2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第十章第六节　二项分布与正态分布

第六节　二项分布与正态分布

突破点一　事件的相互独立性及条件概率

1．条件概率

定义

设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率

性质

①0≤P(B|A)≤1；

②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)

2.事件的相互独立性

定义

设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立

性质

①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)；

②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)条件概率一定不等于它的非条件概率．(　　)

(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　　)

(3)相互独立事件就是互斥事件．(　　)

(4)在条件概率中，一定有P(AB)＝P(B|A)P(A)．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

二、填空题

1．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机投掷一点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)＝________.

答案：

2．抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝{第一枚为正面向上}，B＝{第二枚为正面向上}，则事件C＝{两枚向上的面为一正一反}的概率为________．

答案：

3．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．

答案：0.72

考法一　条件概率　

[例1]　(1)(2019·武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)＝(　　)

A.　　　　　　　　　　　 B.

C.   D.

(2)(2019·信丰联考)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

[解析]　(1)小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，

即n(B)＝108,4个人去的景点不同的情况有A＝4×3×2×1＝24种，即n(AB)＝24，

∴P(A|B)＝＝＝.

(2)设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，

则P(A)＝，P(AB)＝×＝.

则所求概率为P(B|A)＝＝＝.

[答案]　(1)A　(2)D

[方法技巧]　　　条件概率的3种求法

定义法

先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)

基本事件法

借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝

缩样法

缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简

考法二　事件的相互独立性　

[例2]　(2019·洛阳模拟)在某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格．小明同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响．

(1)求小明同学一次测试合格的概率；

(2)设测试过程中小明投篮的次数为ξ，求ξ的分布列．

[解]　(1)设小明第i次“立定投篮”命中为事件Ai，第i次“三步上篮”命中为事件Bi(i＝1,2)，依题意有P(Ai)＝，P(Bi)＝(i＝1,2)，“小明同学一次测试合格”为事件C.

(1)P()＝P(1 2)＋P(1 A2 1 2)＋P(A11 2)

＝P(1)P(2)＋P(1)P(A2)P(1)P(2)＋P(A1)·P(1)P(2)

＝2＋××2＋×2＝.

∴P(C)＝1－＝.

(2)依题意知ξ＝2,3,4，

P(ξ＝2)＝P(A1B1)＋P(12)

＝P(A1)P(B1)＋P(1)P(2)＝，

P(ξ＝3)＝P(A11B2)＋P(1A2B1)＋P(A112)

＝P(A1)P(1)P(B2)＋P(1)P(A2)P(B1)＋P(A1)·P(1)P(2)＝，

P(ξ＝4)＝P(1A21)＝P(1)P(A2)P(1)＝.

故投篮的次数ξ的分布列为：

ξ

2

3

4

P

相互独立事件同时发生的概率的2种求法

(1)直接法：利用相互独立事件的概率乘法公式．

(2)间接法：从对立事件入手计算．　　　　

1.已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是(　　)

A.　　　　　　　　　　　 B.

C.   D.

解析：选C　设“从1号箱取到红球”为事件A，“从2号箱取到红球”为事件B.由题意，P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，所以两次都取到红球的概率为.

2.为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意，事件Ai，Bi，Ci(i＝1,2,3)相互独立，则P(Ai)＝＝，P(Bi)＝＝，P(Ci)＝＝，i＝1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P＝AP(AiBiCi)＝6×××＝.

3.为备战2018年瑞典乒乓球世界锦标赛，乒乓球队举行公开选拔赛，甲、乙、丙三名选手入围最终单打比赛名单．现甲、乙、丙三人进行队内单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，丙胜甲的概率为，乙胜丙的概率为p，且各场比赛结果互不影响．若甲获第一名且乙获第三名的概率为.

(1)求p的值；

(2)设在该次对抗比赛中，丙得分为X，求X的分布列和数学期望．

解：(1)由已知，甲获第一名且乙获第三名的概率为.即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙的概率为，∴××(1－p)＝，∴p＝.

(2)依题意，丙得分X的所有取值为0,3,6.

∵丙胜甲的概率为，丙胜乙的概率为，

∴P(X＝0)＝×＝，

P(X＝3)＝×＋×＝，

P(X＝6)＝×＝，

∴X的分布列为

P

0

3

6

X

∴E(X)＝0×＋3×＋6×＝.

突破点二　独立重复试验与二项分布

1．独立重复试验

在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．

2．二项分布

在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P＝C·1·3－1＝.(　　)

(2)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.(　　)

(3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√

二、填空题

1．设随机变量X～B，则P(X＝3)等于________．

答案：

2．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是________．

答案：

3．若ξ～B(n，p)且E(ξ)＝6，D(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为________．

答案：3×2－10

考法一　独立重复试验的概率　

[例1]　(1)如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

(2)投掷一枚图钉，设钉尖向上的概率为p，连续掷一枚图钉3次，若出现2次钉尖向上的概率小于3次钉尖向上的概率，则p的取值范围为________．

[解析]　(1)设女孩个数为X，女孩多于男孩的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝  C2×＋C3＝3×＋＝.故选B.

(2)设P(Bk)(k＝0,1,2,3)表示“连续投掷一枚图钉，出现k次钉尖向上”的概率，由题意得P(B2)＜P(B3)，即Cp2(1－p)＜Cp3.∴3p2(1－p)＜p3.由于0＜p＜1，∴＜p＜1.

[答案]　(1)B　(2)

[方法技巧]

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次可看作是C个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是k个A事件与n－k个事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是pk(1－p)n－k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为Cpk(1－p)n－k.　　

考法二　二项分布的应用　

[例2]　(2019·顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．

(1)求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；

(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？(精确到小数点后2位)

(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值．

[解]　(1)∵前四组频数成等差数列，

∴所对应的也成等差数列，

设a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d，

∴0.5×(0.2＋0.2＋d＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.2＋d＋0.1＋0.1＋0.1)＝1，

解得d＝0.1，∴a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5.

居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25.

居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25.

(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7＜0.8，

∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米．

应规定w＝2.5＋×0.5≈2.83.

(3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量，

可知P(A≤2.5)＝0.7，

由题意，X～B(3,0.7)，

P(X＝0)＝C×0.33＝0.027，

P(X＝1)＝C×0.32×0.7＝0.189，

P(X＝2)＝C×0.3×0.72＝0.441，

P(X＝3)＝C×0.73＝0.343.

∴X的分布列为

X

0

1

2

3

P

0.027

0.189

0.441

0.343

∴E(X)＝np＝2.1.

[方法技巧]

某随机变量是否服从二项分布的特点

(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．

(2)各次试验中的事件是相互独立的．

(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．　　

1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为P，则n的最小值为(　　)

A．4   B．5

C．6   D．7

解析：选A　由P＝1－n≥，解得n≥4，即n的最小值为4.

2.若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C.   D.

解析：选C　一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－×＝1－＝，设X为3次试验中成功的次数，所以X～B，故所求概率P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C×0×3＝，故选C.

3.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．

(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；

(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列及数学期望．

解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此

P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，

P(A2)＝0.003×50＝0.15，

P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.

(2)X～B(3,0.6)，X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为

P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064，

P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，

P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，

P(X＝3)＝C·0.63＝0.216.

故X的分布列为

X

0

1

2

3

P

0.064

0.288

0.432

0.216

E(X)＝3×0.6＝1.8.

突破点三　正态分布

1．正态曲线及性质

(1)正态曲线的定义

函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ＞0)为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

(2)正态曲线的特点

①曲线位于x轴上方与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

③曲线在x＝μ处达到峰值；

④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时， 曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定：

2．正态分布

定义

如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)

三个常用数据

①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6；

②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4；

③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)当x无穷大时，正态曲线可以与x轴相交．(　　)

(2)正态曲线与x轴之间的面积大小不确定．(　　)

(3)X服从正态分布，通常用X～N(μ，σ2)表示，其中参数μ和σ2分别表示X的均值和方差．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√

二、填空题

1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝·e－，则这个正态总体的平均数与标准差分别是________．

答案：10　2

2．已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，其中P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.954 4.设ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≥3)＝0.158 7，则σ＝________.

答案：2

3．(2019·广州模拟)按照国家规定，某种大米每袋质量(单位：kg)必须服从正态分布ξ～N(10，σ2)，根据检测结果可知P(9.9≤ξ≤10.1)＝0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有2 000名职工，则分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工人数大约为________．

解析：∵每袋大米质量服从正态分布ξ～N(10，σ2)，∴P(ξ＜9.9)＝[1－P(9.9≤ξ≤10.1)]＝0.02，∴分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工人数大约为2 000×0.02＝40.

答案：40

[典例]　(2019·石家庄模拟)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2019年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：

(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55,38.45)内的概率；

②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望．

附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ＝≈11.95；

若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4.

[解]　(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.

(2)①∵Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，

∴P(14.55＜Z＜38.45)＝P(26.5－11.95＜Z＜26.5＋11.95)＝0.682 6，

∴Z落在(14.55,38.45)内的概率是0.682 6.

②根据题意得X～B，P(X＝0)＝C4＝；

P(X＝1)＝C4＝；P(X＝2)＝C4＝；

P(X＝3)＝C4＝；P(X＝4)＝C4＝.

∴X的分布列为

X

0

1

2

3

4

P

∴E(X)＝4×＝2.

[方法技巧]

求正态总体在某个区间内取值概率的关键点

(1)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值；

(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.

①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．

②P(X＜a)＝1－P(X≥a)，P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)．　　

[针对训练]

1．(2019·正阳模拟)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X≥4)＝0.158 7，则P(2＜X＜4)＝(　　)

A．0.682 6　　　　　　　　 　B．0.341 3

C．0.460 3   D．0.920 7

解析：选A　∵随机变量X服从正态分布N(3,1)，∴正态曲线的对称轴是直线x＝3，∵P(X≥4)＝0.158 7，∴P(2＜X＜4)＝1－2P(X≥4)＝1－0.317 4＝0.682 6.故选A.

2．(2018·湘潭二模)某校高三年级有1 000人，某次数学考试不同成绩段的人数ξ～N(127,72)．

(1)求该校此次数学考试平均成绩；

(2)计算得分超过141的人数；

(3)甲同学每次数学考试进入年级前100名的概率是，若本学期有4次考试，X表示进入前100名的次数，写出X的分布列，并求期望与方差．

(注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.44%)

解：(1)由不同成绩段的人数ξ服从正态分布N(127,72)，可知平均成绩为μ＝127.

(2)P(ξ＞141)＝P(ξ＞127＋2×7)＝×[1－P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)]＝0.022 8，

故得分超过141分的人数为1 000×0.022 8≈23.

(3)由题意知X～B，

故X的所有可能取值为0,1,2,3,4，

P(X＝0)＝4＝，

P(X＝1)＝C13＝，

P(X＝2)＝C22＝，

P(X＝3)＝C31＝，

P(X＝4)＝4＝，

故X的分布列为

X

0

1

2

3

4

P

期望E(X)＝np＝4×＝1，

方差D(X)＝np(1－p)＝4××＝.