2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第八章第四节　双曲线

第四节　双曲线

突破点一　双曲线的定义和标准方程

1．双曲线的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.

(1)当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；

(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；

(3)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．

2．标准方程

(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)；

(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(　　)

(2)在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.(　　)

(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×

二、填空题

1．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．

答案：44

2．经过点P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________．

答案：－＝1

3．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为________．

答案：

考法一　双曲线的定义及应用　

(1)在解决与双曲线的焦点有关的问题时，通常考虑利用双曲线的定义解题；

(2)在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的“差的绝对值”，弄清是整个双曲线还是双曲线的某一支．

[例1]　(1)(2019·宁夏育才中学月考)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于(　　)

A．1　　　　　　　　　 　B．17

C．1或17   D．以上均不对

(2)已知点P在曲线C1：－＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是(　　)

A．6   B．8

C．10   D．12

[解析]　(1)根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒PF2＝1或17.

又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17，故选B.

(2)由题意可知C3，C2的圆心分别是双曲线C1：－＝1的左、右焦点，点P在双曲线的左支上，则|PC2|－|PC3|＝8.

|PQ|max＝|PC2|＋1，|PR|min＝|PC3|－1，

所以|PQ|－|PR|的最大值为(|PC2|＋1)－(|PC3|－1)＝|PC2|－|PC3|＋2＝8＋2＝10.故选C.

[答案]　(1)B　(2)C

[方法技巧]

双曲线定义的主要应用方面

(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．

(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．　　

考法二　双曲线的标准方程　

待定系数法求双曲线方程的5种类型

[例2]　(2018·天津高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)

A.－＝1  B.－＝1

C.－＝1  D.－＝1

[解析]　法一：如图，不妨设A在B的上方，则A，B.

又双曲线的一条渐近线为bx－ay＝0，

则d1＋d2＝＝＝2b

＝6，所以b＝3.

又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，所以a＝.

所以双曲线的方程为－＝1.

法二：由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.

[答案]　C

[方法技巧]

求双曲线方程的思路

(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．

(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：

一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．　　

1.虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为(　　)

A．3   B．16＋

C．12＋   D．24

解析：选B　∵2b＝2，e＝＝3，∴b＝1，c＝3a，

∴9a2＝a2＋1，∴a＝.

由双曲线的定义知：|AF2|－|AF1|＝2a＝， ①

|BF2|－|BF1|＝，   ②

①＋②得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝，

又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，

∴|AF2|＋|BF2|＝8＋，则△ABF2的周长为16＋，故选B.

2.设k＞1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是(　　)

A．长轴在x轴上的椭圆   B．长轴在y轴上的椭圆

C．实轴在x轴上的双曲线   D．实轴在y轴上的双曲线

解析：选D　∵k＞1，∴1－k＜0，k2－1＞0，∴方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是实轴在y轴上的双曲线，故选D.

3.已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是(　　)

A.－＝1  B.－＝1

C．x2－＝1  D.－＝1

解析：选C　法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x2－＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由题意得无解．故该双曲线的标准方程为x2－＝1，选C.

法二：当其中的一条渐近线方程y＝x中的x＝2时，y＝2＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x2－＝1，故选C.

法三：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，即＝±x，所以可设双曲线的方程是x2－＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－＝1，故选C.

突破点二　双曲线的几何性质

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)双曲线方程－＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)

(2)等轴双曲线的离心率等于，且渐近线互相垂直．(　　)

答案：(1)√　(2)√

二、填空题

1．双曲线－＝1的渐近线方程为________．

答案：3x±4y＝0

2．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k＝________.

答案：1

3．双曲线的渐近线方程为y＝±x，则离心率为________．

答案：或

考法一　渐近线问题　

[例1]　(1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)

A．y＝±x　 　　　　 　B．y＝±x

C．y＝±x   D．y＝±x

(2)(2019·郑州一中入学测试)已知抛物线x2＝8y与双曲线－x2＝1(a＞0)的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|＝5，则该双曲线的渐近线方程为(　　)

A．5x±3y＝0   B．3x±5y＝0

C．4x±5y＝0   D．5x±4y＝0

[解析]　(1)∵e＝＝＝，∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a.∴渐近线方程为y＝±x.

(2)设点M(x0，y0)，则有|MF|＝y0＋2＝5，所以y0＝3，x＝24，

由点M(x0，y0)在双曲线－x2＝1上，得－x＝1，

即－24＝1，解得a2＝，

所以双曲线－x2＝1的渐近线方程为－x2＝0，即3x±5y＝0，选B.

[答案]　(1)A　(2)B

[方法技巧]

求双曲线－＝1(a＞0，b＞0)或－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a＞0，b＞0)．　　

考法二　离心率问题　

[例2]　(1)(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　)

A. B．2

C.   D.

(2)(2018·长春二测)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是(　　)

A.   B.

C．(1,2]   D.

[解析]　(1)不妨设一条渐近线的方程为y＝x，

则F2到y＝x的距离d＝＝b.

在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，

所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，

又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，

根据余弦定理得

cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，

即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.

(2)由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF2|＝，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c－a，可得≥c－a，解得≤，即e≤，又双曲线的离心率e＞1，故该双曲线离心率的取值范围为，故选B.

[答案]　(1)C　(2)B

[方法技巧]

求双曲线离心率或其范围的方法

(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.

(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．　　

1.已知双曲线－＝1(m＞0)的一个焦点在直线x＋y＝5上，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x   B．y＝±x

C．y＝±x   D．y＝±x

解析：选B　由于双曲线－＝1(m＞0)的焦点在y轴上，且在直线x＋y＝5上，直线x＋y＝5与y轴的交点为(0,5)，所以c＝5，m＋9＝25，则m＝16，则双曲线的方程为－＝1，则双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选B.

2.若a＞1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)

A．(，＋∞)   B．(，2)

C．(1，)   D．(1,2)

解析：选C　由题意得双曲线的离心率e＝.即e2＝＝1＋.∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜.

3.(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　)

A.   B．2

C.   D．2

解析：选D　∵e＝＝ ＝，∴＝1.∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0.

∴点(4,0)到C的渐近线的距离d＝＝2.

4.已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1，F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是(　　)

A．(1,2)   B．(2，＋∞)

C．(1，)   D．(，＋∞)

解析：选A　如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，－c)，则过点F1与渐近线y＝x平行的直线为y＝x＋c，联立得解得即M.因为点M在以线段F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2内，故2＋2＜c2，化简得b2＜3a2，即c2－a2＜3a2，解得＜2，又双曲线的离心率e＝＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选A .