2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第十章第二节　二项式定理

第二节　二项式定理

突破点一　二项式的通项公式及应用

1．二项式定理

2.二项式系数与项的系数

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)Can－rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项．(　　)

(2)在(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系数与a，b无关．(　　)

(3)(a＋b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√

二、填空题

1.10的展开式中x2的系数等于________．

答案：45

2．在6的展开式中，常数项为________．

答案：240

3.8的展开式中的有理项共有________项．

答案：3

考法一　形如(a＋b)n的展开式问题　

[例1]　(1)(2018·全国卷Ⅲ)5的展开式中x4的系数为(　　)

A．10　　　　　　　　 　B．20

C．40   D．80

(2)(2019·陕西黄陵中学月考)6的展开式中常数项为(　　)

A.   B．160

C．－   D．－160

[解析]　(1)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C·22＝40.

(2)6的展开式的通项Tr＋1＝Cx6－rr＝rCx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，所以展开式中的常数项是T4＝3C＝，选A.

[答案]　(1)C　(2)A

[方法技巧]

二项展开式问题的常见类型及解法

(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可．

(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．　　

考法二　形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题　

[例2]　(1)(2018·广东一模)(1＋2x)5的展开式中，x3的系数为(　　)

A．120   B．160

C．100   D．80

(2)(2019·陕西两校联考)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　)

A．56   B．84

C．112   D．168

[解析]　(1)(1＋2x)5＝x(1＋2x)5＋(1＋2x)5，∵x(1＋2x)5的展开式中含x3的项为x·C(2x)2＝40x3，(1＋2x)5的展开式中含x3的项为·C(2x)4＝80x3，∴x3的系数为40＋80＝120.故选A.

(2)根据(1＋x)8和(1＋y)4的展开式的通项公式可得，x2y2的系数为CC＝168.故选D.

[答案]　(1)A　(2)D

[方法技巧]

求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路

(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．

(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.

(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．　　

考法三　形如(a＋b＋c)n的展开式问题　

[例3]　(1)(2019·枣阳模拟)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(　　)

A．10　　　　　　　　　 　B．20

C．30   D．60

(2)(2019·太原模拟)5的展开式中常数项是________．

[解析]　(1)(x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2＋x)5－r·yr，

令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2，

又(x2＋x)3的展开式的通项为C(x2)3－k·xk＝Cx6－k，

令6－k＝5，则k＝1，

所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为CC＝30，故选C.

(2)由5＝5，则其通项公式为(－1)5－rCr(0≤r≤5)，其中r的通项公式为2r－tCxr－2t(0≤t≤r)．

令r－2t＝0，得或或

所以5的展开式中的常数项为(－1)5C＋(－1)3C×2C＋(－1)1C×22C＝ －161.

[答案]　(1)C　(2)－161

三项展开式问题的破解技巧

破解(a＋b＋c)n的展开式的特定项的系数题，常用如下技巧：若三项能用完全平方公式，那当然比较简单；若三项不能用完全平方公式，只需根据题目特点，把“三项”当成“两项”看，再利用二项展开式的通项公式去求特定项的系数．　　　　

1.(＋)100的展开式中，无理数项的个数是(　　)

A．84   B．85

C．86   D．87

解析：选A　(＋)100展开式的通项为Tr＋1＝C()100－r·()r＝C250－×3，r＝0,1,2，…，100，

所以当r是6的倍数时，Tr＋1为有理项，

所以r＝0,6,12，…，96，共17项，

因为展开式共有101项，所以展开式中无理项的个数是101－17＝84.故选A.

2.(x2－2)5的展开式中x－1的系数为(　　)

A．60   B．50

C．40   D．20

解析：选A　由通项公式得展开式中x－1的系数为23C－22C＝60.

3.(x＋y)(2x－y)6的展开式中x4y3的系数为(　　)

A．－80   B．－40

C．40   D．80

解析：选D　(2x－y)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(2x)6－r(－y)r，当r＝2时，T3＝240x4y2，当r＝3时，T4＝－160x3y3，故x4y3的系数为240－160＝80，故选D.

4.在6的展开式中，含x5项的系数为(　　)

A．6   B．－6

C．24   D．－24

解析：选B　由6＝C6－C5＋C4＋…－C＋C，可知只有－C5的展开式中含有x5，所以6的展开式中含x5项的系数为－CC＝－6，故选B.

突破点二　二项式系数性质及应用

二项式系数的性质

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)

(2)在(1－x)9的展开式中，系数最大的项是第5项和第6项．(　　)

(3)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×

二、填空题

1．若n的展开式中的所有二项式系数之和为512，则该展开式中常数项为________．

答案：84

2．已知m是常数，若(mx－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33，则m＝________.

答案：3

3．若(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.

答案：2

考法一　二项展开式中系数和的问题　

赋值法在求各项系数和中的应用

(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．

(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)．

①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，

②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.

[例1]　(1)(2019·郑州一中月考)若二项式n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为(　　)

A．－1　　　　　　　　　 　B．1

C．27   D．－27

(2)(2019·襄阳四中月考)设(x2＋1)(2x＋1)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a10(x＋2)10，则a0＋a1＋a2＋…＋a10的值为________．

[解析]　(1)依题意得2n＝8，解得n＝3，取x＝1，得该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1.故选A.

(2)在所给的多项式中，令x＝－1可得(1＋1)×(－2＋1)8＝a0＋a1＋a2＋…＋a10，即a0＋a1＋a2＋…＋a10＝2.

[答案]　(1)A　(2)2

[易错提醒]

(1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)；

(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．　　

考法二　二项式系数或展开式系数的最值问题　

求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤

第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个．

第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．

[例2]　(1)(2019·内蒙古鄂尔多斯模拟)在5的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为(　　)

A．5   B．10

C．15   D．20

(2)(2019·福州高三期末)设n为正整数，n的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为________．

[解析]　(1)5的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－r·r＝(－a)rCx5－2r，令5－2r＝3，则r＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1，展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为C＝10，选B.

(2)依题意得，n＝8，所以展开式的通项Tr＋1＝Cx8－r·r＝Cx8－4r(－2)r，令8－4r＝0，解得r＝2，所以展开式中的常数项为T3＝C(－2)2＝112.

[答案]　(1)B　(2)112

[方法技巧]　　求展开式系数最值的2个思路

1.设(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大的项是(　　)

A．15x3　　　　　　　　　 　B．20x3

C．21x3   D．35x3

解析：选B　在(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn中，

令x＝1得2n＝a0＋a1＋a2＋…＋an；

令x＝0，得1＝a0，

∴a1＋a2＋…＋an＝2n－1＝63，∴n＝6.

而(1＋x)6的展开式中系数最大的项为T4＝Cx3＝20x3.

2.(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.

解析：设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.

令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①

令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②

①－②得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.

答案：3

3.设(5x－)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中二项式系数最大的项为________．

解析：依题意得，M＝4n＝(2n)2，N＝2n，

于是有(2n)2－2n＝240，(2n＋15)(2n－16)＝0，

∴2n＝16＝24，解得n＝4.

要使二项式系数C最大，只有k＝2，

故展开式中二项式系数最大的项为

T3＝C(5x)2·(－)2＝150x3.

答案：150x3