2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第八章第二节　第3课时　深化提能——与圆有关的综合问题

第3课时　深化提能——与圆有关的综合问题

圆的方程是高中数学的一个重要知识点，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题．解决此类问题的关键是数形结合思想的运用．

[典例]　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

[解]　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．

因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.

故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.

(2)设PQ的中点为N(x，y)．

在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

[方法技巧]　求与圆有关的轨迹问题的4种方法

[针对训练]

1．(2019·厦门双十中学月考)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为(　　)

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1　  　B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4   D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

解析：选A　设中点为A(x，y)，圆上任意一点为B(x′，y′)，

由题意得，则

故(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得，(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A.

2．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

(1)求M的轨迹方程；

(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.

设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．

由题设知·＝0，

故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，

即(x－1)2＋(y－3)2＝2.

由于点P在圆C的内部，

所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．

由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．

又P在圆N上，从而ON⊥PM.

因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，

故l的方程为x＋3y－8＝0.

又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，

所以|PM|＝，S△POM＝××＝，

故△POM的面积为.

[例1]　(2019·兰州高三诊断)已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和点M(5，t)，若圆C上存在两点A，B使得MA⊥MB，则实数t的取值范围是(　　)

A．[－2,6]   B．[－3,5]

C．[2,6]   D．[3,5]

[解析]　法一：当MA，MB是圆C的切线时，∠AMB取得最大值．若圆C上存在两点A，B使得MA⊥MB，则MA，MB是圆C的切线时，∠AMB≥90°，∠AMC≥45°，且∠AMC＜90°，如图，所以|MC|＝≤＝，所以16＋(t－4)2≤20，所以2≤t≤6，故选C.

法二：由于点M(5，t)是直线x＝5上的点，圆心的纵坐标为4，所以实数t的取值范围一定关于 t＝4对称，故排除选项A、B.当t＝2时，|CM|＝2，若MA，MB为圆C的切线，则sin∠CMA＝sin∠CMB＝＝，所以∠CMA＝∠CMB＝45°，即MA⊥MB，所以t＝2时符合题意，故排除选项D.选C.

[答案]　C

[例2]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：

(1)的最大值和最小值；

(2)y－x的最大值和最小值；

(3)x2＋y2的最大值和最小值．

[解]　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．

(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

所以设＝k，即y＝kx.

当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝ ，解得k＝±.

所以的最大值为，最小值为－.

(2)y－x可看成是直线y＝x＋b在y轴上的截距．

当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，

解得b＝－2±.

所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.

(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．

由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最小值，最大值．

因为圆心到原点的距离为＝2，

所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，

最小值是(2－)2＝7－4.

与圆有关最值问题的求解策略

处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：

1．(2019·新余一中月考)直线x＋y＋t＝0与圆x2＋y2＝2相交于M，N两点，已知O是坐标原点，若|＋|≤||，则实数t的取值范围是________．

解析：由|＋|≤||＝|－|，

两边平方，得·≤0，

所以圆心到直线的距离d＝≤×＝1，

解得－≤t≤，

故实数t的取值范围是[－， ]．

答案：[－， ]

2．已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则的最大值与最小值分别为________．

解析：设＝k，则k表示点P(x，y)与点A(2,1)连线的斜率．

当直线PA与圆相切时，k取得最大值与最小值．

设过(2,1)的直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0.

由＝1，解得k＝±.

答案：，－

3．(2019·大庆诊断考试)过动点P作圆：(x－3)2＋(y－4)2＝1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|＝|PO|(O为坐标原点)，则|PQ|的最小值是________．

解析：由题可知圆(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心N(3,4)．设点P的坐标为(m，n)，则|PN|2＝|PQ|2＋|NQ|2＝|PQ|2＋1，又|PQ|＝|PO|，所以|PN|2＝|PO|2＋1，即(m－3)2＋(n－4)2＝m2＋n2＋1，化简得3m＋4n＝12，即点P在直线3x＋4y＝12上，则|PQ|的最小值为点O到直线3x＋4y＝12的距离，点O到直线3x＋4y＝12的距离d＝，故|PQ|的最小值是.

答案：