2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第四章第六节　三角函数图象与性质的综合问题

第六节　三角函数图象与性质的综合问题

三角函数的图象与性质是每年高考命题的热点，除考查基本问题外，还常涉及求参数范围问题，多为压轴小题；在综合问题中，常考查三角函数图象的变换和性质、三角恒等变换、零点、不等式等的交汇创新问题．

　　策略一：针对选择题特事特办，选择题中关于三角函数的图象和性质的问题是多年来高考的热点，三角函数试题常涉及函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象的单调性、对称性、周期等问题．一般来说：

(1)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有两条对称轴x＝a，x＝b，则有|a－b|＝＋(k∈Z)；

(2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有两个对称中心M(a,0)，N(b,0)，则有|a－b|＝＋(k∈Z)；

(3)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有一条对称轴x＝a，一个对称中心M(b,0)，则有|a－b|＝＋(k∈Z)．

策略二：研究函数在某一特定区间的单调性，若函数仅含有一个参数的时候，利用导数的正负比较容易控制，但对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)含多个参数，并且具有周期性，很难解决，所以必须有合理的等价转化方式才能解决．

[典例]　(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)

A．11　　　　　　　　 B．9

C．7  D．5

[思路点拨]　本题条件较多，事实上从题型特征的角度来看，若选择题的已知条件越多，那么意味着可用来排除选项的依据就越多，所谓正面求解也是在不断缩小的范围内与条件进行对比验证．

[解题观摩]　法一：排除法

由f＝0得，－ω＋φ＝kπ(k∈Z)，φ＝kπ＋ω.

当ω＝5时，k只能取－1，φ＝，f(x)＝sin，则f＝－1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，5x＋∈，这个区间不含π(n∈Z)中的任何一个，函数f(x)在上单调，符合题意．

当ω＝7时，k只能取－2，φ＝－，f(x)＝sin，则f＝－1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，7x－∈，这个区间含有，则函数f(x)在上不可能单调，不符合题意．

当ω＝9时，k只能取－2，φ＝，f(x)＝sin，则f＝1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，9x＋∈，这个区间不含π(n∈Z)中的任何一个，函数f(x)在上单调，符合题意．

当ω＝11时，k只能取－3，φ＝－，f(x)＝sin，则f＝1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，11x－∈，这个区间含有，则函数f(x)在上不可能单调，不符合题意．

综上，ω的最大值为9.故选B.

法二：特殊值法

从T＝，ω＝2k＋1(k∈N)来思考，ω需要最大值，只有从选项中的最大数开始，即从前往后一一验证：当ω＝11时，T＝，从单调区间的一个端点x＝往前推算，靠近的单调区间为，，容易看出<<，不合题意；当ω＝9时，T＝，从单调区间的一个端点x＝往前推算，靠近的单调区间为，，容易看出⊆，符合题意，故选B.

法三：综合法

由题意得且|φ|≤，则ω＝2k＋1，k∈Z，φ＝或φ＝－.对比选项，将选项值分别代入验证：若ω＝11，则φ＝－，此时f(x)＝sin，

f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，不满足f(x)在区间上单调；若ω＝9，则φ＝，此时f(x)＝sin，满足f(x)在区间上单调递减．

[答案]　B

[题后悟通]

上述法一和法二的本质是一样的，都是针对选择题的做法，逐一验证，目标明确，不同的是验证的角度．法二直接利用y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的单调区间的特征，每个区间长度为，从靠近区间的特殊极值点开始把可能出现的单调区间找出来比较，只要“所求区间包含在单调区间内”即可．　　

[针对训练]

1．(2019·丹东教学质量监测)若函数f(x)＝2sin在区间和上都是单调递增函数，则实数x0的取值范围为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选B　由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，在原点附近的递增区间为－，，，因此解得≤x0≤，故选B.

2．已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称，若对于任意的x∈，都有m2－3m≤f(x)，则实数m的取值范围为(　　)

A.　　　　　　　 B．[1,2]

C.  D.

解析：选B　∵函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－A>0,0<φ<的图象在y轴上的截距为1，∴Asin φ－＝1，即Asin φ＝.∵函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象关于直线x＝对称，   ∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，又0<φ<，∴φ＝，∴A·sin ＝，∴A＝，∴f(x)＝     sin－.对于任意的x∈，都有m2－3m≤f(x)，∴m2－3m≤f(x)min.∵x∈，∴2x＋∈，sin∈，sin2x＋∈，f(x)∈，∴m2－3m≤－2，解得1≤m≤2.

[典例]　已知函数f(x)＝sin(ω>0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点，求当m取得最小值时，g(x)在－，上的单调递增区间．

[解]　(1)由函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，得函数f(x)的最小正周期T＝2×＝，解得ω＝1，故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.

(2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)＝sin2(x＋m)＋＝sin的图象，根据g(x)的图象恰好经过点，

可得sin＝0，即sin＝0，

所以2m－＝kπ(k∈Z)，m＝＋(k∈Z)，

因为m>0，

所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为.

此时，g(x)＝sin.

因为x∈，所以2x＋∈.

当2x＋∈，即x∈时，g(x)单调递增，

当2x＋∈，即x∈时，g(x)单调递增．

综上，g(x)在区间上的单调递增区间是和.

[方法技巧]

三角函数图象与性质综合问题的解题策略

(1)图象变换问题

先根据和、差角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式，再进行图象变换．

(2)函数性质问题

求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：

①利用公式T＝(ω>0)求周期；

②根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；

③根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．　　

[针对训练]

设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3，且f＝0.

(1)求ω；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．

解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，

所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx

＝sin ωx－cos ωx

＝

＝sin.

因为f＝0，所以－＝kπ，k∈Z.

故ω＝6k＋2，k∈Z.

又0<ω<3，所以ω＝2.

(2)由(1)得f(x)＝sin，

所以g(x)＝sin＝sin.

因为x∈，所以x－∈，

当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.