2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第五章第四节　复数

第四节　复数

突破点一　复数的基本概念及几何意义

1．复数的定义及分类

(1)复数的定义：

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.

(2)复数的分类：

2．复数的有关概念

3.复数的几何意义

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)方程x2＋1＝0没有解．(　　)

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)

(3)复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模．(　　)

(4)已知复数z的共轭复数＝1＋2i，则z的复平面内对应的点位于第三象限．(　　)

(5)复数中有复数相等的概念，因此复数可以比较大小．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×

二、填空题

1．设m∈R，复数z＝m2－1＋(m＋1)i表示纯虚数，则m的值为________．

答案：1

2．复数z＝－i(1＋2i)的共轭复数为________．

答案：2＋i

3．设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于第________象限．

答案：四

考法一　复数的有关概念　

[例1]　(1)(2019·南充一模)若复数的实部和虚部互为相反数，那么实数b等于(　　)

A．－ B.

C. D．2

(2)(2019·唐山五校联考)已知＝2＋i，则(z的共轭复数)为(　　)

A．－3－i B．－3＋i

C．3＋i D．3－i

[解析]　(1)＝＝＝－.因为该复数的实部和虚部互为相反数，因此2－2b＝4＋b，因此b＝－.故选A.

(2)由题意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以＝3＋i，故选C.

[答案]　(1)A　(2)C

[方法技巧]

解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.

(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．　　

考法二　复数的几何意义　

[例2]　(1)(2018·北京高考)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

(2)(2019·南昌一模)已知z＝m2－1＋mi在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－1,1) B．(－1,0)

C．(－∞，1) D．(0,1)

[解析]　(1)＝＝＋，其共轭复数为－，对应点位于第四象限．故选D.

(2)因为z＝m2－1＋mi在复平面内对应的点是(m2－1，m)，且该点在第二象限，所以解得0<m<1，所以实数m的取值范围是(0,1)．故选D.

[答案]　(1)D　(2)D

[方法技巧]

复数几何意义问题的解题策略

(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔ .

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．　　

1.已知复数z＝＋的实部与虚部的和为2，则实数a的值为(　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：选D　易知z＝＋＝＋＝＋，由题意得＋＝2，解得a＝3.故选D.

2.已知i是虚数单位，复数的共轭复数在复平面上所对应的点位于(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

解析：选D　复数＝＝＝1＋2i，其共轭复数为1－2i，在复平面上所对应的点为(1，－2)，位于第四象限，故选D.

3.(2019·广东香山中学期末)已知0<a<2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是(　　)

A．(1，) B．(1,3)

C．(1，) D．(1,5)

解析：选C　由题意可得z＝a＋i，∴|z|＝|a＋i|＝.∵0<a<2，∴1<<，∴1<|z|<，∴|z|的取值范围是(1，)．故选C.

突破点二　复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．

(2)复数加法的运算定律

设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：

①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；

②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

[谨记常用结论]

1．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.

2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．

3．z· ＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.

1．(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝(　　)

A．3－2i B．3＋2i

C．－3－2i D．－3＋2i

答案：D

2．若复数z＝，其中i为虚数单位，则＝(　　)

A．1＋i B．1－i

C．－1＋i D．－1－i

解析：选B　∵z＝＝＝1＋i，∴＝1－i.

3．化简：＝________.

解析：＝＝＝1－i.

答案：1－i

1．(2019·合肥质检)已知i为虚数单位，则＝(　　)

A．5 B．5i

C．－－i D．－＋i

解析：选A　＝＝5，故选A.

2．(2018·惠州模拟)已知复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝(　　)

A．i B．－1＋i

C．－1－i D．－i

解析：选C　由已知可得＝＝＝－1＋i，则z＝－1－i，故选C.

[方法技巧]　复数代数形式运算问题的解题策略

[针对训练]

1．(2018·全国卷Ⅱ)＝(　　)

A．－－i B．－＋i

C．－－i D．－＋i

解析：选D　＝＝＝－＋i.

2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．

解析：因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，

所以解得所以＝2.

答案：2