fsin θ

C．Ftan θ   D．Fcot θ

解析：选B　要使物块沿AB方向运动，恒力F与另一个力的合力必沿AB方向，当另一个力与AB方向垂直时为最小，故F′＝Fsin θ，B正确。

4.如图所示，甲、乙两人分别在两岸用绳拉小船在河流中行驶，已知甲的拉力大小为800 N，方向与航向夹角为30°。要保持小船在河流正中间沿虚线所示的直线行驶，则乙用力最小为(　　)

A．与F甲垂直，大小为400 N

B．与F甲垂直，大小为200 N

C．与河岸垂直，大小约为746 N

D．与河岸垂直，大小为400 N

解析：选D　如图所示，要保持小船在河流中间沿虚线方向直线行驶，F甲与F乙的合力必沿图中虚线方向，当F乙与图中虚线垂直时最小，为400 N，D正确。

两类最小值问题因初始条件有所差别，表面上看似乎不同，但这两类问题实际上都是应用图解法分析极值条件，从而得出最后结果。