2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第八章第一节　直线与方程

第八章解析几何

第一节　直线与方程

突破点一　直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.

(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)．

2．直线的斜率公式

(1)定义式：若直线l的倾斜角α≠，则斜率k＝tan_α.

(2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.

3．两条直线平行与垂直的判定

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　　)

(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　)

(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　)

(4)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)

(5)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×

二、填空题

1．过点M(－1，m)，N(m＋1,4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．

答案：1

2．若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为________．

答案：

3．(2019·湖南百所中学检测)若直线l1：ax＋y－1＝0与l2：3x＋(a＋2)y＋1＝0平行，则a的值为________．

答案：1

4．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．

答案：

考法一　直线的倾斜角与斜率　

1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：

2．在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tan α的单调性，如图所示：

(1)当α取值在内，由0增大到时，k由0增大并趋向于正无穷大；

(2)当α取值在内，由增大到π(α≠π)时，k由负无穷大增大并趋近于0.

解决此类问题，常采用数形结合思想．

[例1]　(1)(2019·江西五校联考)已知直线l与两条直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率是(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C．－   D．－

(2)(2019·张家口模拟)直线l经过A(2,1)，B(1，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

[解析]　(1)设P(a,1)，Q(b，b－7)，

则解得所以P(－2,1)，Q(4，－3)，

所以直线l的斜率k＝＝－，故选C.

(2)直线l的斜率k＝tan α＝＝m2＋1≥1，所以≤α＜.

[答案]　(1)C　(2)C

[方法技巧]

求直线倾斜角范围的注意事项

直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．　　

考法二　两直线的位置关系　

两直线位置关系的判断方法

(1)已知两直线的斜率存在

①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等；

②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1.

(2)已知两直线的斜率不存在

若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．

[例2]　(1)(2019·武邑中学月考)已知过两点A(－3，m)，B(m,5)的直线与直线3x＋y－1＝0平行，则m的值为(　　)

A．3   B．7

C．－7   D．－9

(2)(2019·安徽六安四校联考)设m∈R，则“m＝0”是“直线l1：(m＋1)x＋(1－m)y－1＝0与直线l2：(m－1)x＋(2m＋1)y＋4＝0垂直”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

[解析]　(1)由题可知，＝－3，解得m＝－7，故选C.

(2)由直线l1与l2垂直可得(m＋1)(m－1)＋(1－m)·(2m＋1)＝0，解得m＝0或m＝1.所以“m＝0”是“直线l1：(m＋1)x＋(1－m)y－1＝0与直线l2：(m－1)x＋(2m＋1)y＋4＝0垂直”的充分不必要条件．故选A.

[答案]　(1)C　(2)A

[方法技巧]

由一般式方程确定两直线位置关系的方法

[提醒]　当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．

1.已知直线过A(2,4)，B(1，m)两点，且倾斜角为45°，则m＝(　　)

A．3   B．－3

C．5   D．－1

解析：选A　∵直线过A(2,4)，B(1，m)两点，∴直线的斜率为＝4－m.又∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，即4－m＝1，∴m＝3.故选A.

2.已知倾斜角为θ的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos 2θ的值为(　　)

A.   B．－

C.   D．－

解析：选B　由题意得－·tan θ＝－1，∴tan θ＝2，cos 2θ＝＝＝－，故选B.

3.若直线l1：ax－(a＋1)y＋1＝0与直线l2：2x－ay－1＝0垂直，则实数a＝(　　)

A．3   B．0

C．－3   D．0或－3

解析：选D　∵直线l1与直线l2垂直，∴2a＋a(a＋1)＝0，整理得a2＋3a＝0，

解得a＝0或a＝－3.故选D.

4.设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)

A．充分必要条件   B．必要不充分条件

C．充分不必要条件   D．既不充分也不必要条件

解析：选C　当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0的斜率都是－，截距不相等，∴两条直线平行，故前者是后者的充分条件；当两条直线平行时，得＝≠，解得a＝－2或a＝1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选C.

突破点二　直线的方程

直线方程的五种形式

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．(　　)

(2)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)

(3)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×

二、填空题

1．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为______________．

答案：4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0

2．(2019·开封模拟)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x斜率的－的直线方程为____________．

答案：3x＋4y＋15＝0

3．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为____________．

解析：由已知，得BC的中点坐标为，且直线BC边上的中线过点A，则BC边上中线的斜率k＝－，故BC边上的中线所在直线方程为y＋＝－，即x＋13y＋5＝0.

答案：x＋13y＋5＝0

考法一　求直线方程　

[例1]　(2019·湖北十堰模拟)已知菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(－4,7)，C(6，－5)，BC边所在直线过点P(8，－1)．求：

(1)AD边所在直线的方程；

(2)对角线BD所在直线的方程．

[解]　(1)kBC＝＝2，

∵AD∥BC，∴kAD＝2.

∴AD边所在直线的方程为y－7＝2(x＋4)，

即2x－y＋15＝0.

(2)kAC＝＝－.

∵菱形的对角线互相垂直，

∴BD⊥AC，∴kBD＝.

∵AC的中点(1,1)，也是BD的中点，

∴对角线BD所在直线的方程为y－1＝(x－1)，即5x－6y＋1＝0.

[方法技巧]

求直线方程的注意事项

(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．

(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．　　

考法二　与直线方程有关的最值问题　

[例2]　(1)已知直线x＋a2y－a＝0(a是正常数)，当此直线在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是(　　)

A．0　　　　　　　　　　 　B．2

C.   D．1

(2)若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)

A．[－2,2]   B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

C．[－2,0)∪(0,2]   D．(－∞，＋∞)

[解析]　(1)直线x＋a2y－a＝0(a是正常数)在x轴，y轴上的截距分别为a和，此直线在x轴，y轴上的截距和为a＋≥2，当且仅当a＝1时，等号成立．故当直线x＋a2y－a＝0在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是1，故选D.

(2)令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为|－b|＝b2，且b≠0，因为b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．

[答案]　(1)D　(2)C

[方法技巧]

与直线方程有关的最值问题的解题思路

(1)借助直线方程，用y表示x或用x表示y；

(2)将问题转化成关于x(或y)的函数；

(3)利用函数的单调性或基本不等式求最值．　　

1.已知直线l过点P(1,3)，且与x轴，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是(　　)

A．3x＋y－6＝0   B．x＋3y－10＝0

C．3x－y＝0   D．x－3y＋8＝0

解析：选A　设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)．

由题意得解得a＝2，b＝6.

故直线l的方程为＋＝1，

即3x＋y－6＝0.故选A.

2.过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________．

解析：当直线过原点时，直线方程为y＝－x；

当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1(a≠0)，

即x－y＝a(a≠0)，把(－3,5)代入，得a＝－8，

所以直线方程为x－y＋8＝0.

故所求直线方程为y＝－x或x－y＋8＝0.

答案：y＝－x或x－y＋8＝0

3.已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.

解析：直线l1可写成a(x－2)＝2(y－2)，直线l2可写成2(x－2)＝a2(2－y)，所以直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋.当a＝时，面积最小．

答案：

突破点三　直线的交点、距离与对称问题

1．两条直线的交点

2．三种距离

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)

(2)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　)

(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　)

(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

二、填空题

1．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为________．

答案：－1

2．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为________．

答案：

3．当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第________象限．

答案：二

4．(2018·忻州检测)在平面直角坐标系中，点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称，则直线l的方程为______________．

答案：2x－y－3＝0

考法一　距离问题　

[例1]　(2019·北京西城期中)已知直线l经过点P(－2，1)．

(1)若点Q(－1，－2)到直线l的距离为1，求直线l的方程；

(2)若直线l在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程．

[解]　(1)当直线l的斜率不存在时，即直线l的方程为x＝－2，符合要求；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，

整理得kx－y＋2k＋1＝0，

Q(－1，－2)到直线l的距离d＝＝＝1，

解得k＝－，所以直线l的方程为4x＋3y＋5＝0.

(2)由题知，直线l的斜率k一定存在且k≠0，故可设直线l的方程为kx－y＋2k＋1＝0，

当x＝0时，y＝2k＋1，当y＝0时，x＝－，

∴2k＋1＝－，解得k＝－1或－，

即直线l的方程为x＋2y＝0或x＋y＋1＝0.

[方法技巧]

1．解决与点到直线的距离有关的问题

应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．

2．求两条平行线间的距离

要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．　　

考法二　对称问题　

[例2]　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：

(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；

(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；

(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．

[解]　(1)设A′(x，y)，由题意知

解得

所以A′.

(2)在直线m上取一点M(2,0)，

则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．

设M′(a，b)，则

解得M′.

设直线m与直线l的交点为N，

则由得N(4,3)．

又因为m′经过点N(4,3)，

所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.

(3)设P(x，y)为l′上任意一点，

则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，

因为P′在直线l上，

所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，

即2x－3y－9＝0.

[方法技巧]

1．中心对称问题的两种类型及求解方法

2．轴对称问题的两种类型及求解方法

1.“C＝2”是“点(1，)到直线x＋y＋C＝0的距离为3”的(　　)

A．充要条件　　　　　　　 　B．充分不必要条件

C．必要不充分条件   D．既不充分也不必要条件

解析：选B　若点(1，)到直线x＋y＋C＝0的距离为3，则有＝3，解得C＝2或C＝－10，故“C＝2”是“点(1，)到直线x＋y＋C＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.

2.直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程是(　　)

A．3x＋4y＋5＝0   B．3x＋4y－5＝0

C．－3x＋4y－5＝0   D．－3x＋4y＋5＝0

解析：选A　在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知的直线3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0，故选A.

3.已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是________________．

解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以两平行直线的斜率为k＝－，所以直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.

答案：x＋2y－3＝0

4.若直线l与直线2x－y－2＝0关于直线x＋y－4＝0对称，则直线l的方程为________________．

解析：由得即两直线的交点坐标为(2,2)，在直线2x－y－2＝0上取一点A(1,0)，设点A关于直线x＋y－4＝0的对称点的坐标为(a，b)，则解得即点A关于直线x＋y－4＝0的对称点的坐标为(4,3)，则直线l的方程为＝，整理得x－2y＋2＝0.

答案：x－2y＋2＝0