2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第八章第六节　直线与圆锥曲线

第六节　直线与圆锥曲线

突破点一　直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．

即由消去y，得ax2＋bx＋c＝0.

(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式为Δ，

则

(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．(　　)

(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．(　　)

(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×

二、填空题

1．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．

答案：[－1,1]

2．已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，弦AB的长为________．

答案：

3．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．

答案：

[典例]　(1)(2019·河南九校联考)已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)

C．(－3,0)

D．(－2,0)

(2)若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，则这样的直线有(　　)

A．1条　　　　　　　　 　B．2条

C．3条   D．4条

[解析]　(1)因为直线与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.将直线方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t＞0，解得t＞0或t＜－3.选A.

(2)结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条，分别为直线x＝0，直线y＝1以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．故选C.

[答案]　(1)A　(2)C

[方法技巧]

直线与圆锥曲线位置关系的判定方法

(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．

(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．

[提醒]　联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．　　

[针对训练]

1．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)

A．至多一个   B．2

C．1   D．0

解析：选B　∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴圆心到直线的距离d＝ ＞2，∴m2＋n2＜4.∴＋＜＋＝1－m2＜1，∴点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个．

2．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是(　　)

A．k＞－   B．k＜

C．k＞或k＜－   D．－＜k＜

解析：选D　由双曲线渐近线的几何意义知－＜k＜.

突破点二　圆锥曲线中弦长及中点弦问题

圆锥曲线的弦长公式

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

|AB|＝|x1－x2|

＝·＝ ·|y1－y2|

＝ ·.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B (x2，y2)两点，则弦长|AB|＝    |y1－y2|.(　　)

(2)过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.(　　)

答案：(1)√　(2)√

二、填空题

1．顶点为坐标原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2x－y＋1＝0所得的弦长为，则抛物线方程为________．

答案：y2＝12x或y2＝－4x

2．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．

答案：

3．过双曲线－＝1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________．

答案：，

考法一　弦长问题　

[例1]　(2019·孝义模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)是否存在斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且＝？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

[解]　(1)根据题意，设F1，F2的坐标分别为(－c,0)，(c,0)，由题意可得

解得a＝2，c＝1，则b2＝a2－c2＝3，

故椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)假设存在斜率为－1的直线l，设为y＝－x＋m，

由(1)知F1，F2的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，

所以以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝1，

由题意知圆心(0,0)到直线l的距离d＝＜1，

得|m|＜.

|AB|＝2＝2 ＝×，

联立得消去y，得7x2－8mx＋4m2－12＝0，

由题意得Δ＝(－8m)2－4×7(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)＞0，解得m2＜7，

设C(x1，y1)，D(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝，

|CD|＝|x1－x2|＝×

＝× ＝×＝|AB|

＝××，

解得m＝±.

即存在符合条件的直线l，其方程为y＝－x±.

[方法技巧]

求解弦长的4种方法

(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．

(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．

(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2或(y1－y2)2，代入两点间的距离公式．

(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．

[提醒]　利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在，可直接求交点坐标再求弦长．涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．　　

考法二　中点弦问题　

考向一　由中点弦确定直线方程

[例2]　在椭圆＋＝1中，以点M(1,2)为中点的弦所在直线方程为__________________．

[解析]　设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

代入椭圆方程得

两式相减得＋＝0，

所以＝－，

即－＝，

因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，

所以＝－，

故该直线方程为y－2＝－(x－1)，

即9x＋32y－73＝0.

[答案]　9x＋32y－73＝0

考向二　由中点弦确定曲线方程

[例3]　过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p＞0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为________________．

[解析]　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

依题意得，y′＝，切线MA的方程是y－y1＝(x－x1)，

即y＝x－.

又点M(2，－2p)位于直线MA上，于是有－2p＝×2－，即x－4x1－4p2＝0；

同理有x－4x2－4p2＝0，因此x1，x2是方程x2－4x－4p2＝0的两根，则x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2.

由线段AB的中点的纵坐标是6得，y1＋y2＝12，

即＝＝12，＝12，

解得p＝1或p＝2.

故抛物线的方程为x2＝2y或x2＝4y.

[答案]　x2＝2y或x2＝4y

考向三　由中点弦解决对称问题

[例4]　已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为__________．

[解析]　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，

则

由②－①得，

(x2－x1)(x2＋x1)＝(y2－y1)(y2＋y1)，显然x1≠x2.

∴·＝3，即kMN·＝3，

∵M，N关于直线y＝x＋m对称，

∴kMN＝－1，∴y0＝－3x0.

又∵y0＝x0＋m，

∴P，

代入抛物线方程，得m2＝18·，

解得m＝0或－8，经检验都符合题意．

[答案]　0或－8

[方法技巧]

处理中点弦问题常用的2种方法

(1)点差法

设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．

(2)根与系数的关系

联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．

[提醒]　中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．　　

1.已知P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在直线的方程为____________．

解析：法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，

∴x1＋x2＝，

又∵x1＋x2＝2，∴＝2，解得k＝－.

故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，

即x＋2y－3＝0.

法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，   ①

＋＝1，                           ②

①－②得＋＝0，

∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，

∴＋y1－y2＝0，

∴k＝＝－.

∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，

即x＋2y－3＝0.

答案：x＋2y－3＝0

2.焦点是F(0,5)，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为__________．

解析：设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由题意，可得弦AB的中点坐标为，

且＝，＝－.

将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得

两式相减并化简，得＝－·＝－2×＝3，

所以a2＝3b2.又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25.

故所求椭圆的标准方程为＋＝1.

答案：＋＝1

3.抛物线x2＝4y与直线x－2y＋2＝0交于A，B两点，且A，B关于直线y＝－2x＋m对称，则m的值为________．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2),

联立消去y，得x2－2x－4＝0.

则x1＋x2＝2，＝1.

∴y1＋y2＝(x1＋x2)＋2＝3，＝.

∵A，B关于直线y＝－2x＋m对称，

∴AB的中点在直线y＝－2x＋m上，

即＝－2×1＋m，解得m＝.

答案：

4.经过椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点的直线x＋y－＝0交椭圆M于A，B两点，P为AB的中点，且直线OP的斜率为.

(1)求椭圆M的方程；

(2)C，D为椭圆M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD的面积的最大值．

解：(1)令A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知右焦点为(，0)．

联立

得(a2＋b2)y2－2b2y＋b2(3－a2)＝0，①

则y1＋y2＝，x1＋x2＝2－(y1＋y2)，

即kOP＝＝＝＝＝⇒a2＝2b2.

因为a2－b2＝3，所以a2＝6，b2＝3.

所以椭圆M的方程为＋＝1.

(2)由(1)知方程①为3y2－2y－3＝0.

由弦长公式得：|AB|＝·|y1－y2|＝

＝ ＝.

令CD的方程为：x＝y＋m.

由得3y2＋2my＋m2－6＝0，

则y1＋y2＝－，y1·y2＝.

由弦长公式得|CD|＝·＝·≤4.

所以S四边形ACBD＝|AB|·|CD|≤(当且仅当m＝0时取最大值)．

故四边形ACBD的面积的最大值为.